Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso tende a fornire gli elementi principali utili per la misurazione e la gestione del rischio e si propone di approfondire la conoscenza degli strumenti acquisiti nei corsi istituzionali di inferenza statistica e di probabilità al fine di renderla più specifica ed adatta allo studio dei fenomeni finanziari.
La parte teorica sarà affiancata da una parte numerica affinché gli approfondimenti teorici possano effettivamente portare ad una crescita delle abilità dello studente da un punto di vista applicativo.
Contenuti sintetici
Value at Risk, Conditional Value at Risk, misure di rischio ed ottimizzazione.
Programma esteso
Richiami su teoria della probabilità, quantili, dominanza stocastica del primo e secondo ordine e teoria del portafoglio, e inferenza statistica.
Nozione di misura di rischio. Definizione di Value at Risk (VaR) e cenni sulla normativa Basilea. Esempi di calcolo del VaR per distribuzioni discrete e continue. Proprietà del VaR. Calcolo del VaR per portafogli di azioni utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti. Approssimazione Delta e Delta-Gamma per il calcolo del VaR di portafogli di titoli derivati (utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti dei sottostanti). Cenni sulla stima della matrice di varianza e covarianza. Simulazioni storiche e metodo Monte Carlo per il calcolo del VaR. Backtesting. Critiche, limiti e applicazioni del VaR.
Definizione assiomatica di misura di rischio coerente. Conditional Value at Risk (CvaR): definizione, esempi e coerenza. Applicazione del CVaR ai problemi di ottimizzazione di portafogli. Insieme di accettazione di una misura di rischio e rappresentazione di misure di rischio a partire da insiemi di accettazione.
Misure di rischio coerenti (e convesse) e legami con la teoria dell'utilità.
Esempi numerici e complementi.
Cenni su misure di rischio dinamiche, su problemi di capital allocation e sul rischio sistemico.
Prerequisiti
Conoscenze basilari di analisi matematica, della teoria della probabilità e dei metodi di inferenza statistica. Conoscenze base di informatica (in particolare della programmazione)
Metodi didattici
Il corso avverrà prevalentemente in presenza con lezioni ed esercitazioni frontali. Il docente si riserva la possibilità di svolgere una piccola percentuale delle ore di lezione/esercitazione (e comunque al di sotto del 30% delle ore totali) da remoto in formato sincrono (in streaming).
L'insegnamento prevede:
- 28 ore di lezione;
- 12 ore di esercitazione.
Circa l'80% del corso sarà in modalità erogativa, il restante 20% in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è composto da una prova scritta (formata da domande aperte ed esercizi) e da una prova orale facoltativa. Il voto tiene conto delle prove di cui sopra.
L'esame può essere sostituito - su base volontaria dallo studente - dallo svolgimento e dalla presentazione di un assignment da consegnare e discutere necessariamente entro gennaio 2025.
Testi di riferimento
Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
Meucci (2005): “Risk and asset allocation”, Springer Finance.
Rosazza Gianin, Sgarra (2023): Mathematical Finance: Theory Review and Exercises. Springer
Wilmott (2003):“Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to give the main tools for the risk measurement and management and to deepen the knowledge of the statistical tools learned during the basic courses of statistical inference and probability in order to improve the student’s ability in analyzing financial time series.
Some numerical applications will be provided so that the theoretical insights can actually lead to an increase of the student’s practical ability.
Contents
Value at Risk, Conditional Value at Risk, risk measures and optimization.
Detailed program
Preliminaries. Review on probability theory, quantiles, first and second order stochastic dominance and portfolio theory, and statistical inference.
Risk measures and portfolios of derivatives. Definition of a risk measure. Definition of Value at Risk (VaR) and outline of the Basel Committee rules. Examples of computation of VaR for discrete and continuous distributions. Properties of VaR. Computation of VaR for portfolios of stocks under the assumption of normality of the yields of the stocks. Delta and Delta-Gamma approximations of the computation of the VaR of derivatives portfolios (under the assumption of normality of the yield of the underlyings). Outline of the estimation of the Variance-Covariance matrix. Historical simulations and Monte Carlo Method for the computation of VaR. Backtesting. Drawbacks and applications of VaR.
CVaR and optimization. Axiomatic definition of a coherent risk measure. Conditional Value at Risk (CVaR): definition, examples and coherence. Application of CVaR to portfolio optimization. Acceptance set of a risk measure and representation of risk measures via acceptance sets.
Coherent (and convex) risk measures and relation with utility theory.
Overview of dynamic risk measures, capital allocation problems and systemic risk measures.
Numerical examples and complements.
Prerequisites
Basic notions of mathematical analysis, probability theory, statistical inference, and informatics.
Teaching methods
The lessons will be held mainly in presence with traditional lectures and exercises. A small percentage (anyway, smaller than 30%) could be taken online (in streaming) in case of necessity.
The course consists in:
- 28 hours of lectures;
- 12 hours of exercises.
Around 80% of the course will be done in erogative mode, the remaining 20% in interactive mode.
Assessment methods
The exam is composed by a written part (composed by open questions and exercises) and an optional oral part. The final score takes into account the parts above.
The exam can be replaced - if agrred by the student - by the development and discussion of an assignment to be done and discussed necessarily by January 2025.
Textbooks and Reading Materials
Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
Meucci (2005): “Risk and asset allocation”, Springer Finance.
Rosazza Gianin, Sgarra (2023): Mathematical Finance: Theory Review and Exercises. Springer
Wilmott (2003):“Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
