Course Syllabus
Obiettivi
L' insegnamento ha lo scopo di proseguire ed approfondire il percorso in geometria della Laurea Triennale. Non è propedeutico agli altri insegnamenti di Geometria, che possono comunque essere scelti indipendentemente, ma ha la finalità di unificare e collegare le altre tematiche.
La topologia differenziale indaga l’interazione tra la struttura differenziale e le proprietà topologiche delle varietà differenziali. Costituisce una base naturale per affrontare anche tematiche più astratte e generali in Topologia Algebrica. Le tecniche legate all’ambito differenziale forniscono inoltre un approccio concreto ed esplicito alla teoria dell’intersezione.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in topologia differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
Capacità: la capacità di applicare le tecniche e i concetti sviluppati alla discussione di esempi notevoli e alla soluzione di semplici esercizi, nonché di esporre in modo organico, con chiarezza e precisione, i risultati teorici appresi.
Contenuti sintetici
Trasversalità e teoria dell’intersezione.
Teoria di De Rham su varietà differenziali.
Programma esteso
- Applicazioni trasverse ad una sottovarietà liscia, intersezione di varietà trasverse.
- Trasversalità per varietà a bordo.
- Applicazioni: esistenza di retrazioni lisce, Teorema del punto fisso di Brower.
- Teoremi di trasversalità, proprietà di genericità.
- Indice di intersezione modulo 2 e grado di una mappa liscia modulo 2.
- Teoria dell’intersezione per varietà orientate: numeri di intersezione per varietà orientate e teoria del grado.
- Applicazioni: numero di avvolgimento e Teorema di Jordan-Brouwer.
- Teoria dei punti fissi di Lefschetz.
- Campi vettoriale e Teorema di Poincarè-Hopf.
- Gruppi di Coomologia di de Rham su varietà lisce.
- Sequenza esatta di Mayer-Vietoris.
- Dualità di Poincaré su una varietà orientata.
- Formula di Kunneth.
Prerequisiti
Sono presupposti: i contenuti di base dei corsi di Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Geometria I e II del biennio della Laurea Triennale in Matematica; le nozioni di base sulle varietà differenziali e sulle forme differenziali, come introdotte nei corsi di Geometria II e III. Verrà fatto comunque un breve riepilogo quando necessario.
Modalità didattica
L' insegnamento si svolge mediante lezioni frontali alla lavagna.
Verranno proposti alcuni esercizi relativi agli argomenti svolti durante le lezioni. Saranno pubblicati alla pagina e-learning del corso e la loro risoluzione potrà essere discussa in aula a richiesta degli studenti o durante i ricevimenti.
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
Non sono previste prove in itinere o parziali.
La prova orale si divide in due parti:
-nella prima vengono proposti quesiti di carattere teorico (definizioni, enunciati e dimostrazioni dei risultati discussi a lezione),
-nella seconda vengono proposti quesiti di applicazione della teoria (risoluzione di esercizi simili a quelli proposti durante le lezioni, costruzione di esempi o controesempi).
Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del punteggio finale valutato in trentesimi. Nella prima parte verranno valutate la conoscenza e la comprensione dei concetti presentati nel corso e dei risultati teorici dimostrati in aula, la capacità di organizzare un' esposizione efficace, rigorosa e coerente. Nella seconda parte verranno valutate la padronanza e l'autonomia nell'affrontare lo svolgimento degli esercizi, l'esattezza delle risposte e la proprietà del linguaggio matematico utilizzato.
L'esame è superato se si ottiene una valutazione di almeno 18/30.
Sono previsti 5 appelli d'esame (giugno, luglio, settembre, gennaio e febbraio).
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The scope of this course is the continuation of the study of Geometry along the path started in the Laurea Triennale (Bachelor). While it is not a strict prerequisite to the other courses in Geometry, which can be taken independently, it aims to unify and connect the different themes and perspectives developed in them.
Differential topology studies the interplay between the differential structure and the topological properties of smooth manifolds. Differential topology is thus also a natural starting base to explore more abstract aspects of algebraic topology. These techniques also yield a geometric approach to intersection theory.
The expected learning outcomes include the following:
- Knowledge: the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of differential topology; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications and examples of the theory;
- competence: the ability to apply the acquired abstract knowledge to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Transversality and intersection theory.
De Rham Theory for smooth manifolds.
Detailed program
- Transversal maps, intersection of transversal smooth manifolds.
- Transverality for manifolds with boundary.
- Applications: smooth retractions of manifolds and Brower fixed-point Theorem.
- Transversality Theorems, homotopy and families.
- Intersection Theory mod 2.
- Intersection Theory for oriented manifolds: intersection number for oriented varieties, degree of a map.
- Applications: winding numbers and Jordan-Brouwer separation Theorem.
- Lefschtez fixed-point Theory.
- Vector fields and Poincarè-Hopf Theorem.
- De Rham cohomology groups on smooth manifolds.
- Mayer-Vietoris sequence.
- Poincarè duality on orientable manifolds.
- The Kunneth Theorem.
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I, Linear Algebra and Geometry, Geometry I. The basics on differential varieties and differential forms (as content of Geometry II and Geometry III). Brief recalls will be offered as needed.
Teaching form
Front lessons at the blackboard.
Some exercises will be proposed, their solutions can be discussed either in class or during office hours.
The course is provided in Italian, but it could be conducted in English in the presence of foreign students.
Semester
Second semester
Assessment method
The assessment method consists in oral exam.
There are no partial texts.
The exam consists of two parts:
-in the first one there are theorethical questions involving definitions, statements of theorems, proofs,
-in the second one there are computational questions as construction of examples and counterexamples and exercises (similar to those proposed at lectureres).
The two parts will contribute equally to the the final grade (up to 30/30). In the first part, the evaluation will take into account the knowledge and the understanding of conceptual framework of the course, as well the ability to expose it in well-organized manner. In the second part, the evaluation will take into account the ability to perform exercises, the exactness of the answers and the mathematical language used.
In order to successfully complete the exam the students need to obtained a grade of at least 18/30.
There will be 5 exam sessions (june, july, september, january and february).
Office hours
Upon appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Sonia Brivio
