Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo del corso è introdurre gli studenti agli aspetti basilari della Geometria Complessa, mettendone in risalto la relazione con altre branche della Geometria, oltre che dell'Analisi e dell'Algebra.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria;
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso.
Contenuti sintetici
La prima parte del corso verterà sulla Teoria delle Superifici di Riemann, ossia delle superfici dotate di una struttura complessa. La seconda avrà carattere più algebrico e sarà un'introduzione al linguaggio e ai metodi della Geometria Algebrica Complessa.
Programma esteso
-
Generalità sulle strutture complesse
-
Topologia delle superfici di Riemann
-
Mappe olomorfe, ricoprimenti ramificati s
-
Superfici di Riemann da curve algebriche
-
Teorema di Riemann-Hurwitz
-
Forme olomorfe e meromorfe
-
Relazioni bilineari di Riemann
-
Divisori e serie lineari, Teorema di Riemann-Roch
-
Fondamenti di Algebra Commutativa
-
Localizzazione
-
Normalizzazione
-
Teorema degli zeri di Hilbert
-
Varietà affini e morfismi tra di esse
-
Varietà proiettive e quasi-proiettive
-
Esempi notevoli (Gruppi Algebrici...)
Prerequisiti
I contenuti degli insegnamenti di Algebra, Analisi e Geometria del biennio della Laurea Triennale. Sono inoltre molto utili i contenuti degli insegnamenti di Algebra, Geometria e Analisi Complessa del III anno della Laurea Triennale.
Modalità didattica
Lezioni alla lavagna. La lingua sarà in italiano per la prima parte, a meno che la presenza di studenti stranieri renda necessario l'utilizzo della lingua inglese; la seconda parte sarà tenuta in lingua inglese a prescindere.
Materiale didattico
- Lezioni registrare
- Letture consigliate:
-
W. Fulton Algebraic Topology A first course Springer Verlag -
P. Griffiths Introduction to Algebraic Curves AMS -
I. R. Shafarevich Basic Algebraic Geometry I Springer Verlag
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Durante lo svolgimento del corso, verranno offerte due prove in itinere, attinenti alla prima e alla seconda metà del corso, rispettivamente, ciascuna delle quali consisterà in una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e domande teoriche, sulla falsariga di quanto viene proposto nelle prove degli appelli regolari (vedasi descrizione qui sotto). Le domande teoriche verteranno su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici. Per superare l'esame mediante le prove in itinere, lo studente deve ottenere la sufficienza (18/30) in entrambe. Le due prove in itinere contribuiranno in egual misura alla formazione del voto finale.
Gli studenti che non superano l'esame mediante le prove in itinere potranno sostenere gli appelli regolari. In occasione di ogni sessione d’esame, verranno offerte due prove scritte, attinenti, come le prove in itinere, alla prima metà e alla seconda metà del corso, rispettivamente e strutturate nello stesso modo. Ogni prova scritta consisterà quindi di una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e di domande teoriche.
Attraverso gli esercizi computazionali, verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente.
Attraverso le domande teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un’esposizione coerente e puntuale.
Per superare l'esame negli appelli regolari, lo studente ottenere la sufficienza di 18/30 in ciascuna delle due prove scritte. Non è necessario che le prove vengano superate nel medesimo appello d’esame. E’ altresì consentito superare una delle due prove in corrispondenza di una prova in itinere e un’altra in occasione di un appello regolare.
A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento.
L’esatta suddivisione del corso nelle due parti verrà comunicata durante lo stesso e con ampio anticipo rispetto alle prove.
Orario di ricevimento
su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to introduce students to the basic aspects of Complex Geometry, with a special emphasis on its deep relation to the other branches of Geometry, as well as to Analysis and Algebra.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory in differential geometry; the knowledge and understanding of some of the key foundational examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results being used;
- the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises;
- the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
The first part of the course will deal with the theory of Riemann surfaces, that is, surfaces endowed with a complex structure. The second will have a more algebraic cut, and will be a basic introduction to the language and techniques of complex Algebraic Geometry.
Detailed program
-
Generalities on complex structures.
-
Topology of Riemann surfaces.
-
Holomorphic maps, branched coverings
-
The Riemann surface of an algebraic curve
-
Riemann-Hurwitz theorem
-
Holomorphic and meromorphic forms
-
Riemann bilinear relations
-
Divisors and linear series, Theorem of Riemann-Roch
-
Basics of Commutative Algebra
-
Localization
-
Normalizations
-
Hilbert's Nullstellensatz
-
Affine varieties and their morphisms
-
Projective and quasi-projective varieties
-
Notable examples (Algebraic groups...)
Prerequisites
The content of the courses in Algebra, Analysis, and Geometry of the first two years of the Laurea Triennale in Mathematics. In addition, the courses in the same subjects in the third year of the Laurea Triennale are highly recommendedi for an optimal preparation to this course.
Teaching form
Lectures at the blackboard. The first part will be taught in Italian, unless the presence of foreign students makes the use of English preferable. The second part will be taught in English irrespective of the composition of the class.
Textbook and teaching resource
- Registered lessons
- Recommended textbooks:
-
W. Fulton Algebraic Topology A first course Springer Verlag -
P. Griffiths Introduction to Algebraic Curves AMS -
I. R. Shafarevich Basic Algebraic Geometry I Springer Verlag
Semester
first semester
Assessment method
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. Each partial test will consist of a balanced flexible combination of computational exercises and theoretical questions. The exercises and theoretical questions in these tests will be along the lines of those offered in the practical and theoretical tests of the regular exam sessions (see below). The two partial tests will contribute equally to the final grade. To pass the exam through the partial tests, the student needs to pass each of them, thus obtaining a grade of at least 18/30 in both.
Alternatively, students may pass the exam through the regular exam sessions that follow the end of the course, and exactly the same pattern will be offered in every exam session. Thus, each session comprises two written tests, each referred to one half of the course, and consisting of a balanced combination of computational exercises and theoretical questions. The theoretical questions will involve definitions, statements of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems.
The exercises will measure the student's ability to master the acquired formalism and apply it to some simple computations, to build on the acquired theoretical knowledge, and to invoke it in a pertinent and precise manner.
The theoretical questions will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner.
In order to pass the exam in one of the regular sessions, the student needs to obtain a grade of at least 18/30 in each of the two tests, which will contribute equally to the final grade. The two tests needn’t be undertaken in the same session. It is also allowed to pass one the tests during the course and the other in a regular exam session.
To each exercise/theoretical question (or problem) a maximum partial grade will be assigned by the commission, depending on its difficulty and length. In the evaluation, every student will be given a grade in correspondence to each exercise/theoretical question (or problem) up to the maximum one, measuring the exactness, the completeness, the rigour, the clarity and the overall coherence of the development.
The exact subdivision of the course in two parts will be communicated well in advance during its duration.
Office hours
upon appointment
