Course Syllabus
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti matematici e numerici per la valutazione degli strumenti finanziari il cui sottostante è un titolo azionario. Inoltre vengono presentati i modelli principali legati alle misure di variabilità nel mercato azionario. Gli obiettivi principali sono:
- Conoscere i tipi fondamentali di strumenti derivati path e non-path dependent.
- Essere in grado di simulare la dinamica di un titolo azionario.
- Saper scaricare i dati dal terminale Bloomberg e saper utilizzare le funzioni per la valutazione dei contratti finanziari.
Contenuti sintetici
I limiti del modello di Black&Scholes e il Lemma di Ito per le funzioni multivariate.
Cambio di numerario.
Opzioni Esotiche
Metodi numerici per la finanza
Modelli a volatilità stocastica
Derivati sulla volatilità
Programma esteso
*I limiti del modello di Black&Scholes e il Lemma di Ito per le funzioni multivariate:
I limiti del modello di Black and Scholes.
Normal Mixture models per l'option pricing.
Il lemma di Ito per le funzioni multivariate.
Tecniche di cambio del numerario:
Introduzione alla tecnica di cambio di numerario.
Derivazione della formula di B&S utilizzando la tecnica del cambio di numerario.
Exchange and Exotic Options:
Valutazione delle Exchange options tramite la tecnica del cambio del numerario.
Opzioni Esotiche: path e non-path dependent.
Metodi numerici applicati alla finanza I
Metodi iterativi
Simulazione di Monte Carlo: teoria, intervalli di confidenza e tecniche di riduzione della varianza.
Simulazione delle traiettorie e applicazioni all'option pricing.
Metodi numerici applicati alla finanza II
Monte Carlo Simulation per le opzioni path dependent.
Alberi binomiali e trinomiali.
Utilizzo di Bloomberg per la valutazione dei derivati
Scaricamento dei prezzi sulle opzioni e della superficie della volatilità implicità.
Scenari simulati per il sottostante e valutazione delle opzioni esotiche in Bloomberg.
Metodi numerici applicati alla finanza III
Metodo delle differenze finite
Applicazione del metodo alle differenze finite per il calcolo delle Greche.
Modelli a volatilità stocastica
Volatilità stocastica. Superficie di volatilità impicita.
Modello di Heston: simulazione, formula per il pricing e superficie di volatilità.
I derivati sulla volatilità
La formula per la replica del log-contract.
Variance e Volatility Swaps. VIX Index: la formula del CBOE.
Prerequisiti
Conoscenza dei concetti riguardanti la matematica finanziaria, agli strumenti derivati e di programmazione.
Metodi didattici
Lezioni in aula (teoria e svolgimento di esercizi di Matlab utilizzando i dati scaricati da Bloomberg).
Modalità di verifica dell'apprendimento
Realizzazione di una relazione su un project work e successiva prova orale obbligatoria.
Voto finale= 0.4* Voto Project work+0.6* Voto Prova Orale
Project work
-Gli studenti formeranno dei gruppi (3-4 studenti) e a ciascun gruppo verrà assegnato un progetto da svolgere riguardante i temi visti a lezione. Il progetto tratterà argomenti di rilevanza pratica nell'ambito della valutazione di strumenti derivati e userà dati di mercato scaricati dal terminale Bloomberg.
- Ogni gruppo dovrà elaborare una relazione scritta sul lavoro svolto. Anche i codici Matlab prodotti per svolgere l'assignment devono essere inclusi nel report finale.
Prova orale
-L’esame orale e il voto d’esame sono individuali.
-L’esame orale consisterà in un colloquio iniziale sulla relazione svolta in gruppo (project work), e successivamente in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione.
Testi di riferimento
Materiale fornito dal docente (slide delle lezioni e codici Matlab) sul sito della didattica in rete di ateneo (pagina e-learning del corso)
J. Hull, ’Options, Futures and other derivatives’, 7th edition in English (Prentice Hall).
P. Glasserman, ’Monte Carlo Methods in Financial Engineering’ Springer Science, 2003
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The aim of the course is to provide students with the main mathematical and numerical tools useful for the evalutation of equity derivatives. Furthermore, duting the course the main volatility models are presented. The main targets are:
- Knowing the types of path and non-path dependent .
- Being able to simulate the price dynamics of an equity.
- Being able to download financial data and to use Bloomberg for pricing non vanilla options.
Contents
Black&Scholes and Ito’s lemma for multivariate functions
Change of Numéraire technique.
Exchange and Exotic Options
Numerical Methods in Finance
Stochastic volatility models
Volatility derivatives
Detailed program
Black&Scholes and Ito's Lemma for multivariate functions:
Limits of the Black and Scholes model.
Normal Mixture model for option pricing.
Ito’s lemma for multivariate functions.
Change of Numéraire technique: Introduction to the Change of Numéraire technique.
Derivation of B&S formula using the Change of Numéraire technique
Exchange and Exotic Options: Valuation of Exchange options through change of Numéraire.
Exotic Options: path and non-path dependent.
Numerical Methods in Finance I
Iterative methods: Bisection, Secant and Newton-Raphson Methods and Calibration problem (Matlab functions: fmincon and fminunc)
Monte Carlo Simulation: Theory, Confidence Intervals and Variance Reduction techniques.
Simulation of sample paths and application for option pricing.
Numerical Methods in Finance II
Monte Carlo Simulation for path dependent options.
Binomial and Trinomial tree implementation (an introduction).
Pricing derivatives in Bloomberg
Plain vanilla option prices and implied volatility surface
Simulated scenarios for the underlying and pricing of exotic derivatives in Bloomberg.
Numerical Methods in Finance III
Finite Difference Approximation: first and second derivative.
Application of the finite difference method for the Greeks.
Stochastic volatility models Stochastic Volatility: Derivation of the valuation Equation.
Properties of Stochastic Volatility. Implied Volatility Surface.
Heston Model: simulation, pricing formula and volatility surface.
Volatility derivatives
The log-contract replication formula.
Variance and Volatility Swaps. VIX Index: CBOE Formula.
Prerequisites
Good knowledge of financial math, derivatives and coding.
Teaching methods
Standard classes (theoretical aspects and practical implementations in Matlab using data downloaded from the data provider Bloomberg).
Assessment methods
Project work and subsequent oral examination
Final grade=0.4*Grade of the project work+0.6*Grade of the Oral Examination
Project work
-Students will be organized in small groups and each group will receive an assignment related to some of the topics seen during the course. Data used will be downloaded from Bloomberg.
- Each group should produce a report on the assigned project work. Matlab codes used to produce the report should also be included.
Oral examination
-The oral exam and the final grade are individual.
-During the oral examination there be a discussion on the project and on the topics covered in the course.
Textbooks and Reading Materials
Slides and Matlab codes will be provided by the teacher in the elearning page of the course.
J. Hull, ’Options, Futures and other derivatives’, 7th edition in English (Prentice Hall).
P. Glasserman, ’Monte Carlo Methods in Financial Engineering’ Springer Science, 2003
Semester
First Semester
Teaching language
Italian