Course Syllabus
Obiettivi
Il corso si propone di mostrare esempi fondamentali di equazioni differenziali alle derivate parziali, di insegnarne i metodi di soluzione e le proprietà delle stesse.
Contenuti sintetici
Introduzione alle classiche equazioni a derivate parziali della fisica matematica e ai modelli fisici da esse rappresentati: equazione delle onde, equazione del calore, equazione di Laplace. Metodi di soluzione.
Programma esteso
- Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: equazioni di Maxwell, equazione del trasporto ed equazione di Eulero.
- Equazione del trasporto: soluzione del problema ai dati iniziali e metodo delle caratteristiche.
- Equazione delle onde: deduzione dal modello di corda vibrante e dalla catena di oscillatori armonici, soluzioni in 1 dimensione, caratteristiche e cono causale, dipendenza dalla dimensione dello spazio, principio di Huygens e soluzione di Kirchhoff, invarianza di Lorentz, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura.
- Equazione del calore: giustificazione fisica, soluzioni autosimilari, soluzione fondamentale e soluzione del problema ai dati iniziali, principio del massimo debole, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura.
- Confronto tra equazione delle onde e del calore, relazione di dispersione.
- Equazione di Laplace: soluzioni radiali, identità di Green, proprietà delle funzioni armoniche, principio di Dirichlet, condizioni al bordo e condizioni di compatibilità.
- Equazione di Poisson: formula di rappresentazione e soluzione generale, funzioni di Green, metodo delle cariche immagine.
- Distribuzioni: definizione e proprietà fondamentali, delta di Dirac e funzioni di Green, calcolo di propagatori, soluzioni deboli.
Prerequisiti
Fondamenti dell’analisi classica (I & II). Elementi della geometria degli spazi euclidei finito dimensionali. Fondamenti di Fisica (I &II).
Modalità didattica
Lezioni frontali
Materiale didattico
Testo di riferimento:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Testi consigliati:
S.Salsa Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è individuale e consiste di due parti, una scritta ed una orale. Nello scritto si valuta la capacità di risolvere problemi ed esercizi di tipo analogo a quelli presentati in classe, nell'orale si valuta la comprensione dei concetti matematici e la loro derivazione, con la richiesta di enunciati e dimostrazioni di teoremi, esempi importanti e deduzioni di equazioni da problemi fisici.
Orario di ricevimento
Su appuntamento tramite email.
Ufficio: 3022, Università di Milano-Bicocca, Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Via Roberto Cozzi 55 - 20125 Milano
Edificio U5-Ratio.
Email: alberto.maiocchi@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims at showing fundamental examples of partial differential equations, at teaching the methods for finding solutions and the study of the properties of such solutions.
Contents
Introduction to classical partial differential equations of mathematical physics and to the related models: wave equation, heat equation, Laplace equation. Solution methods.
Detailed program
- Introduction to partial differential equations: Maxwell equations, continuity equation and Euler equation.
- Continuity equation: initial value problem solution and method of charachteristics.
- Wave equation: deduction from the model of vibrating string and of chain of harmonic oscillators, 1-dimensional solutions, characteristics and causal cone, dependence on the dimension of the space, Huygens principle and Kirchhoff solution, Lorentz invariance, effects of sources and boundary conditions, well posedness.
- Heat equation: physical meaning, self-similar solutions, fundamental solutions and initial value problem solution, weak maximum principles, effects of sources and boundary conditions, well posedness.
- Comparison between heat and wave equations, dispersion relations.
- Laplace equation: radial solutions, Green identities, properties of harmonic functions, Dirichlet principle, boundary conditions and compatibility conditions.
- Poisson equation: representation formula and general solution, Green functions, method of images.
- Distributions: definition and fundamental properties, Dirac delta and Green functions, computation of propagators, weak solutions.
Prerequisites
Elements of classical Analysis (I & II). Elements of finite dimensional Euclidean geometry. Elements of Physics (I & II)-
Teaching form
Lectures.
Textbook and teaching resource
-Textbook:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Suggested readings:
S.Salsa, Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Semester
Second
Assessment method
The exam is individual and is divided in a written and an oral part. In the written exam the proficiency in solving exercises and problems similar to those discussed in the lectures is evaluated. IThe oral exam is focused on assessing the understanding of the mathematical concepts and their derivation, by asking the statements and the proofs of theorems, relevant examples and deductions of equations from physical examples.
Office hours
By email appointment.
Office: 3022, University of Milan-Bicocca, Department of Mathematics and Applications, Via Roberto Cozzi 55 - 20125 MILANO
Building U5-Ratio
Email: alberto.maiocchi@unimib.it
Sustainable Development Goals
Staff
-
Alberto Mario Maiocchi
