Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti.
I risultati di apprendimento attesi comprendono la conoscenza delle nozioni fondamentali relative a spazi vettoriali, diagonalizzazione di endomorfismi e prodotti scalari.
Ci si aspetta che lo studente acquisisca la capacità di analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni, di risolvere alcuni facili problemi facendo uso delle tecniche apprese, e di approfondire, anche in maniera autonoma, alcuni dei risultati presentati durante il corso.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali; studio dei sistemi lineari; applicazioni lineari; matrici; diagonalizzazione di endomorfismi; prodotti scalari; geometria affine e euclidea.
Programma esteso
- Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo: metodo di riduzione di Gauss, teorema di Rouchè-Capelli.
- Calcolo matriciale: prodotto matriciale, rango di matrici, anello delle matrici quadrate e matrici invertibili.
- Spazi vettoriali: generatori, basi e dimensione; sottospazi; teorema di Grasmann.
- Applicazioni lineari: nucleo e immagine, teorema di nullità +rango, rappresentazione matriciale, isomorfismi.
- Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà; teoremi di Laplace e Binet.
- Autovalori e autovettori di un endomorfismo; polinomio caratteristico di endomorfismi di spazi vettoriali finitamente generati; diagonalizzabilità di endomorfismi.
- Spazio duale e base duale.
- Prodotti scalari, basi ortogonali e teorema di Sylvester; spazi euclidei e processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
- Operatori autoaggiunti e teorema spettrale.
- Spazi affini, riferimenti affini, sottospazi affini e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità.
- Cenni alla classificazione euclidea delle coniche.
Prerequisiti
Una buona conoscenza della matematica della scuola superiore.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Per stimolare la partecipazione, saranno proposti regolarmente esercizi la cui risoluzione è lasciata agli studenti. Alla pagina del corso, sono messi a disposizione degli studenti quiz di autovalutazione relativi agli argomenti trattati nel corso.
E' previsto un progetto di tutorato a supporto dell'attività didattica, principalmente per fornire aiuto nella risoluzione degli esercizi proposti attraverso la piattaforma e-learning.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Testi consigliati:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Alla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili dispense su alcuni argomenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica del profitto si articola in due prove, una scritta ed una orale, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite.
Sono previste 3 prove in itinere. Le date delle prove vengono fissate e comunicate agli studenti all'inizio del corso. Ciascuna prova consiste nella risoluzione, in autonomia da casa, di esercizi assegnati relativi alla parte di programma svolto e nella loro consegna entro i termini stabiliti. La prova vale 10 punti ed è valutata in base alla correttezza, al rigore del procedimento e al linguaggio matematico usato. Se il punteggio totale delle prove è almeno 18/30, viene tradotto in un bonus (al massimo 3 punti), che concorre al raggiungimento della soglia per l'ammissione alla prova orale e alla valutazione finale. Tale bonus decade dopo i primi due appelli.
- Prova scritta. Della durata di 120 minuti, consiste in:
- alcuni esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, utili a valutare la capacità di applicare i risultati teorici nella risoluzione di problemi;
- un quesito teorico, articolato in più punti, in cui è richiesto di fornire definizioni ed enunciati di teoremi e /o di discutere esempi e aspetti di argomenti trattati nel corso, allo scopo di valutare le conoscenze delle nozioni e concetti fondamentali presentati nel corso.
Il punteggio massimo è di 33 punti, di cui fino a 27 per la risoluzione degli esercizi e fino a 6 per il quesito teorico. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio complessivo non inferiore a 15.
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Prova orale. L'ammissione a questa prova è subordinata al superamento della prova scritta. L'orale inizia con la discussione della prova scritta e prosegue con la richiesta di definizioni, di esempi e/o controesempi dei concetti introdotti nel corso, di enunciati e dimostrazioni dei Teoremi presentati a lezione, al fine di verificare la conoscenza e padronanza dei contenuti del corso e la capacità di rielaborare i concetti appresi e di esporli in modo rigoroso.
L'esame si intende superato solo se la prova orale è sufficiente.
Il voto proposto al termine della prova orale tiene conto anche del punteggio della prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato con le prove in itinere. Tale voto costituisce il voto finale dell'esame.
L'esame è superato se il voto finale è pari a 18 o superiore.
È possibile essere esonerati dalla prova orale. Gli studenti che ottengono almeno 21 punti nella prova scritta, di cui almeno 3 ottenuti nel quesito teorico, hanno due possilità:
- sostenere la prova orale;
- registrare il punteggio minimo tra S e 25, dove S è il punteggio ottenuto nella prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato.
Si noti che l'eventuale bonus maturato non concorre al conseguimento dell'esonero dalla prova orale.
Si noti altresì che per verbalizzare un voto maggiore di 25 è necessario sostenere la prova orale.
Sono previsti 5 appelli d'esame: gennaio, febbraio, giugno, luglio e settembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
In line with the educational objectives of the Degree in Mathematics, the course aims to provide an introduction to linear algebra with applications to geometry, essential to prepare the student to understand the mathematics that will be taught in other courses.
Students are expected to gain knowledge of fundamental notions on vector spaces, diagonalization of endomorphisms and scalar products. They are also expected to gain the ability to reproduce the proofs presented in the course, to solve easy problems using the techniques they have learned, and to delve further, with or without guidance, into some of the results presented during the course.
Contents
Vector spaces; systems of linear equations; linear maps; matrices; diagonalization of an endomorphism; scalar products; affine and euclidean geometry.
Detailed program
- Systems of linear equations: Gaussian elimination method, Rouchè-Capelli Theorem.
- Matrices: matrix product, rank, the ring of square matrices and invertible matrices.
- Vector spaces: generators, basis and dimension; linear subspaces; Grassmann Theorem.
- Linear maps: kernel and image, relation between rank and nullity, matrices associated to linear maps and isomorphisms.
- Determinant of a square matrix and properties; Laplace theorem and Binet theorem.
- Eigenvalues and eigenvectors of an endomorphism; characteristic polynomial of endomorphisms of finite dimensional vector spaces, diagonalization.
- Dual space and dual base.
- Scalar products, orthogonal basis and Sylvester Theorem; Euclidean spaces and Gram-Schmidt process.
- Self-adjoint operators and spectral Theorem.
- Affine spaces, affine coordinate systems, affine subspaces and their representations. Distance and orthogonality.
- Euclidean classification of plane conics.
Prerequisites
Good knowledge of high school mathematics.
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results, and relevant theorems will be discussed in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises on the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes.
Some exercise sets will be made available regularly on the e-learning website to encourage participation. At the webpage of the course students can find self-assessment quizzes realating to topics covered in the lectures.
A tutor will provide students with support in solving the exercises published on the e-learning website.
The course is delivered in Italian.
Textbook and teaching resource
Reference books:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Lecture notes on the e-learning webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
Written and oral exams, evaluated on the basis of correctness, completeness, precision, and clarity of the answers.
There are 3 ongoing tests. The dates will be avaible at the beginning of the course.
In each test students have to upload their homework on line at a fixed deadline. The test will be evaluated on the basis of correcteness, of method and mathematical language, the maximal score is 10. If the total score is at least 18/30, it will give right to a bonus ( up to 3 points) that concurs both to reaching the threshold for admission to the oral exam and to the final evaluation. This bonus expires after the first two exam calls.
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Written exam. It consists of two parts:
- exercises (with open-ended questions) for evaluating the ability to apply the theoretical results in solving problems;
- a theoretical question where the student is asked to answer by giving definitions, statements of theorems, and provide examples and motivations.
The examination lasts two hours. The maximum score is 33 points: up to 27 for the exercises, and up to 6 for the theoretical question. The passing score of the written exam is 15 points.
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Oral exam. Admission to this test is subject to passing the written test. The oral exam begins with the discussion of the written test and it goes on with the request of definitions, theorems, and proofs, in order to evaluate knowledge of contents of the course and ability to rework learned concepts and to expose rationally. In order to pass the exam the oral test must be sufficient.
The score proposed at the end of the oral test also takes into account both the score of the written part and any possible bonus. This score is the final vote of the exam.
The exam is passed if the final score is at least 18 points.
It is possible to get the exemption from the oral exam, with a score of at least 21 in the written exam, at least 3 in the theoretical question, one has two possibilities:
- to take the oral test;
- to record the vote obtained as follows: the minimum between S and 25, being S the score of the written part increased by the possible bonus.
Note that the bonus does not contribute to the achievement of exemption from the oral exam.
Note that to record a vote higher to 25 it is necessary to take the oral exam.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Sonia Brivio
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Francesca Dalla Volta
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Gianluca Faraco
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Andrea Galasso
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Samuele Mongodi
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Michele Rossi
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Federico Clerici
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Gianluca Ponzoni
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Filippo Valnegri
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Giordano Vitale
