Lo scopo dell'insegnamento è introdurre lo studente alla teoria delle varietà riemanniane, ossia le varietà differenziali dotate di una metrica riemanniana, che consiste nell’assegnazione di un prodotto scalare euclideo a ogni spazio tangente, che vari in modo liscio con il punto base. Il corso si propone di familiarizzare lo studente con i concetti e le tecniche di base della geometria differenziale, partendo dal concetto fondante di connessione di Levi-Civita come generalizzazione dal contesto ‘piatto’ a quello ‘curvo’ della derivata ordinaria di un campo vettoriale. A partire dalla connessione di Levi Civita, verranno infatti introdotti gli invarianti di curvatura e le geodetiche. Un aspetto che ci si propone di illustrare è l’interazione tra le caratteristiche locali della struttura riemanniana, compendiate dalla curvatura, e la ‘forma globale’ della varietà stessa, ossia le sue caratteristiche topologiche.

Al termine del corso ci si attende che gli studenti abbiano acquisito:

1. le nozioni e i risultati basilari della Geometria Riemanniana classica.
2. le abilità di verifica, su esempi concreti, delle principali proprietà geometriche delle varietà Riemanniane.
3. la capacità di rielaborare quanto visto a lezione e di procedere in modo autonomo allo studio di aspetti avanzati della teoria completando i dettagli delle varie argomentazioni presenti.