Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti alcuni degli strumenti teorici fondamentali per l'analisi di modelli economici descritti da sistemi dinamici (a tempo continuo) ed alcuni elementi di base della teoria della misura impiegati nell’analisi di modelli economici in presenza di incertezza.
L'acquisizione di tali competenze metterà in grado lo studente, in particolare, di:
1) saper "leggere" un modello che evolve nel tempo, la cui dinamica è descritta da sistemi di equazioni differenziali ordinarie (ODE), cioè di analizzare esistenza ed unicità di una soluzione ove siano note le condizioni iniziali, determinare esplicitamente le soluzioni nel caso lineare ed in alcuni altri casi particolari, determinare eventuali soluzioni d'equilibrio e classificarne il tipo di stabilità;
2) risolvere alcuni problemi di controllo ottimo, attraverso l'applicazione del principio del massimo di Pontryagin e di condizioni sufficienti di ottimalità (e.g. Mangasarian ed Arrow);
3) risolvere alcuni "problemi più semplici del calcolo delle variazioni";
4) stabilire un collegamento tra la definizione di un integrale e la sottostante teoria della misura ed in particolare conoscere l'integrale di Lebesgue insieme alle sue proprietà fondamentali.
Questo genere di competenze contribuisce a fornire alcuni degli strumenti fondamentali attualmente in uso per l'analisi quantitativa di fenomeni di interesse in area economica e finanziaria, con particolare riferimento alla loro evoluzione dinamica.
Contenuti sintetici
Il corso si compone di tre parti. Le prime due sono strettamente interconnesse mentre la terza, oltre a qualche collegamento con la seconda, fornisce elementi utili in corsi come Finanza Matematica M.
Nella Parte I sono esposti gli elementi fondamentali della teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Nella Parte II viene presentato un approccio alla risoluzione di problemi di controllo ottimo (in tempo continuo) e un risultato di esistenza di soluzioni.
Nella Parte III vengono forniti i primi rudimenti della teoria della misura e dell'integrazione e, come caso particolare, viene introdotto l'integrale di Lebesgue, dando enfasi ai risultati di convergenza (monotona e dominata).
Programma esteso
Parte I (ODE):
- Equazioni differenziali in modelli economici, problemi di Cauchy e relativa nozione di soluzione.
- Riduzione di sistemi di ordine superiore al primo a sistemi del primo ordine.
- Risoluzione esplicita di alcune classi di equazioni differenziali: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari, equazioni di Bernoulli, equazioni omogeee, equazioni esatte.
- Alcune applicazioni a modelli (evoluzione di prezzi di mercato soggetti ad aggiustamento, modello macroeconomico di crescita di Solow).
- Teoremi di esistenza ed unicità in piccolo ed in grande di soluzioni per problemi di Cauchy.
- Soluzioni d’equilibrio ed alcune nozioni di stabilità (Lyapunov, asintotica locale/globale) per soluzioni d’equilibrio.
- Elementi per l'analisi qualitativa di equazioni differenziali autonome.
- Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodi per la risoluzione esplicita e per l’analisi della stabilità di soluzioni d’equilibrio.
Parte II (Controllo Ottimo):
- Ottimizzazione dinamica: descrizione di problemi di controllo.
- Il principio del massimo di Pontryagin (caso a dinamica lineare e caso generale).
- Condizioni sufficienti di ottimalità (condizione di Mangasarian e condizione di Arrow).
- Applicazioni ad alcuni modelli economici (modello di compravendita ottima, problema di massimizzazione della vendita).
- Il problema più semplice del calcolo delle variazioni come caso particolare di un problema di controllo ottimo e relativa applicazione (modello di investimento/pianificazione del consumo ottimo).
- Una condizione di esistenza di controllo ottimo (teorema di Filippov).
Parte III (Elementi di teoria della misura):
- Algebre e σ-algebre, σ-algebre generate.
- Misure su σ-algebre e loro proprietà.
- Costruzione della misura di Lebesgue in Rⁿ.
- Funzioni misurabili e loro proprietà.
- Integrale in uno spazio di misura e sue proprietà.
- Misure definite a mezzo di integrale ed assolutamente continue.
- Teoremi di convergenza (dominata (Lebesgue) e monotona (B. Levi)).
- L'integrale di Riemann e di Lebesgue a confronto.
Prerequisiti
Nessuna propedeuticità. Tuttavia è consigliato che lo studente ripassi le proprie competenze sui seguenti argomenti di matematica, tipicamente impartiti in corsi di laurea triennali:
- Numeri complessi (nozioni di base);
- Integrazione di funzioni di una variabile reale;
- Calculus per funzioni di più variabili reali;
- Calcolo matriciale, determinante, invertibilità, rango;
- Autovalori e riduzione in forma diagonale di matrici;
- Forme quadratiche;
- Convessità/concavità di insiemi e funzioni.
Metodi didattici
L'intera attività formativa verrà svolta attraverso lezioni.
Tutte le lezioni sono svolte in presenza in modalità erogativa.
Durante lo svolgimento del corso verranno proposti esercizi da risolvere autonomamente in preparazione all'esame, alcuni dei quali verranno poi discussi in sessioni organizzate dal docente.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà in forma scritta e, in caso di superamento della prova scritta con una valutazione sufficiente (>=18/30), in forma orale su richiesta dello studente o del docente. Non sono previste prove parziali in itinere.
Il formato di una prova scritta prevede essenzialmente i seguenti tipi di quesito:
- la risoluzione di 3 esercizi/problemi;
- la discussione in dettaglio di uno tra i modelli presentati nel corso;
- l'esposizione dettagliate di alcuni argomenti della teoria e la loro applicazione in casi specifici.
Nello svolgimento di una prova d'esame saranno valutati la capacità di analisi e di classificazione di un problema proposto, la capacità di scelta ed applicazione delle metodologie di risoluzione prospettate nella teoria, la profondità, la precisione e la completezza espositiva nella discussione di modelli e dell'apparato teorico svolto nel corso.
Il docente del corso rende anche disponibile materiale per la simulazione di una prova d'esame.
Testi di riferimento
Appunti delle lezioni e materiale per le esercitazioni a cura del docente del corso.
Letture consigliate per integrare le lezioni:
- A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
- K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre, secondo ciclo.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims at providing students with some of the basis theoretical tools for analysing those economical models, which are formalized by (continuous time) dynamical systems, as well as with some basic elements in measure theory, which are employed in economical models under uncertainty.
The above skills will enable students:
1) to "read" models evolving with time, whose dynamics are described by ordinary differential equations (ODE), namely to analyze existence and uniqueness of a solution, whenever initial conditions are given, explicitly determine solutions in the linear case and in some other particular cases, search for equilibrium solution, if any, and classify its stability behaviour;
2) to solve optimal control problems by applying the Pontryagin maximum principle and sufficient optimality conditions (e.g. Mangasarian ed Arrow);
3) to solve some of "simplest problems in the calculus of variations";
4) to understand connections in defining an integral with the underlying measure theory and, in particular, to understand the Lebesgue integral along with its basic properties.
This kind of skills should contribute to provinding some of the tools currently employed in the quantitative analysis of phenomena in Economics and Finance, with special emphasis to their dynamical evolution.
Contents
The contents consist of three parts. The first and the second one are strictly intertwined, whereas the third, besides connections with the second part,
provides useful notions for such courses as Finanacial Mathematics M.
In the First Part, basic elements of the theory of ordinary differential equation systems are provided.
In the Second Part, an approach to (continuous time) optimal control problems is presented, along with a solution existence result.
In the Third Part, basic elements of measure theory and of integration theory are provided. As a special case, the Lebesgue integral is considered, with special emphasis to convergence theorems (monotone and dominated).
Detailed program
Part I (ODE):
- Differential equations in mathematical economics, Cauchy problems and related solution notion.
- Reduction to first order ODE of higher order ODE.
- Solving explicitly classes of differential equations: separable equations, linear equations, Bernoulli's equations, homogeneous equations, exact equations.
- Application to specific models (market price dynamics, Solow model of economic growth).
- Global and local solution existence and uniqueness for a Cauchy problem.
- Equilibria and their stability (in the Lyapunov sense, local and global asymptotic).
- Elements for a qualitative analysis of autonomous ODE.
- Linear ODE systems: solution methods and stability.
Part II (Optimal control):
- Problem statement.
- The Pontryagin maximum principle (the linear dynamics case and beyond).
- Sufficient optimality conditions (Mangasarian condition and Arrow condition).
- Applications to economical models (optimal selling strategies, selling maximization).
- The simplest problem of the calculus of variations as a special optimal control problem and its application (an optimal consumption/investment model).
- Existence of an optimal control (Filippov's theorem).
Part III (Selected topics in measure theory):
- Algebra and σ-algebra, generated σ-algebra.
- Measures and their properties.
- The Lebesgue measure on Rn.
- Measurable functions and their properties.
- Integral over a measure space and its properties.
- Integral functions and absolutely continuous functions.
- Convergence theorems (Lebesgue's dominated convergence theorem and B. Levi's monotone convergence theorem).
- Riemann vs Lebesgue integral.
Prerequisites
No official prerequisite. Nevertheless, a refreshement concerning the following topics in Mathematics, typically learnt in basic courses of calculus for undergraduate students, is strongly advised:
- Basic notions about complex numbers;
- Integration of functions of one real variable;
- Multivariable calculus;
- Matrix calculus with basic elements of linear algebra;
- Eigenvalues and matrix diagonalization methods;
- Quadratic forms;
- Convexity for sets and functions.
Teaching methods
The whole teaching activity is done by class lectures.
All lectures are given in person.
During the teaching period, some exercises will be proposed to be autonomously solved by students, in preparation of the exam. Some of them will be then discussed in special sessions by the teacher.
Assessment methods
Students are supposed first to pass a written examinaton (with a mark >=18/30), while a further examination in oral form is optional (up to the student or the teacher). There are no interim assessments.
A written examination esentially consists of the following kind of questions:
- 3 exercise/problem solving;
- discussion in details of one among the models presented as a part of the course contents;
- discussion in detail of some theoretical topics and their application to some specific cases of study.
When answering the above questions, the ability will be assessed in analysing and classifying problems, in choosing and applying provided solution techniques, exactness and completeness in discussing in deepth models as well as the theoretical apparatus presented in the course.
Material for exam simulations is also provided by the teacher.
Textbooks and Reading Materials
Lecture notes and exercises are provided during the course.
Some further reading:
- A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
- K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Semester
The course is scheduled in the second half of the second semester.
Teaching language
Italian.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Amos Uderzo
