Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso intende dare allo studente gli strumenti matematici di base per la comprensione di semplici
modelli matematici in economia. Nello specifico l'obiettivo del corso è quello di insegnare allo studente l'analisi di
funzioni di variabili reali, con cenni al calcolo in due variabili.
Contenuti sintetici
Studio di funzioni reali di variabile reale: dominio, segno, intersezioni con gli assi, limiti di funzioni, punti estremanti, monotonia di una funzione, concavità, punti di flesso. Cenni alle successioni e alle funzioni a due variabili.
Programma esteso
UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale:
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.
Definizione di funzione e di successione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme
controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione e di una successione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva,
biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di
minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione e di una successione. Operazioni con funzioni, composizione,
inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali
orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.
UNITA' 2 - Limiti:
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione
di limite di funzioni e successioni; limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite
(con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.), teorema del confronto (con dim.). Calcolo di limiti per funzioni e successioni.
Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche,
arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni
razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti. Funzione trascurabile
(o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche
di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e
discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione
analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor
intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.
UNITA' 3 - Derivate:
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari;
calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente
verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di
Lagrange (con dim.) e controesempi; Derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.) e controesempi;
definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; Test
della derivata prima per estremi interni. Studio della montonia di una successione. Criterio delle derivate successive;
Test della derivata prima per estremi alla frontiera; definizione di funzione concava/convessa;
Test del primo ordine per la concavità; Test del secondo ordine per la concavità; definizione di punto di flesso.
Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.
UNITA' 4 - Studio completo di funzione e funzioni a due variabili:
Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di
livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari
Prerequisiti
Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.
Metodi didattici
L'attività didattica si svolgerà in presenza.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con 5 esercizi e 3 domande aperte di teoria. Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: Limiti;
Esercizio 3: Vario;
Esercizio 4: Funzioni a due variabili;
Esercizio 5: Studio completo di funzione.
La prova scritta valuta la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Il corso non prevede il frazionamento dell'esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Libri di testo
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D
Ulteriore materiale didattico
Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste ed esempi di domande di teoria (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at giving to the student the basical mathematics tools in order to treat simple mathematical models in economics: after the course the student must have capability in infinitesimal calculus in one variables, with outlines to the calculus in two variables.
Contents
Study of real functions of real variable: domain, sign, intersections with axes, limits of functions, extreme points, monotonicity of a function, concavity, inflection points. Introduction to sequences and functions with two variables.
Detailed program
UNIT 1 - Real functions of a real variable:
Sets N, Z, Q, R. Upper / lower bounded set; intervals; infimum / supremum / maximum / minimum extremum of a set.
Definition of functions and sequences; field of existence; definition of image, image set, counter-image,
counter-image set, graph; use of the analytical expression of a function a a sequence. Use of the graph of a function; injective, surjective bijective function; lower / upper bounded functions; infimum / supremum of a function; minimum / maximum, point of
minimum / maximum of a function; even / odd function; monotonicity of a function and of a sequence. Operations with functions, composition,
inversion. Simple transformations of graphs. Horizontal / vertical translations, horizontal / vertical reflections; partial reflections
horizontal / vertical; rescaling. Composed transformations of graphs.
UNIT 2 - Limits:
Extended real line and neighborhood; definition of internal, external, frontier, isolated, accumulation point; definition of
limit for functions and sequences, right / left limit, limit from above/below; reading limits from the graph. Uniqueness of the limit theorem
(with proof), theorem of permanence of the sign (with proof), squeeze theorem (with proof). Limit computation.
Continuity. Algebra in R*, determined forms, limits of exponential, logarithmic functions,
arctangent. Indeterminate forms, techniques for solving some indeterminate forms (functions
rational / irrational). Asymptotic equivalence and properties. Infinity orders, infinity hierarchies. Negligible function
(little-o). Fundamental limits and relative asymptotic equivalences. Indeterminate forms of exponential type and techniques
of solution. Orders of infinitesimal, hierarchy of infinitesimal, little-o. Continuity (from right / left) and
discontinuity. Classification of discontinuities. Indentification of discontinuities from the graph. Horizontal, vertical, oblique asymptotes. Weierstrass theorem with counterexamples, intermediate value theorem with counterexamples, zeros theorem with counterexamples.
UNIT 3 - Derivatives:
Newton difference quotien of a function at a point; derivative function; derivatives of elementary functions;
computation of derivatives. Tangent line equation; continuity-differentiability link, vertical tangent inflection point, cusp, kink. de L'Hopital's rule; Rolle's theorem (with proof) and counterexamples; Lagrange's theorem (with proof) and counterexamples; derivative of the inverse function. Monotonicity test (with proof) and counterexamples; definition of local extrema; stationary point; Fermat's theorem (with proof); definition of critical point; first derivative test for internal extrema. Monotonicity study for sequences. Subsequent derivatives test; first derivative test for boundary extrema; concave / convex function definition; first order test for concavity; second order order for concavity; inflection point. Taylor and McLaurin polynomials; use of Taylor polynomial for limit computation.
UNIT 4- Complete function study and two variables-functions:
General scheme for the study of a function. Analytical and graphical domains for real functions of two real variables;
level curves; partial derivatives, gradient, stationary points
Prerequisites
Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponential inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of the line passing through two points. Elements of trigonometry.
Teaching methods
Lessons will take place in presence.
Assessment methods
Exam
Written exam with 5 exercises and 3 theory questions. The pattern of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of graphs of elementary functions;
Exercise 2: Limits;
Exercise 3: General;
Exercise 4: Two-variable functions;
Exercise 5: Complete study of function.
The exam evaluates the formal correctness of the solution steps, the adequacy of the mathematical language adopted, the skills and knowledge acquired during the course.
Once the written exam is passed, the teacher or the student can request an additional oral exam. The oral exam covers the whole course program and can contribute both positively and negatively to the final grade.
The course does not include intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Additional textbooks
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Further learning material
Lecture notes (available on the e-learning platform).
Texts and solutions of past written exams (available on the e-learning platform).
List of demonstrations that can be requested and examples of theory questions (available on the e-learning platform).
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian