Course Syllabus
Obiettivi
In linea con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, lo scopo di questo insegnamento è trasmettere conoscenze basilari nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi, sviluppare competenze utili ad analizzare e comprendere risultati fondamentali e tecniche dimostrative tipiche della teoria, maturare abilità nella risoluzione di esercizi e nell'affrontare problemi.
Contenuti sintetici
Saranno illustrati i fondamenti della topologia generale e si accenneranno alcuni aspetti della geometria degli spazi euclidei e proiettivi.
Programma esteso
Spazi topologici e applicazioni continue. Spazi metrici e loro topologia. Strutture topologiche. Base di una topologia. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Funzioni continue e omeomorfismi.
Esempi di spazi topologici. Sottospazi. Prodotti. Quozienti.
Proprietà topologiche. Proprietà di separazione e spazi di Hausdorff. Compattezza. Compattezza e completezza in spazi metrici. Connessione. Connessione per archi. Locale euclideità e cenni alle varietà topologiche.
Spazi euclidei e spazi proiettivi. Cenni sulla geometria degli spazi euclidei e degli spazi proiettivi.
Prerequisiti
Continuità e limiti per funzioni dalla retta reale in sé. Algebra lineare.
Modalità didattica
Lezioni frontali in aula, in lingua italiana, nelle quali sarà illustrata la teoria discutendo risultati, esempi e controesempi rilevanti, intervallate da altre lezioni frontali mirate a sviluppare abilità nel risolvere esercizi e affrontare problemi.
Materiale didattico
i di riferimento:
- E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).
- M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Letture consigliate:
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli (1988).
- J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
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L'esame è strutturato in due prove.
Prova teorica - Si deve rispondere a dieci domande a risposta multipla. La valutazione avviene assegnando 3 punti per una risposta corretta, -1 punto per una risposta errata, 0 punti per una domanda lasciata senza risposta. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15.
Prova orale - Si deve rispondere a domande su argomenti trattati durante il corso o su esercizi simili a quelli assegnati settimanalmente e discussi negli incontri di tutorato. Eventualmente sarà possibile discutere gli esercizi svolti negli homework, insistendo sui punti poco chiari. Per essere ammessi alla prova orale è necessario avere ottenuto almeno 15 punti nella prova teorica. Di ogni risposta saranno valutati la completezza, la correttezza, il rigore e la chiarezza. Il voto proposto al termine della prova orale terrà conto del punteggio ottenuto nella prova teorica e costituirà il voto finale dell'esame.
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Non sono previsti esoneri dalle prove, è tuttavia possibile ottenere un bonus di alcuni punti svolgendo gli homework che saranno assegnati durante il corso.
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La prova teorica, se superata, permette di sostenere la prova orale nell'appello in cui è stata affrontata o in quello immediatamente successivo.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Give an elementary introduction to geometry and topology.
Contents
Fundamentals of point-set topology and some aspects of euclidean and projective geometry will be discussed.
Detailed program
Topological spaces and continuous functions. Metric topology. Topological spaces. Basis of a topology. Subsets of a topological space. Continuous functions and homeomorphisms.
Examples of topological spaces. Subspaces. Products. Quotients.
Topological properties. Separation axioms and Hausdorff spaces. Compactness. Completeness and compactness in metric spaces. Connected and path-connected spaces. Locally Euclidean spaces and topological manifolds.
Euclidean and projective spaces. Geometry of euclidean and projective spaces.
Prerequisites
Limits and continuity of real functions. Linear Algebra.
Teaching form
Classroom lectures will be split into: theoretical sessions (discussion of relevant results of the theory, examples, and counterexamples), exercises sessions (training how to solve exercises and problems).
Textbook and teaching resource
Textbook:
- E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).
- M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Further readings:
- C. Kosniowski, A first course in algebraic topology. Cambridge University Press (1980).
- J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
Semester
Spring.
Assessment method
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The exam is split into two parts.
Preliminary test - Ten multiple-choice questions. Correct answer +3 pts, wrong answer -1 pts, no answer 0 pts. Candidates will pass the test if they score at least 15 pts.
Oral part - Answer questions on the arguments discussed during the classes or on the exercises similar to those contained in weekly exercise sheets. In order to take the oral part, candidates need to have earned at least 15 pts in the preliminary test. Answers will be evaluated on the base of their completeness, correctness, rigor, and clarity. The final score will take into account the scores earned in the preliminary test and the written part.
Office hours
By appointment.
