Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il Corso intende fornire agli studenti un’adeguata padronanza delle nozioni fondamentali sulle serie numeriche, gli integrali definiti e indefeniti, nozioni fondamentali di algebra lineare e di matematica finanziaria.
Alla fine del corso, lo studente è in grado di 1) analizzare il comportamento di serie numeriche, calcolare integrali definiti ed indefiniti ed utilizzare le nozioni fondamentali di algebra lineare e poter manipolare matrici e risolvere sistemi di equazioni lineari 2) applicare le tecniche matematiche presentate a vari problemi di matematica finanziaria e programmazione lineare.
Contenuti sintetici
Il corso presenta nella prima parte le nozioni fondamentali riguardanti Serie Numeriche, Integrali. Nella seconda parte il corso presenta le nozioni fondamentali dell'Algebra Lineare (Matrici e Sistemi di Equazioni), delle Funzioni in più Variabili e cenni di Programmazione Lineare.
Programma esteso
Serie. Definizione di serie. Carattere e somma di una serie. Serie telescopiche. Serie geometrica. Condizione necessaria per al convergenza. Regolarita della serie a termini di segno definitivamnte costante. La serie armonica generalizzata. Criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto. Convergenza semplice e assoluta.
Integrali. Definizione di integrale di Riemann. Codizioni sufficienti per integrabilita. Proprieta dell’integrale definito. Teorema della media integrale. Teorema Fondamentale del calcolo integrale. Definizione di primitive e conseguenze del teorema fondamentale per il calcolo dell’integrale definito. Calcolo di primitive: integrazione per parti. Integrali generalizzati (impropri). Criteri sufficienti per la convergenza.
Algebra Lineare. Spazi vettoriali su R. Prodotto scalare (interno) tra vettori. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante e sue proprieta. Matrice inverse: teorema di unicità, condizone necessaria e sufficiente per invertibilità. Trasformazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Rango di una matrice. Teorema di Rouche-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari.
Funzioni in N Varaibili.
Funzioni Continue. Nozione di derivate parziale . Funzioni differenziabili. Derivate e differenziali di ordine superiori. Forme Quadratiche. Massimi e Minimi liberi. Massimi e minimi vincolati. Introduzione alla programmazione lineare.
Prerequisiti
Matematica Generale, Statistica I
Metodi didattici
Le lezioni sono mirate all'approfondimento delle conoscenze teoriche dello studente sugli argomenti del corso. In questa sede viene dato ampio spazio alla formalizzazione e alla derivazione dei concetti matematici rilevanti per le tematiche considerate ma vengono anche presentate soluzioni di esercizi per illustrare i concetti presentati in astratto. Le esercitazioni sono mirate esclusivamente a potenziare le capacità di problem solving dello studente.
Le lezioni si svolgeranno in presenza e si utilizzerà un approccio didattico ibrido, che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici che solitamente avviene nella prima parte della lezione. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dalla docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta.
In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte in itinere che avranno luogo una sola volta nell’anno.
La prova scritta (sia in itinere che complessiva) è mirata ad accertare le capacità di problem solving dello studente. Sarà quindi costituita da esercizi del tipo presentati nei libri di testo consigliati. In sede di valutazione viene considerata la capacità dello studente di identificare le procedure idonee alla sua soluzione e discutere in modo critico le procedure utilizzate e i risultati conseguiti.
Nel caso di superamento della prova scritta e' possibile sostenere un esame orale facoltativo.
Nel caso in cui la prova scritta sia sostituita dalle due prove in itinere, il voto della parte scritta sarà determinato dalla media dei voti ottenuti nelle singole prove in itinere. Tale media contribuirà poi al voto finale come esposto in precedenza.
Testi di riferimento
- Angelo Guerraggio, MATEMATICA (Seconda Edizione) Pearson Education Italia
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This class aims to give the student a solid foundation for the mastering of the fundamental concepts related to Numerical Series, Integrals, Linear Algebra and Financial Mathematics.
At completion, the student will be able 1) to study numerical series, compute integrals and use the fundamental notions of linear algebra, manipulate matrices and solve linear systems, and 2) to apply mathematical techniques to a broad class of financial models and linear programming.
Contents
This class, in the first part, introduces the student to the fundamental notions related to Numerical Series, Integrals. In the second par,t there is an extensive introduction to the fundamental concepts of Functions with Several Variables and some notions about Linear Programming.
Detailed program
Series
Definition of numerical Series and its sum. Telescoping Series. Geometric series. Necessary Condition for Convergence of a Series. Series with terms with eventually constant signs. Generalized Harmonic Series. The Ratio Test, the Comparison Test, the Asymptotic Test, and the Root Test. Absolute and Simple Convergence of Series.
Integrals
Definition of the Riemann Integral. Sufficient Conditions for Integrability. Main Properties of the Integral. Lagrange Theorem. The Fundamental Theorem of Calculus. Definition of Antiderivative and its use in the computation of the Riemann Integral. Integration by parts and Integration by change of variable. Improper Integral. Sufficient Conditions for the existence of Improper Integrals.
Linear Algebra
Vector Spaces on R. Inner product. Matrices. Operations with Matrices. Determinants and main Properties. Laplace Theorem. Inverse Matrix: Uniqueness of the Inverse Matrix and Necessary and Sufficient Condition for its existence. Linear Transformations. Linear Systems. Cramer’s Theorem. Rank of a Matrix. Rouche-Capelli Theorem.
Functions of Several Variables
Continuous Functions. Partial Derivatives. Differentiable Functions. High-Order Derivatives and Differentials. Quadratic Forms. Maxima and Minima. Constrained Maxima and Minima. Introductionto linear programming.
Prerequisites
Matematica Generale (General Mathematics), (Statistica I)Statistics I
Teaching methods
The lectures aim to present the theoretical results related to the class’s material. In the lectures we will focus on presenting the theorems and mathematical results listed above. In addition, the lectures will also cover and discuss problems and exercises to illustrate the theoretical results. In the practice sessions the focus is on helping the student in solving problems.
The lectures will take place in person and will be based on a hybrid teaching approach, combining conventional and interactive methods. The conventional methods include the detailed presentation and explanation of theoretical topics, which usually cover the first part of each class. The interactive methods consist in students taking an active part during lectures, answering questions and solving problems proposed by the professor, or in the form of collective discussions. Such kind of teaching approach is usually adopted during the second half of the class. It is not possible to determine in advance the exact number of hours devoted to conventional and interactive teaching methods, since they are linked together in a dynamic manner, so as to adapt to the course needs and in view of favouring the students' learning process, by combining theoretical and practical aspects.
Assessment methods
A written exam.
The student can substitute the final exam with two mid-term exams.
The aim of the written exams is to establish if the student has developed a reasonable level of problem solving ability. Therefore there will be exercises similar to the ones presented in the suggested textbooks.
In the case the students opt to take the mid-term exams then the final grade will be the average of the two grades
Textbooks and Reading Materials
- Angelo Guerraggio, MATEMATICA, Pearson Education, Italia
Semester
Second Semester
Teaching language
Italian
