Course Syllabus
Obiettivi formativi
1) Conoscere i tipi di fondamentali di strumenti derivati e comprendere i loro utilizzi e il loro significato finanziario
2) Comprendere il concetto di modello matematico di mercato finanziario e il suo utilizzo nella valutazione di uno strumento derivato
3) Conoscere nel dettaglio i modelli studiati e le derivazioni delle relative formule
4) Saper applicare i modelli studiati alla valutazione e alla copertura di un generico strumento derivato
5) Saper accedere al terminale Bloomberg e comprendere il significato delle principali funzioni legate agli equity derivatives: OMON, OVME, SKEW.
Contenuti sintetici
- Concetti base sulle opzioni
- Modello binomiale multiperiodale
- Modelli uniperiodali
- Modelli in tempo continuo
- Modello di Black-Scholes
- Modello di Merton
- Il metodo Montecarlo e il delta-hedging
- L'indice VIX
- Le principali funzioni Bloomberg sulle opzioni: OMON, OVME, SKEW.
Programma esteso
Concetti base sulle opzioni
Richiami sugli strumenti derivati: contratti forward, contratti futures, opzioni call e put ed esempi di applicazioni. Concetto di payoff e di replicazione; prezzo forward e parità spot-forward. Put-call parity. Combinazioni di opzioni (spread, butterfly, strangle, straddle). Convessità del prezzo della call in funzione dello strike. Superreplicazione e subreplicazione. Vincoli di Merton. Opzioni americane e ottimalità dell'esercizio anticipato. Discussione qualitativa dei fattori che influenzano i prezzi delle opzioni.
Modello binomiale multiperiodale
Il modello binomiale uniperiodale: derivazione della formula per il prezzo di un generico payoff.
Il modello binomiale biperiodale e il suo utilizzo per la valutazione delle opzioni americane.
Il modello binomiale multiperiodale: formula di valutazione di un generico payoff e derivazione della formula per la call europea. Scelta dei parametri u e d e volatilità storica.
Modelli uniperiodali
Modelli uniperiodali con un numero arbitrario di titoli e di stati del mondo. Matrice dei payoff.
Replicabilità, completezza del mercato, caratterizzazione della completezza.
Definizione di opportunità di arbitraggio. Definizione del vettore dei prezzi degli stati e primo teorema fondamentale di valutazione. Secondo teorema fondamentale di valutazione.
Superreplicazione e subreplicazione come problema di programmazione lineare.
Modelli in tempo continuo
Definizione e prime proprietà del moto browniano
Processi di Ito: definizione ed esempi (moto browniano con drift, moto browniano geometrico)
Formula di Ito: drift e volatilità di un processo trasformato
Moto browniano geometrico, richiami sulla distribuzione lognormale.
Il modello di Black-Scholes
Ipotesi del modello. Derivazione della equazione differenziale di Black - Scholes. Soluzioni particolari, principio di sovrapposizione. Derivazione della formula di BS come valore atteso attualizzato del payoff. Prime proprietà della formula di BS. Dipendenza dai parametri e calcolo delle greeks. Approssimazione per opzioni ATMF a breve scadenza. Prime estensioni del modelo di BS: presenza di flussi indotti. Verifiche empiriche del modello di BS. La volatilità implicita e lo smile.
Il modello di Merton
Generalità sul rischio di credito. Il modello di Merton. Calcolo della probabilità neutrale al rischio di default. Derivazione analitica della curva dei tassi spread.
Il metodo Montecarlo
Simulazione di numeri casuali. Calcolo del prezzo di uno strumento derivato con il metodo Montecarlo.
Delta-hedging.
L'indice VIX
Formula di calcolo. Studio del portafoglio $1/K^2$ e e derivazione del suo payoff.
Le principali funzioni Bloomberg sulle opzioni: OMON, OV, OSA, SKEW.
Prerequisiti
Alcune delle conoscenze di Matematica, Matematica Finanziaria e Statistica richieste per l'accesso alla laurea magistrale di Economia e Finanza. In particolare:
- Matematica: funzioni elementari, limiti, derivate, integrali, convessità e concavità, vettori, matrici, operazioni tra matrici, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, rango di una matrice, determinante, matrice inversa, soluzione di sistemi lineari.
- Matematica finanziaria: capitalizzazione e attualizzazione, duration, concetti base sulle opzioni (che verranno comunque ripresi all'inizio del corso)
- Statistica: media, varianza, covarianza, correlazione e loro proprietà. Fondamenti di
probabilità: spazio campionario, eventi, probabilità, variabili casuali. Variabili casuali discrete e continue, in particolare la binomiale, la normale, la lognormale e le loro proprietà.
Metodi didattici
Le lezioni si svolgono in presenza. I materiali didattici sono messi a disposizione degli studenti prima della lezione. Chi non potesse frequentare una lezione, può studiare autonomamente i materiali e se qualcosa non fosse chiaro può porre domande in appositi forum della pagina elearning. A ogni domanda viene data una risposta da parte del docente.
Didattica interattiva.
Le lezioni si svolgono in gruppi di due ore consecutive. In ciascuna lezione, un tempo variabile tra 15 e 45 minuti è dedicato ad attività interattive quali:
i) discussione di problemi assegnati a casa nelle lezioni precedenti i cui svolgimento costituisce parte integrante del corso
ii) implementazioni in Excel o Matlab Online con modalità bring your own device di formule o concetti visti durante la lezione
iii) quesiti posti individualmente o in gruppi agli studenti
iv) sperimentazione critica collettiva di strumenti di AI quali ChatGPT o Perplexity
In aggiunta a queste attività, il docente organizza una classe virtuale sui terminali Bloomberg che può essere facoltativamente seguita dagli studenti in modalità self-paced.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con domande a risposta aperta, con orale facoltativo. Le domande sono di tre tipi:
- Domande teoriche volte a verificare l'apprendimento dei concetti e dei ragionamenti spiegati a lezione, e più in generale la capacità di utilizzare in modo corretto il linguaggio tecnico della finanza matematica formando frasi dotate di senso
- Esercizi in cui i concetti e i metodi spiegati sono applicati a casi qualitativamente identici a quelli illustrati a lezione o assegnati di compito durante il corso
- Esercizi volti a verificare la capacità degli studenti di applicare i concetti e i metodi spiegati a situazioni leggermente diverse dai casi già svolti a lezione o assegnati di compito.
Testi di riferimento
- Materiali forniti dal docente.
Per approfondimenti:
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano. Alcuni dei materiali forniti sono in inglese poiché in questo ambito è molto importante la padronanza del linguaggio disciplinare sia in italiano che in inglese.
Learning objectives
1) Know the basic types of derivative instruments and understand their uses and financial significance
2) Understand the concept of a mathematical model of a financial market and its use in the valuation of a derivative instrument
3) To know in detail the models studied and the derivations of their formulae
4) Be able to apply the studied models to the valuation and hedging of a generic derivative instrument
5) Know how to access the Bloomberg terminal and understand the meaning of the main functions related to equity derivatives: OMON, OVME, SKEW.
Contents
- Basic concepts on options
- Multi-period binomial model
- One-period models
- Continuous-time models
- Black-Scholes model
- Merton model
- The Monte Carlo method and delta-hedging
- The VIX Index
- The main Bloomberg functions on options: OMON, OV, OSA, SKEW.
Detailed program
Basic Concepts on Options
Recalls on derivative instruments: forward contracts, futures contracts, call and put options and examples of applications. Payoff and replication concept; forward price and spot-forward parity. Put-call parity. Combinations of options (spread, butterfly, strangle, straddle). Convexity of the call price as a function of the strike. Super-replication and sub-replication. Merton constraints. American options and optimality of early exercise. Qualitative discussion of factors influencing option prices.
Multi-period binomial model
The one-period binomial model: derivation of the formula for the price of a generic payoff.
The biperiodal binomial model and its use for the valuation of American options.
The multiperiod binomial model: formula for valuing a generic payoff and derivation of the formula for the European call. Choice of u and d parameters and historical volatility.
One-period models
One-period models with an arbitrary number of securities and world states. Payoff matrix.
Replicability, market completeness, characterisation of completeness.
Definition of arbitrage opportunities. Definition of the vector of state prices and first fundamental theorem of valuation. Second fundamental theorem of valuation.
Superreplication and subreplication as a linear programming problem.
Models in continuous time
Definition and first properties of Brownian motion
Ito processes: definition and examples (Brownian motion with drift, geometric Brownian motion)
Ito formula: drift and volatility of a transformed process
Geometric Brownian motion, recalls on lognormal distribution.
The Black-Scholes model
Model assumptions. Derivation of the Black - Scholes differential equation. Special solutions, superposition principle. Derivation of the BS formula as the expected discounted value of the payoff. First properties of the BS formula. Parameter dependence and calculation of greeks. Approximation for short-term ATMF options. First extensions of the BS model: presence of induced flows. Empirical verifications of the BS model. The implied volatility and the smile.
The Merton model
Generalities on credit risk. The Merton model. Calculation of the risk-neutral probability of default. Analytical derivation of the spread rate curve.
The Monte Carlo method
Simulation of random numbers. Calculation of the price of a derivative instrument using the Monte Carlo method.
Delta-hedging.
The VIX Index.
The main Bloomberg functions on options: OMON, OV, OSA, SKEW.
Prerequisites
Some of the basic knowledge of Mathematics, Financial Mathematics and Statistics required for admission to the Master's degree in Economics and Finance. In particular:
- Mathematics: elementary functions, limits, derivatives, integrals, convexity and concavity, vectors, matrices, operations between matrices, linear combinations, linear dependence and independence, rank of a matrix, determinant, inverse matrix, solution of linear systems.
- Financial mathematics: capitalisation and discounting, duration, basic concepts on options (which will however be refreshed at the beginning of the course)
- Statistics: mean, variance, covariance, correlation and their properties. Fundamentals of
probability: sample space, events, probability, random variables. Discrete and continuous random variables, in particular the binomial, the normal, the lognormal and their properties.
Teaching methods
Classes are held in person. Teaching materials are made available to students before the lesson. If a student is unable to attend a class, they can study the materials independently, and if anything is unclear, they can ask questions in the dedicated forums on the e-learning page. Each question receives a response from the professor.
Interactive Teaching
Classes are conducted in two-hour blocks. In each lesson, a variable amount of time between 15 and 45 minutes is dedicated to interactive activities such as:
i) discussion of problems assigned as homework in previous lessons, whose solutions form an integral part of the course
ii) implementations in Excel or Matlab Online using a bring your own device approach for formulas or concepts covered during the lesson
iii) questions posed to students individually or in groups
iv) collective critical use of AI tools such as ChatGPT or Perplexity
In addition to these activities, the instructor organizes a virtual class on Bloomberg terminals, which can be optionally followed by students at their own pace.
Assessment methods
Written exam with open-ended question and optional oral. There are three types of questions:
- Theoretical questions aimed at testing the learning of the concepts and reasoning explained in the lectures, and more generally the ability to correctly use the technical language of mathematical finance by forming meaningful sentences
- Exercises in which the concepts and methods explained are applied to cases qualitatively identical to those explained in the lecture or assigned during the course
- Exercises aimed at testing the students' ability to apply the concepts and methods explained to situations that slightly differ from the cases explained in the lecture or assigned in the assignment.
Textbooks and Reading Materials
- Lecture notes and slides provided by the lecturer.
For further reading:
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Semester
Second Semester
Teaching language
Italian. Some of the materials provided are in English as proficiency in the disciplinary language in both Italian and English is very important in this field.