Course Syllabus
Obiettivi formativi
Questo corso è un'introduzione all'analisi di regressione, alla teoria della probabilità e all'inferenza statistica. Tutti i metodi trattati in questo corso sono accompagnati da esempi che ne illustrano l'applicazione in ambito economico e finanziario.
Contenuti sintetici
La prima parte del corso è dedicata all'analisi di regressione basata sul metodo dei minimi quadrati. In questa parte vengono presentati metodi e indici comunemente usati nelle analisi di regressione e vengono presentati alcuni esempi che ne illustrano l'impiego in campo economico e finanziario.
La seconda parte del corso è dedicata alla modellizzazione di fenomeni aleatori. In questa parte del corso viene introdotta la teoria della probabilità secondo l’impostazione assiomatica di Kolmogorov nonché concetti fondamentali come quelli di variabile casuale, distribuzione, quantile, distribuzione congiunta, valore atteso, varianza, covarianza, momenti e funzione generatrice dei momenti. Inoltre, vengono introdotte le principali famglie di distribuzioni parametriche: le distribuzioni bernoulliane, ipergeometriche, binomiali, trinomiali e multinomiali, geometriche, binomiali negative, di Poisson, esponenziali, gamma, normali, lognormali e di Pareto.
La terza e ultima parte del corso è dedicata all’inferenza statistica. In questa parte vengono introdotte le definizioni di alcuni concetti fondamentali come quelli di popolazione, campione, variabile casuale campionaria, stimatore, stima puntuale. Facendo riferimento a medie e proporzioni, viene introdotto in concetto di intervallo di confidenza. Il corso si chiude con una breve introduzione ai test statistici.
Programma esteso
Prima parte:
- Analisi di regressione: definizione e possibili obiettivi.
- Descrizione delle fasi di un'analisi di regressione: l'organizzazzione dei dati in forma matriciale, la scelta di una famiglia di funzioni, la scelta di un metodo di accostamento, la valutazione della bontà d'adattamento, l'interpretazione dell'andamento della funzione interpolante e cenni sulle possibilità d'impiego.
- Il metodo dei minimi quadrati e la retta ai minimi quadrati
- Le proprietà dei residui della retta ai minimi quadrati
- La scomposizione della devianza
- L’indice di determinazione
- Il coefficiente di correlazione lineare
- Interpolazione con funzioni potenza
- Il piano ai minimi quadrati
- Le proprietà dei residui del piano ai minimi quadrati
- La scomposizione della devianza per il piano ai minimi quadrati
- L’indice di determinazione del piano ai minimi quadrati
- Il coefficiente di correlazione multiplo
- Coefficienti di correlazione parziale
Seconda parte:
- Le tre principali interpretazioni della probabilità: classica, frequentista e soggettiva
- Gli assiomi di Kolmogorov
- Classi di eventi, algebre e sigma-algebre
- Le principali leggi del calcolo delle probabilità
- Nozioni fondamentali del calcolo combinatorio
- Probabilità condizionata, eventi (globalmente) indipendenti, formula della probabilità totale e formula di Bayes
- Variabili casuali, funzioni di ripartizione, funzioni di massa di probabilità, funzioni di densità e quantili
- Funzioni di ripartizione congiunta, variabili casuali (globalmente) indipendenti, funzioni di massa di probabilità congiunta, funzioni di massa di probabilità condizionata e funzioni di densità congiunta
- Valore atteso, varianza e covarianza
- Funzione generatrice dei momenti
- Distribuzioni notevoli discrete: distribuzioni bernoulliane, distribuzioni ipergeometriche, distribuzioni binomiali, distribuzioni trinomiali, distribuzioni geometriche, distribuzioni binomiali negative e distribuzioni di Poisson
- Distribuzioni notevoli continue: distribuzioni esponenziali, distribuzioni gamma, distribuzioni normali, distribuzioni lognormali e distribuzioni di Pareto
- i momenti e la funzione generatrice dei momenti come strumento per semplificare dimostrazioni
Terza parte:
- Problemi di stima, variabili casuali campionarie, stimatori
- L’errore quadratico medio, la correttezza, l’efficienza, la consistenza
- La media campionaria, la frequenza relativa campionaria e la varianza campionaria (corretta)
- Intervalli di confidenza per medie (valori attesi) e proporzioni (probabilità)
- Introduzione ai test statistici
Prerequisiti
Concetti base della matematica e della statistica.
Metodi didattici
56 ore di lezione in modalità erogativa (lezioni di 2 o 3 ore) e 12 ore di esercitazione in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta e una prova orale che si terrà qualche giorno dopo la prova scritta. Entrambe le prove hanno lo stesso peso sulla valutazione finale.
La prova scritta consiste in due domande aperte e quattro esercizi. Nelle domande aperte viene messa alla prova la capacità di spiegare l'utilità dei concetti trattati durante il corso. Attraverso gli esercizi viene messa alla prova la capacità di risolvere problemi concreti. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione.
E' prevista la possibilità di suddividere la prova scritta in due prove parziali la prima delle quali si terrà a fine aprile e la seconda delle quali si terrà in concomitanza con gli appelli d'esame di giugno o luglio. Entrambe le prove parziali consistono in una domanda aperta e due esercizi. Gli studenti che optano per la suddivisione della prova scritta dovranno sostenere un'unica prova orale che si terrà dopo la seconda prova parziale scritta.
Testi di riferimento
Dispensa a cura del docente
M. Zenga “Metodi statistici per l’Economia e l’Impresa”, Ed. Giappichelli; 1994
M. Zenga “Modello probabilistico e variabili casuali”, Ed. Giappichelli, 1995;
M. ZENGA, Elementi di Inferenza, Vita e Pensiero;
S.M. ROSS, Introduzione alla Statistica, Apogeo 2008, (solo capitolo 9)
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This course is an introduction to regression analysis, probability theory and statistical inference. All the methods covered in this course are supplemented with examples which illustrate their application in economics and finance.
Contents
The first part of this course is about regression analysis based on the least squares method. This part introduces widely used methods and descriptive statistics and illustrates applications in economics and finance.
The second part of this course deals with the modeling of stochastic phenomena. This part introduces probability theory according to Kolmogorov's axiomatic approach as well as basic concepts such as random variables, distributions, quantiles, joint distributions, expected value, variance, covariance, moments and moment generating functions. Some well known distribution families will be introduced too (Bernoulli, hypergeometric, binomial, trinomial, multinomial, geometric, negative binomial, Poisson, exponential, gamma, normal, lognormal and Pareto).
The third and final part of this course deals with statistical inference. It introduces basic concepts such as population, random sample, estimator and point estimate. Confidence intervals for means and proportions are also discussed. The course concludes with a brief introdution to statistical hypothesis testing.
Detailed program
First part:
- Regression analysis: definition and aims
- Description of the main steps in a regression analysis: data preparation, the choice of a class of functions, the choice of a loss function, evaluation of the goodness of fit, interpretation of the regression function and hints about the range of applications.
- The least squares method and least squares regression lines
- Properties of residuals of least squares regression lines
- The deviance decomposition
- The coefficient of determination
- The linear correlation coefficient
- Interpolation with power functions
- Least squares regression planes
- Properties of residuals of least squares regression planes
- The deviance decomposition for the least squares interpolation plane
- The coefficient of determination of the least squares interpolation plane
- The coefficient of multiple correlation
- Partial correlation coefficients
Second part:
- The three main interpretations of probability: classical, frequentist and subjective
- Kolmogorov's axioms
- Classes of events, fields and sigma-fields
- The basic laws of probability
- Basic concepts of combinatorics
- Conditional probability, (global) independence, total probability law and Bayes’ theorem
- Random variables, distribution functions, probability mass functions, density functions and quantiles
- Joint distribution functions, (globally) independent random variables, joint probability mass functions, conditional probability mass functions, joint density functions
- Expected value, variance and covariance
- Widely used discrete distributions: Bernoulli distributions, hypergeometric distributions, binomial distributions, trinomial distributions, geometric distributions, negative binomial distributions and Poisson distributions
- Widely used continuous distributions: exponential distributions, gamma distributions, normal distributions, lognormal distributions and the Pareto distributions
- Moments and moment generating function as a tool for simplifying proofs.
Third part:
- Estimation problems, sample random variables, estimators
- Mean square error, unbiasedness, efficiency and consistency
- Sample mean, sample proportion and the sample variance
- Confidence intervals for means and proportions
- Introduction to statistical hypothesis testing
Prerequisites
Basic knowledge about mathematics and statistics.
Teaching methods
56 hours of frontal lessons (each lesson is of either 2 or 3 hours) and 12 hours of interactive exercise lessons.
Assessment methods
The exam is written and oral. The oral exam takes place some days after the written one. The oral and written exams contribute to the final grade in the same way.
In the written exam students are required to answer two open questions and to solve four exercises. The open questions test students' ability to explain the relevance of the course contents, while the exercises test students' ability to apply the contents in concrete problems. The oral exam is an open conversation about the course contents.
Students can choose to split the written exam into two parts which take place towards end of April (the first part) and concomitantly with the regular exam sessions of June or July (the second part). Both written parts are made up of one open question and two exercises. Student who choose to split the written exam are required to take just one oral exam which takes place after the second written part.
Textbooks and Reading Materials
Lecture notes
M. Zenga “Metodi statistici per l’Economia e l’Impresa”, Ed. Giappichelli; 1994
M. Zenga “Modello probabilistico e variabili casuali”, Ed. Giappichelli, 1995;
M. ZENGA, Elementi di Inferenza, Vita e Pensiero;
S.M. ROSS, Introduzione alla Statistica, Apogeo 2008, (solo capitolo 9)
Semester
Second semester.
Teaching language
Italian
