Course Syllabus
Obiettivi
- Studio approfondito della relatività ristretta di Einstein e discussione di alcune applicazioni notevoli.
- Formulazione covariante delle leggi della dinamica e dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell).
- Formalismo Lagrangiano e introduzione alla teoria classica dei campi, prerequisito fondamentale per la teoria quantistica dei campi.
Contenuti sintetici
Relatività ristretta di Einstein. Formulazione covariante della dinamica relativistica e dell'elettrodinamica classica. Formalismo lagrangiano relativisticamente invariante. Teoria classica dei campi: campi scalari e vettoriali.
Programma esteso
Introduzione alle trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Formulazione covariante della relativita' (tetra-vettori e tensori). Gruppo di Lorentz.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Brevi richiami di Meccanica Classica ed Elettromagnetismo (EM) (principio di relativita', trasformazioni di Galilei, eq. di Maxwell, eq. delle onde). Non invarianza dell'EM per trasformazioni di Galilei, ipotesi dell'etere, esperimento di Michelson-Morley.
- Basi della relatività ristretta: sistemi inerziali, sincronizzazione orologi, postulati, eventi e intervallo tra eventi. Invarianza della velocità della luce e Trasformazioni di Lorentz.
- Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz: dilatazione tempi, contrazione lunghezze, tempo proprio. Diagrammi di Minkowski. Simultaneita', causalita'. Composizione relativistica delle velocità. Boost in direzione generica.
- Cenni alle verifiche sperimentali della relativita' ristretta, discussione dei "paradossi" più famosi e di applicazioni fisiche rilevanti: aberrazione della luce, effetto Doppler relativistico.
- Notazione compatta (in componenti) per spazio Euclideo: vettori, operatori differenziali e identita' varie. Equazioni di Maxwell (per campi e per potenziali) in componenti.
- Relativita' ristretta in notazione covariante: spazio-tempo di Minkowski, metrica, calcolo tensoriale (vettori covarianti e controvarianti, tensori, tensore metrico, quantita' scalari, operatori differenziali).
- Covarianza (invarianza in forma) delle leggi fisiche e principio di relativita'.
- Gruppo di Lorentz: proprieta' generali, sottogruppi e classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee. Generatori e algebra del gruppo di Lorentz ristretto.
- Cinematica relativistica in notazione covariante: tetra-velocita' e tetra-accelerazione, quadrivettore energia-impulso e sue proprieta'. Relazione di Einstein tra energia e massa, conservazione dei tetra-momenti per arbitrari processi di urto.
- Cinematica relativistica: esercizi e applicazioni.
- Composizione di boost di Lorentz in direzioni non parallele e precessione di Thomas.
Dinamica relativistica di una particella; equazioni di Maxwell in forma covariante.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dinamica di una particella in moto relativistico: quadriforza relativistica e legge fondamentale della dinamica.
- Equazioni di Maxwell in forma covariante: quadri-corrente, equazione di continuita', quadripotenziali, trasformazioni di gauge, il tensore Fμν. Leggi di trasformazione dei campi elettrici e magnetici tra sistemi inerziali. Invarianti del campo elettromagnetico.
- Forza di Lorentz in forma covariante. Interazione di campi elettromagnetici con cariche: studio di moti di particelle cariche in campi elettrici e magnetici costanti e uniformi.
- Moto di una particella carica con spin in un campo elettromagnetico. Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi. Interazione "spin-orbit" di un elettrone in un campo centrale.
- Soluzione delle equazione delle onde in forma covariante (+). Radiazione da cariche in moto (+).
Formulazione Lagrangiana dell'elettrodinamica. Campi scalari e vettoriali classici. Tensore energia-impulso.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principio di minima azione e formulazione Lagrangiana delle equazioni del moto relativistiche per particella libera e per carica immersa in campo elettromagnetico.
- Teoria classica dei campi: introduzione e equazioni di Eulero Lagrange.
- Campi scalari ed equazione di Klein-Gordon.
- Tensore energia-impulso.
- Campi vettoriali: la Lagrangiana del campo elettromagnetico libero e in interazione.
- Il tensore energia-impulso per campi elettromagnetici liberi ed in interazione.
- Teorema di Noether (+).
(+) = argomenti avanzati (trattati solo se ci sara' tempo)
Prerequisiti
Meccanica classica, elettrodinamica classica, analisi matematica (integrali, equazioni differenziali, delta di Dirac).
Modalità didattica
Lezioni frontali.
Materiale didattico
Testi principali:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Altri testi utili:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4.
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Parti rilevanti disponibili alla pagina web del docente.
- Note varie, materiale complementare e temi d'esame degli anni passati sono disponibili alla pagina web https://virgilio.mib.infn.it/~re
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Solo chi raggiunge la sufficienza allo scritto è ammesso all'orale. Di norma la prova orale segue di qualche giorno la prova scritta.
- Prova scritta: esercizi sugli argomenti discussi durante il corso. Alla pagina web del docente e' possibile trovare un'ampia selezione di temi d'esame degli anni passati.
- Prova orale: colloquio sugli argomenti svolti a lezione (con eventuale breve discussione della prova scritta). Ogni studente ha facoltà di portare all'orale un argomento a propria scelta, col quale iniziare la discussione. Si procederà poi a sondare le conoscenze anche su tutte le altre parti del corso.
Nel corso dell'anno sono previsti almeno cinque appelli d'esame, tipicamente nei seguenti periodi: gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre.
Orario di ricevimento
Previo appuntamento via email col docente.
Sustainable Development Goals
Aims
- Detailed study of Einstein's special relativity and of some of its main consequences.
- Covariant formulation of the laws of the dynamics and of the electromagnetism (Maxwell equations).
- Lagrangian formalism and introduction to classical field theory, fundamental prerequisite for quantum-field-theory studies.
Contents
Einstein's special relativity. Covariant formulation of the relativistic dynamics and of the classical electrodynamics. Relativistically-invariant Lagrangian formalism. Classical field theory: scalar and vector fields.
Detailed program
Introduction to Lorentz transformations. Relativistic kinematics. Covariant formulation of Special Relativity (4-vectors, tensors). Lorentz group.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Quick recap of Classical Mechanics and Electromagnetism (EM) (principle of relativity, Galilean transformations, Maxwell's equations, wave equations). Non-invariance of EM under Galilean transformations, ether hypothesis, Michelson-Morley experiment.
- Bases of Special Relativity: intertial systems, synchronising clocks, postulates, events and intervals, invariance of the speed of light and Lorentz transformations.
- Consequences of Lorentz transformations: time dilation, length contractions, proper time. Minkowski diagrams. Simultaneity, causality. Composition of velocities. Boosts in a generic direction.
- Experimental verifications of special relativity, discussion of the more famous "paradoxes" and of physical applications: aberration of light, relativistic Doppler effect.
- Compact notation for Physics in Euclidean space: vectors, differential operators, various identities. Maxwell's equations (for fields and potentials) in compact notation.
- Special relativity in covariant notation: Minkowski space-time, metric, tensor calculus (covariant and controvariant vectors, tensors, the metric tensor, scalar quantities, differential operators).
- Covariance ("invariance in form") of physical laws and the principle of relativity.
- Lorentz group: general properties, subgroups and classification of homogeneous Lorentz transformations. Generators and algebra of the restricted Lorentz group.
- Relativistic kinematics in covariant notation: 4-velocity, 4-acceleration, energy-momentum 4-vector and its properties. Einstein's relation between energy and mass, 4-momentum conservation.
- Relativistic kinematics: exercises and applications.
- Lorentz boosts in different directions and Thomas precession.
Relativistic dynamics of a particle; Maxwell's equations in covariant form.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dynamics of a relativistic particle: 4-force and force-acceleration equation.
- Maxwell's equation in covariant form: 4-current, continuity equation, 4-potential, gauge transformations, Fμν tensor. Transformation laws of electric and magnetic fields. Invariants of the electromagnetic field.
- Covariant form of the Lorentz force. Interaction of EM fields with charged particles: motion in constant and uniform E and B fields.
- Charged particle with spin in an electromagnetic field. Bargmann-Michel-Telegdi equation. "Spin-orbit" interaction of an electron in a central field.
- Solution of the wave equation in covariant form (+). Radiation by moving charges (+).
Lagrangian formulation of the electrodynamics. Scalar and vector fields. Stress-energy tensor.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principle of stationary action and lagrangian formulation of the relativistic equations of motion for a free particle and for a charge in an electromagnetic field.
- Classical field theory: introduction and Euler-Lagrange equations.
- Scalar fields and Klein-Gordon equation.
- Stress-energy tensor.
- Vector fields: the Lagrangian of the electromagnetic field (free or interacting).
- The stress-energy tensor for the free and the interacting electromagnetic field.
- Noether's theorem (+).
(+) = advanced topic (covered only time permitting)
Prerequisites
Classical mechanics, classical electrodynamics, calculus (integration, differential equations, Dirac's delta function).
Teaching form
Lessons.
Textbook and teaching resource
Main textbooks:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Other useful textbooks:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Relevant parts available at the teacher's webpage.
- Various notes, complementary material, and exam sheets from previous years are available at the webpage https://virgilio.mib.infn.it/~re
Semester
First term.
Assessment method
The exam consists of a written and an oral test.
Only who passes the written test is admitted to the oral test. Normally the oral test takes place few days after the written one.
- Written test: exercises on the topics discussed during the course. At the lecturer's webpage many exam sheets from previous years are available.
- Oral test: discussion on the topics discussed during the course (possibly with a very quick discussion of the written test). Each student has the possibility to start the oral test with a topic of their choice. From there, the oral test will probe also the knowledge on all the other parts of the course.
During the academic year, there will be at least 5 exam sessions, typically in January, February, June, July, Spetember.
Office hours
By appointment.
