Course Syllabus
Obiettivi
Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente apprenderà i principali risultati relativi ai numeri complessi, all’algebra lineare e alle equazioni differenziali ordinarie e si impadronirà dei relativi strumenti e tecniche di calcolo.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Mediante l’illustrazione di vari esempi e con lo svolgimento di esercizi, lo studente svilupperà la capacità di applicare i risultati teorici esposti nelle lezioni a problemi relativi ai numeri complessi, all'algebra lineare e alle equazioni differeziali ordinarie.
Autonomia di giudizio. Lo studente saprà affrontare in modo critico problemi relativi ai numeri complessi, all'algebra lineare e alle equazioni differenziali individuando autonomamente i metodi più appropriati tra quelli appresi.
Abilità comunicative. L’acquisizione del linguaggio e del formalismo matematico introdotto renderà lo studente in grado di comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite.
Capacità di apprendimento. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite a contesti differenti da quelli presentati durante le lezioni, in particolare nello studio di altre discipline scientifiche (quali la chimica e la fisica) che richiedano un buona preparazione matematica di base.
Contenuti sintetici
Numeri complessi, Algebra lineare ed Equazioni differenziale ordinarie
Programma esteso
Prima Parte: Numeri Complessi
Definizione e proprietà elementari; interpretazione geometrica; operazioni con i numeri complessi; forma trigonometrica; radici n-esime.
Seconda Parte: Algebra Lineare
Spazi vettoriali (reali e complessi), sottospazi vettoriali, combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori linearmente indipendenti e dipendenti, basi, dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema del completamento della base. Esempio di spazi vettoriali di dimensione infinita. Esempi di basi e componenti in spazi vettoriali.
Applicazioni lineari: definizione e primi esempi. Teorema di struttura. Matrice associata ad un'applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. Esempi di costruzione ed utilizzo della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrice di cambio di base: costruzione ed utilizzo. Ker e immagine di un'applicazione lineare.
Teorema rank-nullity (relazione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze in termini di iniettività e suriettività.
Sistemi lineari: Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazioni lineari di colonne: legami con span, lineare indipendenza, generatori. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine di un'opportuna applicazione lineare.
Cambiamento di base, applicazioni lineari invertibili, determinante, formula di Laplace, formula di Binet. Matrice inversa. Uso delle matrici inverse nei cambi di base. Rango di una matrice.
Spazi con prodotto scalare, Prodotti scalari, prodotti hermitiani, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, norma, ortogonalità, Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Ortogonale di un sottospazio e sue proprietà. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Esempi di calcolo di basi ortogonali e di ortogonali di sottospazi. Matrici ortogonali: caratterizzazione e proprietà.
Definizione di matrici simili e problema della diagonalizzazione. Autovalori ed autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie/sufficienti per la diagonalizzabilità.
Teorema spettrale per applicazioni e matrici simmetriche. Teorema spettrale per applicazioni e matrici normali.
Diagonalizzazione simultanea di endomorfismi hermitiani commutanti.
Terza parte: Equazioni Differenziali Ordinarie
Definizione. Separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari. Independenza lineare delle soluzioni, il Wronskiano. Il metodo di variazioni delle costanti. Il caso di coefficienti constanti. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Curve integrali. Sistemi di due equazioni lineari a coefficienti costanti. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Aspetti qualitativi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di matematica del primo anno (Matematica I e II)
Modalità didattica
Lezioni alla lavagna.
Lezioni frontali (6 cfu), esercitazioni (2 cfu).
Materiale didattico
Per la parte di Algebra Lineare:
- Dispense della Prof.ssa Felli (si trovano nel sito)
- Strang, Gilbert. Linear algebra and its applications (sarà disponibile come e-book nella biblioteca. E gia disponibile in forma cartacea).
Per il resto del corso (Numeri complessi, equazioni differenziali ordinarie) verranno messe a disposizione delle note a cura dei Docenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30 con eventuale lode.
Esame scritto con eventuale colloquio orale.
Prova scritta
Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede inoltre la capacità di esporre le definizioni, gli enunciati dei teoremi, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte nel corso. La valutazione tiene conto dell'esattezza delle risposte, della completezza nonché' della chiarezza espositiva.
La prova scritta si intende superata SOLO se la votazione è maggiore o uguale a 18/30.
La prova scritta è generalmente composta da esercizi (simili agli esercizi fatti a lezione e/o proposti negli esercizi agli studenti) fino a 22-24 punti e fino a un massimo di 6-8 punti di teoria (definizioni di concetti di base e risultati visti a lezione).
Prova orale (su richiesta del docente)
Nel caso in cui la prova scritta risulti superata, il docente può richiedere allo studente di sostenere una prova orale che si terrà di norma qualche giorno dopo la prova scritta. Si tratta di una discussione sulla prova scritta e sui risultati e sui metodi illustrati nel corso. Il risultato della prova orale farà media (in positivo o in negativo) con quello della prova scritta, potendo anche comportare il non superamento dell'esame.
Prova orale (su richiesta dello studente)
Nel caso in cui la prova scritta risulti superata, lo studente può richiedere al docente di sostenere una prova orale che si terrà di norma qualche giorno dopo la prova scritta. Si tratta di una discussione sulla prova scritta e sui risultati e sui metodi illustrati nel corso. Il risultato della prova orale farà media (in positivo o in negativo) con quello della prova scritta, potendo anche comportare il non superamento dell'esame.
Voto finale
Nel caso in cui non venga sostenuto nessun orale, verrà verbalizzato il voto della prova scritta.
Prove in itinere (prove in itinere, compitini, esoneri, parziali)
Durante il semestre ci saranno due prove scritte in itinere che se superate entrambe con votazione maggiore o uguale a 15/30, danno la possibilità di verbalizzare il voto finale senza effettuare la prova scritta. Il voto complessivo delle prove in itinere è la media aritmetica dei due voti conseguiti (che quindi deve essere almeno 18/30). Resta la possibilità per lo studente e per il docente di richiedere una prova orale.
La prova scritta del primo appello della sessione invernale è divisa in due parti corrispondenti alle due prove in itinere svolte durante il semestre. Le prove parziali superate con votazione maggiore o uguale a 15/30 possono essere utilizzate per un esonero parziale dalla parte di prova scritta corrispondente. Il voto finale sarà dato dalla media aritmetica del voto della prova parziale utilizzata e del voto della prova scritta (parziale). Resta la possibilità per lo studente e per il docente di richiedere una prova orale.
A partire dalla prova scritta del secondo appello della sessione invernale e per tutte le altre sessioni le prove parziali eventualmente superate non possono essere tenute in considerazione.
Numero di appelli
Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame nei seguenti periodi: due nei mesi di gennaio-febbraio, uno nel mese di aprile/maggio, uno nei mesi di giugno/luglio, uno a settembre e uno a novembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento concordato per e-mail
Sustainable Development Goals
Aims
The objectives of the course are the following.
Knowledge and understanding. The student will learn the principal results of the theory of complex numbers, linear algebra and ordinary differential equations and will become acquainted with their tools and techniques.
Applying knowledge and understanding. By means of several examples and exercises, the student will develop the ability of applying the theorical results presented in the lectures to problems related to complex numbers, linear algebra and ordinary differential equations.
Making judgements. The student will be able to face critically problems concerning complex numbers, linear algebra and ordinary differential equations, identifying by himself/herself the most appropriate tools among those introduced in the course.
Communication skills. The student will become familiar with the introduced language and mathematical formalism, which will make him/her able to communicate with rigor and clarity the acquired knowledge.
Learning skills. The student will be able to apply the acquired knowledge to different contexts, in particular in the study of other scientific disciplines (such as chemistry and physics) which require a good mathematical background.
Contents
Complex numbers, linear algebra and ordinary differential equations.
Detailed program
1. Numeri Complessi
Definition and elementary properties; geometrical interpretation; operations with complex numbers; trigonometrical form; nth-roots.
2. Linear Algebra.
Real and complex vector spaces, dependent and independent sets in a linear space, subspaces. Bases and dimension of a linear space, euclidean spaces, norms and (Hertmitian) inner products, Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality. Orthonormal bases. Linear transformations: matrix representation, null space and range, nullity and rank, matrices, matrix operations, determinants, Binet formula, Laplace expansion; inverses of square matrices, change of the bases. Eigenvalues and eigenvectors of endomorphisms, diagonalizability. Adjoint endomorphism, hermitian operators, Spectral Theorem, simultaneous diagonalization.
3. Ordinary Differential Equations.
Separation of variables. Linear differential equations. Linear independence of the solutions, the Wronskian. The variation of the constants method. The case of constant coefficients. Systems of first order ordinary differential equations. Integral curves. Systems of two linear equations with constant coefficients. Linear second order equations with constant coeffcients. Qualitative aspects of the theory of ordinary differential equations.
Prerequisites
Matematica I e Matematica II
Teaching form
Blackboard Lectures
Lectures (6 cfu), Exercises class (2 cfu).
Textbook and teaching resource
For linear algebra:
- Notes (in italian) by Prof. Felli
- Strang, Gilbert. Linear algebra and its applications
For the rest of the program the teachers will make available some notes.
Semester
Second year, First semester
Assessment method
****Written examination with optional oral colloquium.
The goal of the evaluation (partial, complete and oral colloquium) is to ascertain a correct assimilation of concepts and techniques studied during lessons and exercises sessions.
The written exam is passed ONLY if the vote is greater or equal to 18/30.
The written exam will consist of exercises (similar to those done in the classroom and/or proposed to the students in the lectures) up to 22-24 points. There will be a maximum of 6-8 points for questions relating the theory (basic definitions and theoretical results done in the lectures ).
Oral exam (optional)
Oral exam is not compulsory and will be done typically after a couple of days of the written exam. It is only possible to take the oral exam if the mark in the written part is greater or equal than 18/30.
Students who got a positive grade in the written part (i.e., at least 18/30) might choose to take an oral exam to try to get a better grade if they think that their preparation is good enough. Needless to say, the oral exam can change the written grade in the positive, as well as in the negative direction. In particular, the minimal grade in the written part plus a poor oral part might end up in a failed exam.
The students who have not passed the written part, **do not have the right to do an oral exam
Partial exams (not compulsory)
During the course there will be two partial exams. Students who passed both (with mark >=18/30) will have the option to skip the final written exam. Students who obtain at least 15/30 in any of the two partials tests, will have the option of being examined of the other part (only) in the first written final exam. The final mark would be the average of the marks obtained in each part.
Number of exams
During the year there are 6 exams in the following periods: two in January-February, one in April/May, one in June/July, one in September and one in November. The final exam can be replaced by two-three intermediate written tests, the first of which will take place in November while the second and third will take place toward the end of the course.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Blanca Pilar Ayuso De Dios
-
Alessandro Russo
