- Differential Geometry
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre lo studente alla teoria delle varietà riemanniane, ossia le varietà differenziali dotate di una metrica riemanniana, che consiste nell’assegnazione di un prodotto scalare euclideo a ogni spazio tangente, che vari in modo liscio con il punto base. Il corso si propone di familiarizzare lo studente con i concetti e le tecniche di base della geometria differenziale, partendo dal concetto fondante di connessione di Levi-Civita come generalizzazione dal contesto ‘piatto’ a quello ‘curvo’ della derivata ordinaria di un campo vettoriale. A partire dalla connessione di Levi Civita, verranno infatti introdotti gli invarianti di curvatura e le geodetiche. Un aspetto che ci si propone di illustrare è l’interazione tra le caratteristiche locali della struttura riemanniana, compendiate dalla curvatura, e la ‘forma globale’ della varietà stessa, ossia le sue caratteristiche topologiche.
Al termine del corso ci si attende che gli studenti abbiano acquisito:
- le nozioni e i risultati basilari della Geometria Riemanniana classica.
- le abilità di verifica, su esempi concreti, delle principali proprietà geometriche delle varietà Riemanniane.
- la capacità di rielaborare quanto visto a lezione e di procedere in modo autonomo allo studio di aspetti avanzati della teoria completando i dettagli delle varie argomentazioni presenti.
Contenuti sintetici
Partendo dal problema dell’esistenza di una metrica Riemanniana su una generica varietà differenziale, si passerà alla nozione di derivazione di Levi-Civita, e di corrispondente trasporto parallelo, che consentirà di definire il concetto di curva geodetica come curva ad accelerazione nulla. Lo studio del tensore di curvatura di Riemann e delle sue tracce, anche concretizzato al caso delle superfici regolari nello spazio Euclideo, precederà la parte culminante del corso che, tempo permettendo, sarà dedicata ad alcuni aspetti globali quali la caratterizzazione della completezza in accordo al teorema di Hopf-Rinow e il legame tra il segno della curvatura e la topologia di una varietà Riemanniana completa.
Programma esteso
- Cenno alle superfici regolari nello spazio Euclideo e loro curvature
- Definizione ed esistenza delle metriche Riemanniane
- Connessione di Levi-Civita e trasporto parallelo
- Geodetiche e mappa esponenziale
- Campi di Jacobi e punti coniugati
- La struttura metrica intrinseca di una varietà Riemanniana
- Le curvature di una varietà Riemanniana
- Risultati globali (tempo permettendo)
8.1) Teoria globale delle geodetiche e completezza
8.2) I teoremi di Bonnet-Myers e di Cartan-Hadamard
Prerequisiti
Calcolo differenziale in più variabili, nozioni di base sulle varietà differenziabili, algebra lineare e multilineare.
Modalità didattica
Lezioni frontali, affiancate da esercizi da svolgere a casa e dallo studio individuale di un argomento avanzato e non esposto a lezione
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Testi di base
M. P. do Carmo Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.
Tu, Loring W. Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 275.
Ulteriore materiale didattico (come le note delle lezioni) verrà fornito durante il corso
Testi per approfondimenti
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica dell’apprendimento consisterà di due parti:
-
Un esame orale tradizionale, durante il quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le nozioni di base, le dimostrazioni dei principali teoremi, e la capacità di analisi e calcolo su alcuni esempi concreti.
-
Un seminario con il quale lo studente deve dimostrare di aver acquisito la capacità di comprendere individualmente un argomento avanzato non esposto a lezione, completando tutti i dettagli delle argomentazioni.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to introduce the foundations of the theory of Riemannian manifolds, that is, manifolds endowed with a Riemannian metric, which consists in the assignment to each tangent space of a smoothly varying Euclidean product. The students will familiarize with the most basic concepts and techniques of differential geometry, moving from the foundational concept of Levi-Civita connection. Starting from the latter, the basic local curvature invariants and the notion of geodesic will be introduced. A key aspect which we propose to illustrate is the interplay between local aspects of the Riemannian metric, and the global topological structure of the underlying manifold.
At the end of the course students are expected to have acquired:
- the basic notions and results of the classical Riemannian Geometry.
- the abilty of verifying on concrete examples the main geometric properties of Riemannian manifolds.
- the ability to process what was seen in class and to independently proceed with the study of advanced aspects of the theory by completing the details of the various arguments.
Contents
Starting from the problem of the existence of a Riemannian metric on a generic differential manifold, we will move on to the notion of Levi-Civita connection, and of corresponding parallel transport, which will allow us to define the concept of geodesic curve as a curve with zero acceleration. The study of the Riemann curvature tensor and its traces, also concretized in the case of regular surfaces in Euclidean space, will precede the culminating part of the course which, time permitting, will be dedicated to some global aspects such as the characterization of completeness according to the theorem of Hopf-Rinow and the link between the sign of curvature and the topology of a complete Riemannian manifold.
Detailed program
- Outline of regular surfaces in Euclidean space and their curvatures
- Definition and existence of Riemannian metrics
- Levi-Civita connection and parallel transport
- Geodesics and expontential map
- Jacobi fields and conjugate points
- The intrinsic metric structure of a Riemannian manifold
- Curvatures of a Riemannian manifold
- Global results (time permitting)
8.1) Global theory of geodesics and completeness
8.2) The Bonnet-Myers and Cartan-Hadamard theorems
Prerequisites
Differential calculus in several variables, basic notions of differentiable manifolds, linear and multilinear algebra.
Teaching form
Lectures, exercises to be carried out at home and individual study of an advanced topic not exposed in class.
The course is scheduled in Italian but could be held in English in the presence of foreign students
Textbook and teaching resource
Basic textbooks
M. P. do Carmo Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.
Tu, Loring W. Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 275.
Additional teaching material (such as lecture notes) will be provided during the course
More advanced textbooks
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
P. Petersen Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006.
Semester
Second semester
Assessment method
The verification of learning will consist of two parts:
-
A traditional oral exam, during which the student will have to show that she/he has acquired the basic notions, the demonstrations of the main theorems, and the ability to analyze and calculate on some concrete examples.
-
A seminar with which the student must demonstrate that she/he has acquired the ability to individually understand an advanced topic not exposed in class, completing all the details of the arguments.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Key information
Staff
-
Stefano Pigola