Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti i fondamenti dell'Analisi Funzionale. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per affrontare problemi in diversi ambiti della matematica. Particolare enfasi verrà posta sulla risoluzione di problemi.
Contenuti sintetici
Spazi localmente compatti di Hausdorff. Spazi di funzioni continue. Spazi Lᵖ. Compattezza in C⁰ e in Lᵖ. Topologia deboli e debole* (debole stella). Compattezza nelle topologie deboli. Teoremi di rappresentazione di Riesz.
Programma esteso
Spazi metrici, spazi vettoriali normati, compattezza della bolla chiusa e dimensione.
Spazi di funzioni continue. Lemma di Urysohn e cut-offs. Il Teorema di Stone-Weierstrass: densità e separabilità. Compattezza negli spazi di funzioni continue: il Teorema di Ascoli-Arzelà.
Spazi Lᵖ e loro proprietà basilari. Il Teorema di Lusin: densità e separabilità. Compattezza negli spazi Lᵖ : il Teorema di Kolmogorov-Riesz. L'embedding canonico di Frechet-Kuratowski per spazi metrici separabili e non separabili.
Funzionali lineari e topologia debole su uno spazio normato. Funzionali subadditivi positivamente omogenei. Forma generale del Teorema di Hahn-Banach. Convessità e separazione mediante iperpiani. Il Teorema di Mazur: chiusura debole e forte di insiemi convessi.
Topologia debole* (debole stella). Biduale ed embedding di James. Il Teorema di Banach-Alaoglu: compattezza debole* della palla chiusa nel duale.
Spazi riflessivi. Riflessività negli spazi Lᵖ. Uniforme convessità e riflessività. Convergenza forte e debole in spazi uniformemente convessi. I teoremi di Kakutani e di Eberlein-Smulyan: compattezza debole della palla chiusa e riflessività. Compattezza per successioni nella topologia debole*.
Spazi vettoriali topologici localmente convessi: definizione e proprietà elementari. Involucro convesso e punti estremali: il teorema di Krein-Milman.
Misure con segno. Il teorema di Radon-Nikodym. Dualità negli spazi di funzioni continue: il Teorema di Rappresentazione di Riesz.
Prerequisiti
Elementi di teoria dell’integrazione astratta, elementi di teoria degli spazi Lᵖ, elementi di topologia generale. Conoscenze di base sugli spazi di Banach e sugli spazi di Hilbert. Abilità di problem-solving di base.
Modalità didattica
Le lezioni frontali sono organizzate per introdurre i principali concetti teorici, presentare le principali idee nella dimostrazione dei teoremi e analizzare esplicitamente esempi/problemi. Durante il corso saranno assegnati anche degli esercizi da svolgere in autonomia con lo scopo di allenare le proprie capacità di problem solving, e di approfondire qualche aspetto della teoria.
Il corso è previsto in lingua italiana, anche se ovviamente qualche termine inglese verrà utilizzato. Il corso potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti che non parlano italiano.
Materiale didattico
Referenze bibliografiche
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Graduate Studies in Mathematics, volume 191. AMS, Providence, RI, 2018
Ulteriore materiale
Sulla pagina E-Learning del corso verranno distribuiti i seguenti documenti:
- Alcune note del corso, o collegamenti a materiale online
- Esercizi e problemi.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame sarà scritto, con orale facoltativo. Non sono previste prove in itinere. La parte scritta consisterà nella risoluzione di esercizi/problemi, con lo scopo di testare la comprensione degli studenti sul programma del corso e le loro abilità di problem-solving.
L'orale è facoltativo (a richiesta dello studente o del docente), e consisterà in un colloquio sullo scritto e nella risoluzione di ulteriori esercizi/problemi. Senza l'esame orale non è possibile verbalizzare un voto maggiore o uguale al 28.
Orario di ricevimento
Su appuntamento (da concordare via e-mail).
Sustainable Development Goals
Aims
Consistently with the educational objectives of the master degree in mathematics, the course aims to provide students with the knowledge about the definitions and the basic theorems of functional analysis. The skills needed to understand and analyze the main techniques and demonstration methods related to the theory, and the skills to apply them to face problems in different areas of Mathematics will also be trained. Particular emphasis will be placed on problem solving.
Contents
Locally compact Hausdorff spaces. Spaces of continuous functions. Lᵖ Spaces. Compactness in C⁰ and in Lᵖ. Weak and weak* (weak star) topologies. Compactness in the weak topologies. Riesz representation theorems.
Detailed program
Metric spaces, normed vector spaces, compactness of the closed ball and dimension.
Spaces of continuous functions. Urysohn Lemma and cut-offs. The Stone-Weierstrass theorem: density and separability. Compactness in the spaces of continuous functions: the Ascoli-Arzelà Theorem.
Lᵖ spaces and their basic properties. Density and separability: the Lusin Theorem. Compactness in the Lᵖ spaces: the Kolmogorov-Riesz Theorem. The canonical embedding of Frechet-Kuratowski for separable metric spaces.
Linear functionals and weak topology on a normed space. Sub-additive positively homogenous functionals. The Hahn-Banach theorem: general form. Convexity and hyperplane separation. Mazur Theorem: weak and strong closure of convex sets.
The weak* (weak star) topology. Bi-dual and the James embedding. The Banach-Alaoglu Theorem: weak* compactness of the closed ball in the dual space.
Reflexive spaces. Reflexivity in the Lᵖ spaces. Uniform convexity and reflexivity. Weak and strong convergence in uniformly convex spaces. Kakutani and Eberlein-Smulyan theorems: weak compactness of the closed ball and reflexivity. Sequential compactness in the weak* topology.
Locally convex topological vector spaces. Convex hull and extremal points: the Krein-Milman theorem.
Signed measures. The Radon-Nikodym Theorem. Duality in the spaces of continuous functions: the Riesz Representation Theorem.
Prerequisites
Elements of the theory of abstract integration, elements of Lᵖ space theory , elements of general topology. Basic knowledge of Banach spaces and Hilbert spaces. Basic problem-solving skills.
Teaching form
Lectures are organized to introduce the main theoretical concepts, to present the main ideas of the proofs of the theorems and to analyze explicit examples/problems. Take-home exercises will be assigned in order to train the problem solving skills of the students, and to elaborate on some aspects of the theory.
The lectures are in Italian, unless there are non-Italian speakers among the students in which case they could be in English.
Textbook and teaching resource
Bibliographic references
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Volume 191 of Graduate Studies in Mathematics. AMS, Providence, RI, 2018.
Further material
On the e-learning page of the course, the following will be made available:
- Some lecture notes, or links to online resources
- Exercises and problems.
Semester
First semester.
Assessment method
The final exam is written, with the possibility of an oral part. There are no partial exams during the course. The written exam consists in the resolution of exercises/problems, with the aim of testing the knowledge of the students on the topics of the course, as well as testing their problem-solving skills.
The oral part of the exam is not mandatory, but it can be asked for by the student or the teacher. It consists of a discussion about the written part of the exam, and the resolution of other exercises/problems. Without an oral exam, it is not possible to obtain a mark greater than or equal to 28.
Office hours
By appointment (to be scheduled via e-mail).
Sustainable Development Goals
Staff
-
Daniele Valtorta
