Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso tende a fornire gli elementi principali utili per la misurazione e la gestione del rischio e si propone di approfondire la conoscenza degli strumenti acquisiti nei corsi istituzionali di inferenza statistica e di probabilità al fine di renderla più specifica ed adatta allo studio dei fenomeni finanziari. A tal fine si estenderanno svariati concetti visti nei corsi di inferenza e probabilità al contesto delle serie storiche al fine di poter applicare le tecniche di stima intervallare e di verifica d’ipotesi anche in questo ambito. Attraverso l’utilizzo delle copule si raffinerà la conoscenza dei modelli CreditMetrics e CreditRisk+ ipotizzando che tra le varie esposizioni creditizie in portafoglio vi sia una certa struttura di dipendenza.
La parte teorica sarà affiancata da una parte numerica (e, se possibile, nel secondo semestre) da lezioni in laboratorio informatico affinché gli approfondimenti teorici possano effettivamente portare ad una crescita delle abilità dello studente da un punto di vista applicativo.
Contenuti sintetici
Value at Risk, Conditional Value at Risk, misure di rischio ed ottimizzazione.
Elementi di inferenza statistica nell’ambito delle serie storiche ed inferenza su misure di rischio e di performance delle attività finanziarie. Introduzione alle copule e loro impiego nei modelli CreditMetrics e CreditRisk+.
Programma esteso
Richiami su teoria della probabilità, quantili, dominanza stocastica del primo e secondo ordine e teoria del portafoglio, e inferenza statistica.
Nozione di misura di rischio. Definizione di Value at Risk (VaR) e cenni sulla normativa Basilea. Esempi di calcolo del VaR per distribuzioni discrete e continue. Proprietà del VaR. Calcolo del VaR per portafogli di azioni utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti. Approssimazione Delta e Delta-Gamma per il calcolo del VaR di portafogli di titoli derivati (utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti dei sottostanti). Cenni sulla stima della matrice di varianza e covarianza. Simulazioni storiche e metodo Monte Carlo per il calcolo del VaR. Backtesting. Critiche, limiti e applicazioni del VaR.
Definizione assiomatica di misura di rischio coerente. Conditional Value at Risk (CvaR): definizione, esempi e coerenza. Applicazione del CVaR ai problemi di ottimizzazione di portafogli. Insieme di accettazione di una misura di rischio e rappresentazione di misure di rischio a partire da insiemi di accettazione.
Misure di rischio coerenti (e convesse) e legami con la teoria dell'utilità.
Esempi numerici e complementi.
Cenni su misure di rischio dinamiche, su problemi di capital allocation e sul rischio sistemico.
Il metodo delta e sue applicazioni
Test di normalità e di bontà d’adattamento
Stima della densità di una variabile casuale basata su kernel
Definizione di processo stocastico in tempo discreto e principali caratteristiche: stazionarietà in senso forte e in senso debole
Leggi dei grandi numeri e Teoremi centrali del limite per dati dipendenti e loro applicazioni in finanza
Analisi descrittiva ed inferenza relativa ai rendimenti delle attività finanziarie: inferenza sul rendimento atteso, sullo scarto quadratico medio, sul VaR e sull’Indice di Sharpe.
Copule ed applicazioni al modello CreditMetrics e CreditRisk+
Prerequisiti
Conoscenze basilari di analisi matematica, della teoria della probabilità e dei metodi di inferenza statistica. Conoscenze base di informatica (in particolare della programmazione).
Metodi didattici
Il corso avverrà prevalentemente in presenza con lezioni ed esercitazioni/laboratori frontali. Ci si riserva la possibilità di svolgere una piccola percentuale delle ore di lezione/esercitazione/laboratorio (e comunque al di sotto del 30% delle ore totali) da remoto in formato sincrono (in streaming).
In tutte le lezioni viene adottato un approccio "misto": momenti di didattica erogativa si alterneranno a momenti di didattica interattiva in proporzioni di volta in volta variabili (in relazione al tipo di argomento e al tipo di attività svolta). Tipicamente la "componente interattiva" sarà maggiore durante lo svolgimento degli esercizi in aula o in laboratorio. Dovendo quantificare, circa il 30% del corso verrà erogato in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Risk measures:
L'esame è composto da una prova scritta (formata da domande aperte ed esercizi) e da una prova orale facoltativa. Il voto tiene conto delle prove di cui sopra.
L'esame può essere sostituito - su base volontaria dallo studente - dallo svolgimento e dalla presentazione di un assignment da consegnare e discutere necessariamente entro gennaio 2025.
Statistica dei mercati Finanziari:
La verifica dell’apprendimento dello studente avverrà tramite una prova scritta suddivisa in due parti:
- prova teorica scritta e orale: lo studente deve rispondere per iscritto a domande aperte riguardanti gli argomenti del corso. Le risposte scritte verranno successivamente discusse ed approfondite durante una prova orale
- prova pratica: lo studente deve svolgere una prova pratica a pc (utilizzando il software R) nella quale deve mostrare di essere in grado di applicare correttamente gli strumenti teorici studiati durante il corso
La valutazione finale sarà data dalla media dei voti ottenuti nella prova scritta teorica e in quella pratica.
Il voto finale di Financial Risk Theory è la media pesata dei voti di Risk measures e di Statistica dei mercati finanziari.
Testi di riferimento
Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
Meucci (2005): “Risk and asset allocation”, Springer Finance.
Rosazza Gianin, Sgarra (2023): Mathematical Finance: Theory Review and Exercises. Springer
Wilmott (2003):“Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
Nelsen, R. B., An Introduction to Copulas, Springer, 2006.
Karlin S. and Taylor, H.M., A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, 1975.
Materiale didattico messo a disposizione dal docente
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to give the main tools for the risk measurement and management and to deepen the knowledge of the statistical tools learned during the basic courses of statistical inference and probability in order to improve the student’s ability in analyzing financial time series. To this end, interval estimation and hypothesis testing techniques will be extended to the time series context and they will be applied in order to study the features of financial returns.
Copulas will be used to deepen the knowledge of the CreditMetrics and CreditRisk+ model by considering the possible dependence among the elements of the credit portfolio.
Some numerical applications will be provided and, if possible in the second semester, some lessons will be held in the computer lab so that the theoretical insights can actually lead to an increase of the student’s practical ability.
Contents
Value at Risk, Conditional Value at Risk, risk measures and optimization.
Statistical inference for time series and inference for risk and performance measures of financial assets. Introduction to Copulas and their use in CreditMetrics and CreditRisk+.
Detailed program
Preliminaries. Review on probability theory, quantiles, first and second order stochastic dominance and portfolio theory, and statistical inference.
Risk measures and portfolios of derivatives. Definition of a risk measure. Definition of Value at Risk (VaR) and outline of the Basel Committee rules. Examples of computation of VaR for discrete and continuous distributions. Properties of VaR. Computation of VaR for portfolios of stocks under the assumption of normality of the yields of the stocks. Delta and Delta-Gamma approximations of the computation of the VaR of derivatives portfolios (under the assumption of normality of the yield of the underlyings). Outline of the estimation of the Variance-Covariance matrix. Historical simulations and Monte Carlo Method for the computation of VaR. Backtesting. Drawbacks and applications of VaR.
CVaR and optimization. Axiomatic definition of a coherent risk measure. Conditional Value at Risk (CVaR): definition, examples and coherence. Application of CVaR to portfolio optimization. Acceptance set of a risk measure and representation of risk measures via acceptance sets.
Coherent (and convex) risk measures and thier relation with utility theory.
Overview of dynamic risk measures, capital allocation problems and systemic risk measures.
Numerical examples and complements.
The delta method and its applications
Normality tests and goodness of fit tests
Kernel Density Estimation
Definition of stochastic process in discrete time
Laws of large numbers and central limit theorems for dependent data and their applications in finance
Descriptive and Inferential analysis of the returns of financial assets: inference on the expected return, standard deviation, VaR, and Sharpe Ratio.
Copulas and their applications in the CreditMetrics and CreditRisk+model.
Prerequisites
Basic notions of mathematical analysis, probability theory, statistical inference, and informatics.
Teaching methods
The lessons will be held mainly in presence with traditional lectures and exercises. A small percentage (anyway, smaller than 30%) could be taken online (in streaming) in case of necessity.
In all the lectures a "mixed" approach will be used: moments of erogative teaching and of interactive teaching will alternate in variables proportiosn (also depending on the subject and of the activity). Typically, the interactive component will be greater during exercises and lab and, roughly, around 30% of the total.
Assessment methods
Risk measures:
The exam is composed by a written part (composed by open questions and exercises) and an optional oral part. The final score takes into account the parts above.
The exam can be replaced - if agreed by the student - by the development and discussion of an assignment to be done and discussed necessarily by January 2025.
Statistica dei mercati finanziari:
The exam is divided in two parts:
- theoretical examination: the student is required to answer in writing to some open-ended questions.
- practical examination: the student is required to apply the theoretical tools studied during the course in a practical test on a pc (using the R software).
The final evaluation will be given by the average of the evaluations in the theoretical and practical tests.
The final score of Financial Risk Theory is obtained by weighted average of the marks of Risk measures and of Statistica dei mercati finanziari.
Textbooks and Reading Materials
Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
Meucci (2005): “Risk and asset allocation”, Springer Finance.
Rosazza Gianin, Sgarra (2013): Mathematical Finance: Theory Review and Exercises. Springer
Wilmott (2003):“Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
Nelsen, R. B., An Introduction to Copulas, Springer, 2006.
Karlin S. and Taylor, H.M., A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, 1975.
Classroom materials provided during the lessons
