Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti alcuni importanti capitoli della matematica, attraverso la storia della matematica. L'insegnamento si propone altresì di fornire le competenze necessarie per comprendere ed analizzare la letteratura matematica classica, e le abilità utili per collegare questa matematica classica con teorie più recenti. Lo scopo è quello di ottenere una visione unitaria della matematica e dei collegamenti con altre scienze. Detto in altro modo, l'insegnamento si propone di presentare un certo numero di risultati classici ed elementari che hanno fatto la storia della matematica, e che uno studente curioso ha sempre desiderato conoscere ma non ha mai avuto il coraggio di chiedere. I risultati attesi sono un inquadramento storico ed una migliore comprensione di molti argomenti di algebra, geometria, analisi, incontrati nel corso degli studi.
Contenuti sintetici
Il corso è più matematica che storia. Quanto enunciato viene anche dimostrato. L'argomento principale sono i numeri: Numeri Interi, Razionali, Algebrici, Trascendenti. Si può dividere il corso in tre capitoli:
Numeri trascendenti. Quadratura di cerchio e iperbole.
Numeri algebrici. Equazioni algebriche.
Numeri interi. Equazioni diofantee. Numeri primi.
Programma esteso
Numeri trascendenti. Quadratura di cerchio e iperbole.
Calcolo numerico di pigreco (Archimede, Newton). Numeri razionali e irrazionali, algebrici e trascendenti (Pitagora, Liouville, Cantor). Numeri costruibili con riga e compasso (Euclide, Cartesio, Gauss). Irrazionalità e trascendenza di e (Eulero, Hermite), e pigreco (Lambert, Lindemann).
Numeri algebrici. Equazioni algebriche.
Teorema fondamentale dell'algebra (d'Alembert, Gauss). Equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado (Tartaglia, Cardano, Ferrari, Lagrange). Equazioni di quinto grado (Ruffini, Abel, Galois). Zeri di un polinomio in un intervallo (Cartesio, Sturm).
Numeri interi. Equazioni diofantee. Numeri primi.
Equazioni diofantee (Archimede, Diofanto, Fermat, Eulero). Teorema fondamentale dell’aritmetica (Euclide, Gauss). Esistenza di infiniti primi (Euclide, Eulero). Primi in progressioni aritmetiche (Dirichlet). Distribuzione dei numeri primi (Riemann, Hadamard, de la Vallée Poussin).
Se c'è tempo, qualche altro argomento concordato con la classe.
I seminari tenuti dagli studenti sono parte integrante del corso. Ecco alcuni titoli:
Archimede “Sul cilindro e la sfera”.
Pappo “Mathematicae collectiones - Liber V”.
Pappo “Mathematicae collectiones - Liber VII” & Pascal “Essay pour les coniques”.
Ferrari & Tartaglia “Cartelli di matematica disfida”.
Huygens “Horologium oscillatorium”.
Newton “Enumeratio linearum tertii ordinis”.
Grandi “Flores geometrici”.
Eulero “De summis serierum reciprocarum” & Bernoulli “Inquisitio in summam series 1/1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+etc.”.
Eulero “De serierum determinatione”.
Eulero “De fractionibus continuis dissertatio”.
Eulero “Demonstratio theorematis Fermatiani omnen numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum”.
Eulero “Elementa doctrinae solidorum”.
Eulero “Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum”.
Gauss “Disquisitiones arithmeticae - Aequationibus circuli sectiones definientibus”.
Gauss “Berechnung des Osterfestes“.
Cauchy “Sur les polygones et les polyédres”.
Abel “Recherches sur la série 1+mx/1+m(m-1)x^2 /1∙2+m(m-1)(m-2)x^3/1∙2∙3+…”.
Dirichlet “Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie”.
Lobačevskij “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele”.
Chebyshev “Sur la totalité des nombres premiers inférieus à une limite donée”.
Riemann “Fondamenti di una teorica generale delle funzioni di una variabile complessa”.
Cayley “On countor and slope lines“ & Maxwell “On hills and dales“.
Borel “Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques”.
Prerequisiti
Un certo interesse per la storia, e la matematica della laurea triennale. Le dimostrazioni di alcuni risultati richiedono un po' di analisi complessa, ma è un prerequisito colmabile durante il corso. Gli studenti non provenienti dalla laurea triennale in matematica potrebbero avere problemi, superabili con un po' di buona volontà, eventualmente con un programma personalizzato, con qualche sconto sulle dimostrazioni dei risultati più tecnici. In ogni caso, il docente è disponibile a fornire l'aiuto necessario per colmare eventuali lacune nei prerequisiti.
Modalità didattica
Come la "Gallia est omnis divisa in partes tres", così anche il corso è diviso in tre parti, due gestite autonomamente dallo studente ed una dal docente:
(1) Lo studente deve leggere e studiare un testo di storia della matematica.
(2) Lo studente, da solo o in gruppo, deve preparare una relazione scritta e tenere un seminario su una memoria originale concordata col docente. Per intenderci, una tesina.
(3) Il docente si propone di presentare in aula, con dimostrazioni, un certo numero di risultati classici ed elementari, e la genesi di alcune teorie incontrate nel corso degli studi, con gli uomini dietro queste teorie.
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Uno o più testi di storia della matematica:
G.Loria "Storia delle matematiche dall'alba della civiltà al tramonto del XIX secolo".
C.Boyer “Storia della Matematica”.
M.Kline “Storia del pensiero matematico”.
V.J.Katz "A history of mathematics".
Per gli argomenti trattati a lezione saranno disponibili degli appunti del docente.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Scopo della verifica di profitto è valutare le conoscenze, competenze, abilità operative acquisite dallo studente, in altre parole la sua maturità matematica. L'esame consiste in due parti distinte, sostenibili anche in tempi diversi:
(1) Una relazione scritta ed un seminario su una memoria concordata con il docente.
(2) Un esame orale sulla storia della matematica, e sugli argomenti trattati a lezione.
Ciascuna di queste due parti concorre in parti uguali alla votazione finale. Il voto è in tentesimi e l'esame si intende superato se il voto finale è almeno 18/30.
N.B. Il programma del corso di Storia della Matematica - Elementi (4 CFU) è lo stesso del corso di Storia della Matematica (8 CFU), ma per l'esame non si richiede la relazione scritta e il seminario.
Orario di ricevimento
Su appuntamento. E-Mail: leonardo.colzani@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge of some important chapters in the history of mathematics. It will also build the skill and ability to connect some classical results to more modern theories. In other words, the aim is to present a number of classical and elementary results that you always wanted to know (but were afraid to ask).
Contents
Transcendental numbers. Squaring the circle
Algebraic numbers. Algebraic equations.
Integer numbers. Prime numbers.
Proofs will be required.
Detailed program
Squaring the circle and the hyperbola. Computing pi (Archimedes, Huygens, Newton).
Rational and irrational numbers, algebraic and transcendental (Pytagoras, Liouville, Cantor).
Irrationality and transcendence of e (Eulero, Hermite), and pi (Lambert, Lindemann).
Algebraic equations and the fundamental theorem of algebra (d'Alembert, Gauss).
Equations of first,second third and fourth degree (Tartaglia, Cardano, Ferrari).
Equations of fifth degree (Ruffini, Abel, Galois).
Roots of a polynomial in an interval (Cartesio, Sturm).
Prime numbers. The fundamental theorem of arithmetic (Euclid, Gauss).
Primes are infinite (Euclid, Eulero). Primes in arithmetic progressions (Dirichlet).
Distribution of prime numbers (Riemann, Hadamard, de la Vallée Poussin).
The seminars of the students are part of the program.
Prerequisites
The algebra, analysis, and geometry in standard undergraduate mathematical courses. Some complex analysis may be
helpful. In case of problems, the lecturer may provide help.
Teaching form
The course is scheduled in Italian but could be held in English in the presence of foreign students.
(1) The student is expected to read and study some books on the history of mathematics.
(2) The student is expected to write a report and give a seminar on an original memoir.
(3) The teacher will present in the classroom, with proofs, a certain number of classical theorems and the genesis of some theories encountered in the mathematical curriculum.
Textbook and teaching resource
Some books on the history of mathematics:
C.Boyer "A history of Mathematics".
M.Kline "Mathematical thought from ancient to modern times".
V.J.Katz "A history of mathematics".
Notes provided by the teacher.
Semester
1st semester.
Assessment method
The exam consists of two parts, a written report with a seminar on a subject in agreement with the lecturer, and an oral examination. These two parts, the witten report with seminar and the oral exam, can be taken at different times. The final evaluation results from the average between the parts of the examination. Mark out of thirty. The exam is passed if the evaluation is at least 18/30.
N.B. The program of the course Storia della Matematica - Elementi (4 CFU) is the same of Storia della Matematica (8 CFU), but for the exam the written report and the seminar are not required.
Office hours
On appointment. E-Mail: leonardo.colzani@unimib.it
Sustainable Development Goals
Staff
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Leonardo Colzani
