Syllabus del corso
Obiettivi formativi
- Sapersi esprimere utilizzando il linguaggio formale della matematica
- Comprendere e saper ripetere semplici dimostrazioni
- Saper applicare i concetti teorici studiati a semplici esercizi, simili a quelli svolti a lezione
- Saper utilizzare Excel per semplici calcoli finanziari.
Contenuti sintetici
- Serie
- Integrali
- Algebra lineare
- Programmazione lineare
- Matematica finanziaria
- Titoli obbligazionari
- Introduzione agli strumenti derivati
Programma esteso
1) Successioni e serie
- definizione di serie: carattere e somma
- condizione necessaria per la convergenza
- serie geometrica, serie telescopica, serie armonica
- serie a termini nonnegativi: criteri di convergenza
- serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz
2) Integrali
- definizione di integrale di Riemann e prime proprietà
- teoremi sugli integrali
- calcolo di primitive: integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.
- Integrali impropri e criteri di convergenza
3) Algebra lineare
- vettori, spazi vettoriali
- matrici, funzioni lineari
- operazioni con le matrici
- determinante, rango, matrice inversa
- sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli
- metodo di Gauss
4) Programmazione lineare.
- Formalizzazione dei problemi di P.L. ed esempi
- Soluzione geometrica
5) Matematica finanziaria tradizionale
- Operazioni finanziarie elementari: montante, interesse, sconto
- Leggi di capitalizzazione e leggi di attualizzazione.
- Tassi di interesse e tassi di sconto. Tassi equivalenti. Forza d'interesse. Scindibilità.
- Rendite e loro classificazione. Calcolo di valori attuali.
- Piani di ammortamento
- VAN e TIR
6) Titoli obbligazionari
- rischio di tasso e duration
- calcolo e proprietà della duration
- calcolo della duration in Excel
- significato geometrico della duration
- idea intuitiva della immunizzazione
- convessità
7) Introduzione agli strumenti derivati
- Generalità sui derivati: opzioni, forward, futures
- Payoff delle posizioni elementari in opzioni, vincoli di Merton
- Prime applicazioni del principio di non arbitraggio
- Il modello binomiale uniperiodale e biperiodale, valutazione di opzioni europee e americane
- Cenni sulla formula di Black-Scholes
Prerequisiti
Il corso di Matematica Generale è propedeutico al corso di Matematica per la Finanza.
In termini generali, saranno fondamentali i concetti di teorema, ipotesi, tesi, dimostrazione, condizione necessaria e condizione sufficiente.
In particolare, utilizzeremo le funzioni elementari (potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche), il concetto di limite, il concetto di asintotico, il concetto di derivata e i metodi di calcolo delle derivate.
Metodi didattici
I concetti teorici saranno spiegati attraverso slides messe a disposizione degli studenti. Al corso saranno affiancate ore di esercitazioni nelle quali i concetti spiegati verranno applicati alla soluzione di semplici problemi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è composto da uno scritto con domande a risposta aperta nel quale verranno valutate sia la conoscenza e la comprensione degli argomenti spiegati a lezione, sia la capacità di applicarli a semplici problemi simili a quelli svolti a esercitazioni. Allo scritto segue un orale facoltativo.
Testi di riferimento
- Slides delle lezioni
Per approfondimenti:
- “Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
- “Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
- “Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare”, S. Stefani, A. Torriero e G. Zambruno, edizioni Giappichelli Torino
- "Opzioni e futures", J. Hull
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
- To be able to express oneself using the formal language of mathematics
- Understand and be able to repeat simple proofs
- Be able to apply the theoretical concepts studied to simple exercises, similar to those carried out in class
- Be able to use Excel for simple financial calculations.
Contents
- Series
- Integrals
- Linear algebra
- Linear programming
- Financial mathematics
- Bonds
- Introduction to derivatives
Detailed program
1) Successions and series
- definition of series: character and sum
- necessary condition for convergence
- geometric series, telescopic series, harmonic series
- series with nonnegative terms: convergence criteria
- series with terms of alternate sign: Leibniz criterion
2) Integrals
- definition of Riemann integral and first properties
- theorems on integrals
- calculation of primitives: integration by parts, by substitution, integration of rational functions.
- Improper integrals and convergence criteria
3) Linear algebra
- vectors, vector spaces
- matrices, linear functions
- operations with matrices
- determinant, rank, inverse matrix
- linear systems: Rouché-Capelli theorem
- Gauss method
4) Linear Programming.
- Formalisation of L.P. problems and examples
- Geometric solution
5) Traditional Financial Mathematics
- Elementary financial operations: principal, interest, discount
- Capitalisation laws and discounting laws
- Interest rates and discount rates. Equivalent rates. Force of interest. Severability.
- Annuities and their classification. Calculation of present values.
- Amortisation schedules
- NPV and IRR
6) Bonds
- interest rate risk and duration
- calculation and properties of duration
- calculation of duration in Excel
- geometric meaning of duration
- intuitive idea of immunisation
- convexity
7) Introduction to derivatives
- Generalities on derivatives: options, forwards, futures
- Payoffs of elementary positions in options, Merton constraints
- First applications of the non-arbitrage principle
- The binomial one-period and two-period model, valuation of European and American options
- Introduction to the Black-Scholes formula
Prerequisites
The course Matematica Generale is a prerequisite for Matematica per la Finanza.
In general terms, the concepts of theorem, hypothesis, thesis, proof, necessary condition and sufficient condition will be fundamental.
More particularly, we will use elementary functions (powers, roots, exponentials, logarithms, trigonometric functions), the concept of limit, the concept of asymptotic, the concept of derivative and the methods for calculating derivatives.
Teaching methods
The theoretical concepts will be explained through slides made available to the students. The course will be accompanied by hours of exercises in which the concepts explained will be applied to the solution of simple problems.
Assessment methods
The examination consists of a written exam with open-ended questions in which both knowledge and understanding of the topics explained in the lecture and the ability to apply them to simple problems similar to those carried out in tutorials will be assessed. The written paper is followed by an optional oral examination.
Textbooks and Reading Materials
- Lectures' Slides
For further reading:
- “Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
- “Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
- “Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare”, S. Stefani, A. Torriero e G. Zambruno, edizioni Giappichelli Torino
- "Opzioni e futures", J. Hull
Semester
First Semester
Teaching language
Italian