Course Syllabus
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del Corso è quello di abilitare gli studenti ad un utilizzo consapevole delle fondamentali tecniche di calcolo infinitesimale (differenziale ed integrale) per funzioni di una variabile reale. Le competenze acquisite nel Corso li mettono in grado di:
1) interpretare un'asserzione riguardante i contenuti del Corso ed espressa in linguaggio matematico;
2) utilizzare gli strumenti di base del calculus differenziale ed integrale (limiti, derivate, serie ed integrali) per funzioni di una variabile reale;
3) analizzare alcune proprietà di una funzione di una variabile reale con gli strumenti standard forniti dal calculus differenziale ed integrale (comportamento asintotico, esistenza di zeri, derivabilità, monotonia e simmetrie, proprietà estremali ovvero presenza e localizzazione di punti di massimo e di minimo, integrabilità).
Nel perseguire i summenzionati obiettivi si farà riferimento, ove possible, a contesti di applicazione provenienti dalla modellistica economica (in particolare, microeconomica) e dalla statistica di base.
Contenuti sintetici
I contenuti del Corso possono essere schematicamente suddivisi nei seguenti nuclei concettuali, tra loro strettamente interconnessi:
1) stime asintotiche (limiti, soprattutto nella prospettiva di valutare forme di indecisione e integrabilià/sommabilità);
2) calcolo differenziale (calcolo di derivate prime e successive) e sue applicazioni;
3) serie;
4) integrabilità (alla Riemann) e calcolo integrale.
Programma esteso
-
Numeri e logica: insiemi e concetti di base sugli insiemi (appartenenza, inclusione, quantificatori, operazioni insiemistiche). Sommatorie e coefficienti binomiali: somma di una progressione geometrica, il fattoriale, coefficienti binomiali ed alcune delle loro proprietà. Formula del binomio di Newton e triangolo di Tartaglia.
Le proprietà algebriche dei numeri reali. La relazione d'ordine sui numeri reali: concetti di limitatezza superiore/inferiore, maggioranti/minoranti, estremo superiore/inferiore, massimo/minimo. Assioma di continuità dell'insieme dei numeri reali. Valore assoluto e sue proprietà. -
Funzioni: concetto di funzione, dominio e codominio di una funzione. Proprietà di iniettività, suriettività e biettività di una funzione. Equipotenza di insiemi e cardinalità: cardinalità del numerabile e del continuo. Composizione di funzioni. Funzioni limitate, simmetriche, monotone e periodiche. Grafico di una funzione. Operazioni sui grafici. Funzioni invertibili e funzioni inverse. Condizioni per l'invertibilità di una funzione. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche elementari.
-
Limiti e continuità: successioni di numeri reali. Successioni convergenti e concetto di limite per successioni. Unicità del limite e limitatezza delle successioni convergenti. Successioni divergenti e successioni irregolari. Successioni monotone e teorema di monotonia. Limite di successioni monotone non limitate. Limite della successione geometrica della successione armonica generalizzata. Algebra dei limiti. Teorema del confronto. Infiniti, infinitesimi e forme di indecisione. Confronti e stime asintotiche. Criterio del rapporto. Limiti di funzioni, continuità ed asintoti. Punti di accumulazione. Definizione successionale e topologica di limite. Limiti destro e sinistro e loro relazione con il limite. Asintoti orizzontali, obliqui e verticali. Una caratterizzazione per asintoti obliqui. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Proprietà del limite: teorema del confronto e permanenza del segno. Algebra dei limiti e cambi di variabile. Limiti notevoli. Relazioni asintotiche. Confronto di infiniti ed infinitesimi. Gerarchie di infiniti. Proprietà globali delle funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri. Punti di massimo/minimo relativi ed assoluti di una funzione. Teorema di Weierstrass.
-
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale: retta tangente al grafico di una funzione di una variabile reale. Derivabilità di una funzione e nozione di derivata prima. Equazione della retta tangente al grafico. Derivata seconda e successive. Derivata delle funzioni elementari. Regole di calcolo: algebra delle derivate, derivata di una funzione composta e della funzione inversa. Relazione tra continuità e derivabilità. Punti di non derivabilità di una funzione: derivata destra e derivata sinistra, punti angolosi, a tangente verticale e cuspidosi. Metodi per la ricerca di estremi: teorema di Fermat e condizione di stazionarietà. Teorema di Lagrange e test di monotonia. Funzioni a derivata nulla. Teorema di De L'Hospital. Concavità e convessità: insiemi convessi ed epigrafico di una funzione. Convessità/concavità di funzioni.
Funzioni strettamente convesse/concave. Convessità e rette tangenti. Punti di flesso. Calcolo differenziale ed approssimazioni: uso di "o piccolo" di Landau. Approssimazioni polinomiali: formule di Mc Laurin e di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange. -
Serie numeriche: successione delle somme parziali, carattere e somma di una serie. Serie geometrica, serie di P. Mengoli e serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza. Resto e convergenza della serie dei resti. Criteri per le serie a termini non negativi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice, criterio del rapporto e criterio di Cauchy. Serie a termini di segno variabile: assoluta convergenza e sua relazione con la convergenza semplice. Serie a termini di segno alternato: criterio di Leibniz. Somma di due serie termine a termine. Serie di Taylor: sviluppabilità in serie di Taylor di funzioni derivabili infinite volte. Sviluppi in serie maggiormente utilizzati (funzioni seno, coseno, esponenziale e logaritmo).
-
Calcolo integrale per funzioni di una variabile: definizione di integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann. Interpretazione dell'integrale come area con segno. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale: linearità, additività sul dominio, positività e monotonia. Teorema della media integrale. Concetto di primitiva di una funzione. Il primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di funzoni elementari. Metodi di ricerca di primitive: integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali fratte. Integrali generalizzati: integrazione di funzioni non limitate e su intervalli non limitati. Analisi della convergenza di situazioni campione. Criteri di integrabilità in senso generalizzato al finito e all'infinito: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico. Assoluta integrabilità. Integrabilità in senso generalizzato della funzione gaussiana. Funzioni integrali. Un esempio notevole: la "funzione degli errori". Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e sue conseguenze. Studio della funzione degli errori. La funzione "gamma di Euler": definizione e principali proprietà.
Prerequisiti
Il Corso non prevede formalmente propedeuticità interne al corso di laurea. E' però fortemente consigliato allo studente un ripasso (eventualmente guidato da tutor) degli argomenti di matematica tipicamente presenti nei programmi delle scuole secondarie superiori. Più precisamente:
1) algebra: equazioni di primo e secondo grado, principio di annullamento del prodotto e principio di identità dei polinomi;
2) geometria analitica: equazioni di rette, coniche (parabole, ellissi, iperboli), funzioni esponenziali e logaritmiche;
3) trigonometria piana: angoli in radianti, funzioni seno, coseno, tangente, identità fondamentale della trigonometria, formule di addizione, duplicazione e di bisezione;
4) disequazioni in una variabile reale.
Metodi didattici
Tutte le lezioni sono svolte in presenza, in modalità erogativa (DE), per un totale di 84 ore.
Le lezioni frontali si propongono di trasmettere l'idea che sta alla base di un concetto o nozione matematici inclusi nel programma, e di abituare gli studenti alla loro formalizzazione. Con questi presupposti, gli studenti vengono condotti ad una corretta interpretazione di asserzioni relative ai contenuti e, successivamente, alla loro applicazione per la risoluzione di vario genere di problemi. Al fine di implementare con efficacia questo schema di trasmissione dei contenuti (cioè, nozione-formalizzazione-relazione con altre nozioni (teoremi)-tecniche di calcolo ed utilizzo in contesti applicativi), durante le lezioni viene dato ampio spazio alla discussione di esempi sia di specifiche nozioni, in casi particolarmente significativi ed illuminanti, sia all'applicazione di tecniche di calcolo e risoluzioni di problemi ad esse relativi.
Vengono anche proposti agli studenti percorsi (opzionali) di verifica del proprio apprendimento, durante l'erogazione del corso, attraverso molteplici serie di esercizi da svolgersi in autonomia, poi discussi in apposite sessioni di confronto con i tutor. L' occasione fornisce la possibilità di interagire con il personale docente (titolare del corso e tutor), anche al fine di evidenziare criticità che si manifestino nella fase di apprendimento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta obbligatoria, e, in caso di superamento della prova scritta con una valutazione sufficiente (>=18/30), su una prova orale facoltativa (su richiesta del docente o della/o studentessa/studente). In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte in itinere (prove parziali) che avranno luogo una sola volta durante l'anno accademico, rispettivamente a metà circa del Corso e subito dopo il termine delle lezioni.
Le prove scritte, sia parziali che comprensive di tutto il programma, posseggono la medesima struttura. Esse sono volte ad accertare l'acquisizione di competenze teoriche, di tecniche di calcolo e d'utilizzo dei principali strumenti, e di capacità di risolvere problemi analoghi a quelli discussi in aula durante le lezioni del Corso.
Esse si strutturano in due parti. La prima parte si compone di un TEST A 5 RISPOSTE CHIUSE (quesiti con scelta a risposta multipla) sugli argomenti principali del Corso, con la finalità di rilevare l'acquisizione dei fondamentali del programma. La seconda parte contiene 4 PROBLEMI/ESERCIZI e 2 DOMANDE APERTE. La risoluzione di problemi/esercizi richiede la razionalizzazione di una questione matematica, l'applicazione di uno o più principi, talora opportunamente combinati, nonchè l'uso degli strumenti di calcolo appresi, mentre nelle domande aperte è richiesta una succinta ma pertinente esposizione teorica (ad esempio, la definizione formale di nozioni, la formulazione di enunciati e, ove previsto, la loro giustificazione, il confronto tra nozioni, esempi e/o controesempi) degli argomenti in programma.
La prova orale, facoltativa, è intesa ad accertare l'apprendimento di tutti gli elementi di teoria proposti a lezione nonchè la capacità di applicazione degli stessi. Essa prevede pertanto un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO, seguito da un COLLOQUIO SU ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE.
Nel caso di superamento dell'esame, il voto finale è determinato dalla somma del voto conseguito nella prima parte e del voto conseguito nella seconda parte. Nel caso delle prove in itinere, il voto finale è determinato come media aritmetica (ove necessario approssimata per eccesso) delle due votazioni conseguite (alla prima ed alla seconda prova).
In caso di superamento della prova scritta e della prova orale, il voto finale sarà determinato dalla media tra l'esito della prova scritta e della prova orale.
I criteri seguiti dalla commissione d'esame per valutare le prove (sia in itinire sia finali) terranno conto del rigore metodologico nella risoluzione dei problemi, delle capacità di espressione precisa e rigorosa di concetti quantitativi, della completezza di trattazione nell'esposizione di questioni teoriche.
Testi di riferimento
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Ulteriore materiale, in particolare esercizi (proposti e risolti) per la verifica dell'apprendimento o simulazioni di prove d'esame, è reso disponibile sulla pagina dedicata al corso.
Per recuperare le nozioni elencate tra i prerequisiti si consiglia, tra gli altri,
M. Buscema, F. Lattanzi, L. Mazzoli, A. Veredice, M. Castellani, F. Gozzi, Precorso di Matematica, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2022.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
ll Corso viene erogato nel primo semestre dell'Anno Accademico.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course mainly aims at enabling students to an aware use of basic techniques of infinitesimal (differential as well as integral) calculus for functions of one real variable. The skills gained through the course allow them:
1) to understand a statement concerning contents of the Course and expressed in mathematical terms:
2) to make use of basic tools of differential and integral calculus (limits, derivatives, series ed integrals) for functions of one real variable;
3) to analyze properties of one real variable functions by means of the standard tools provided by the differential and integral calculus (such as asymptotic behaviour, existence of zeros, differentiability, monotonicity and symmetry, extremal properties, namely existence of minimizers/maximizers and their determination, integrability).
In pursuing the aforementioned objectives, whenever possible, contexts of application will be pointed out, which come from basic economic models (in particular, from microeconomics) and from statistics.
Contents
The contents of the course can be schematically arranged in three strictly intertwined parts:
1) asymptotic estimates (limits of functions useful to establish integrability/summability);
2) differential calculus (first order derivative and beyond) and its applications;
3) series;
4) Riemann integrability of functions and integral calculus.
Detailed program
-
Numbers and logic: sets and basic concepts of set theory (belonging, inclusion, quantifiers, operations with sets). Sum and binomial coefficeints: sum of a geometric finite sequence, factorials, binomial coefficients and their properties. Newton's binomial formula and Tartaglia's triangle. Basic algebraic properties of real numbers. The order relation over the real number set: boundedness from above and from below, upper/lower bounds, supremum/infimum, maximum/minimum of a subset of real numbers. Continuity axiom of real numbers. Absolute value and its properties.
-
Functions: the notion of function, domain and range of a function. One-to-one property of a function, surjectivity and bijectivity. Power of sets and cardinality: countable and uncontable sets. Composition of functions. Bounded, symmetric, monotone and periodic functions. Graph of a function. Operations with graphs. Invertible functions and inverse. Conditions for the inveribility of a functions. Inverse functions of elementary trigonometric functions.
-
Limits and continuity: sequences of real numbers. Convergent sequences and notion of limit. Uniqueness of the limit and boundedness of convergent sequences.
Divergent sequences and irregular sequences. Monotone sequences and existence of limit for bounded monotone sequences. Limit of unbounded sequences. Special cases: general behaviour of the geometric and generalized harmonic sequences. Limit and calculus. Limit and inequalities. Infinite and infinitesimal sequences. Asymptotic estimates and comparisons. Quotient criterion. Limit of functions, continuity and asymptotes. Accumulation points. Sequential and topological definition of limit. Limit from left and from right and relationships with the limit. Horizontal, oblique and vertical asymptote. Characterization for oblique asymptotes. Continuity. Continuity of elementary functions. Continuity and operations with functions. Continuity of composite functions. Properties of limits: limit and inequalities; sign persistence phenomenon. Limit and operations with functions. Variable change. Basic limit formulae. Asymptotic relations. Comparisons of infinite and infinitesimal. Hierachies of infinites. Global properties of continuous functions over an interval: theorem about existence of zeros. Global and local maximizers/minimizers of a functions. Weierstrass theorem. -
Differential calculus for real univariate functions: tangent to the graph of a real value function. Differentiability and first derivative. Equation of the tangent line to the graph of a function. Second derivative and beyond. Derivative of elementary functions. Calculus rules: the derivative under algebraic operations, composition and inverse function. Differentiability implies continuity. Nondifferentiabilities of a function: derivative from the right and from the left, corner points, vertical tangents and cusps. Methods for finding extremals: Fermat theorem and stationarity. Lagrange theorem and monotonicity. Functions with zero derivatives. Theorem of De L'Hospital. Concavity and convexity: convex sets and epigraph of a function. Convexity/concavity for functions. Strictly convex/concave functions. Convexity and tangents. Inflection point. Differential calculus and higher order approximation: the Landau symbol. Polynomial approximations: Mc Laurin and Taylor formulae with remainder in the Peano and Lagrange form.
-
Series: partial sum sequences, character and sum of a series. Geometric series, Mengoli series and harmonic series. A convergence necessary condition. Remainder and remainder series convergence. Criteria for nonnegative series: comparison, asymptotic, root, quotient and Cauchy criterion. Variable sign series: absolute convergence and relationship with plain convergence. Alternate sign series: Leibniz criterion. Sum of series. Taylor series: series expansion. Main Mc Laurin's series (sine, cosine, exponential and log).
-
Integral calculus for one variable functions: integral as a limit of Cauchy-Riemann sum. Geometric interpretation of integral. Properties of integrals: linearity, additivity, positivity and monotonicity. Integral form of the mean value theorem. Primitives of a given function. Fundamental theorem of integral calculus. Primitive of elementary functions. Integration methods: integration by scomposition, variable change and by parts. Integration of rational functions. Generalized integral: integrability criteria in the case of unbounded functions and/or in the case of unbounded integration domains. Two convergence analysis as a reference case. Integrability criteria: comparison criterion and asymptotic criterion. Absolute integrability. Integrability of the Gaussian function. Integral functions. A remarkable example: the error function. Second fundamental theorem of integral calculus and its consequences. A detailed study of the error function. The Gamma function: definition and basic properties.
Prerequisites
No inner prerequisite. A refreshement (guided by a tutor, if any) is strongly advised, which should concern the main topics typically taught at the high school. More precisely:
1) algebra: solving algebraic equations of first and second degree, product cancellation and polynomial identity principle;
2) Cartesian geometry: lines, conics (parable, ellipse, hyperbole), exponential and logarithmic functions;
3) trigonometry on the plane: angles in radiants, fundamental trigonometrical functions (sine, cosine and tangent) and related formulae;
4) unidimensional inequalities.
Teaching methods
All class lectures are in-person lessons, for a total amount of 84 hours.
Class lectures are aimed at exposing the main ideas behind a notion formulated in mathematical terms and at enabling students to adequately formalize them. In this way, students are enabled to read statements about the contents and to apply them for solving problems of various kind. In order to implement this way of content trasmission (i.e. notion-mathematical formalization-connection with other notions-calculus techniques-employement in applications), all during the class lectures emphasis is given to discussing examples and specific concepts in illustrative cases, as well as to employment of calculus techniques and problem solving.
During the teaching period, some exercise sessions are organized helping the autonomuous learning as well as (optional) self-assessment sessions, through various groups of exercizes to be solved and then discussed with the tutor. In that occasion, students can interact with the teacher, as to detect learning criticalities.
Assessment methods
Students are supposed to pass a written examinaton. For all those students who have passed the written examination, scoring a value >=18/30, an oral examination is upon request (by the teacher and the student). Interim assessments are also organized once per academic year, usually after the first half of the course and then at the end. For interim assessments, final marks are given as an arithmetic average of the partial scores.
A written examination, both mid-term and complete, aims at certifying the student skills about theoretical contents and calculus techniques provided in the course, as well as their capability in problem solving.
It consists of a test arranged in two main sections: the first one contains 5 CLOSED QUESTIONS about the main subjects of the course, aimed at checking the proficiency of the basic elements. The second section contains 4 PROBLEMS/EXERCISES and 2 OPEN QUESTIONS.
Problems/exercises require to formalize a mathematical issue, to apply and combine principles, and to perform computations by means of given calculus tools, while open questions require to expose in detail some theoretical subject (e.g. providing formal definitions, theorem statements, and, whenever requested, proofs, as well as examples and counterexamples) within the course contents.
In the (optional) oral examination students are questioned about all theoretical contents of the course. During the oral examiniation students must be able to argue the solution approaches proposed in their written test and to discuss in full details the theoretical contents of the course.
If the exam is passed, the final mark is given as sum of the scores obtained in the two parts.
The assessment for exams (in both cases, mid-term and complete) will take into acoount the methodological rigor in problem solving and in expressing mathematical concepts as well as the completeness and depth in exposing theoretical issues.
Material for exam simulations is also provided.
Textbooks and Reading Materials
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Some additional material, in particular anthologies of exercises (with solution and comments) and exam simulations, are provided in the web-page associated to the course.
For refreshing prerequisites, reference to
M. Buscema, F. Lattanzi, L. Mazzoli, A. Veredice, M. Castellani, F. Gozzi, Precorso di Matematica, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2022
is advised.
Semester
Fall semester.
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Staff
-
Amos Uderzo
