Course Syllabus
Obiettivi
Il contenuto del corso presenta sia le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton a quella di Lagrange, Hamilton e Jacobi, che le tecniche matematiche necessarie alla loro comprensione.
Lo studente, al termine del corso,
1) sarà in grado di modellizzare fenomeni fisici di media complessità utilizzando il formalismo Lagrangiano, e comprenderne il loro comportamento qualitativo.
2) sarà in grado di analizzarli attraverso tecniche di meccanica analitica e di teoria dei sistemi dinamici.
3) sarà in grado di esporre le motivazioni, le tecniche di risoluzione e l'apparato matematico alla base dei punti 1) e 2) e di applicare tali tecniche alla "risoluzione" di problemi di meccanica classica di difficoltà media.
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana.
Equazioni differenziali del secondo ordine e loro studio qualitativo.
Meccanica Lagrangiana.
Meccanica Hamiltoniana.
Programma esteso
1) Spazio tempo ed eventi. I principi di Newton e la meccanica dei corpi puntiformi.
2) I sistemi dinamici come modellizzazione dei fenomeni fisici. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Diagrammi di fase dei sistemi newtoniani conservativi in una dimensione. Il sistema di Lotka-Volterra e le tre leggi di Volterra. Modelli compartimentali in epidemiologia: il modello SIR.
Diagrammi di biforcazione. Linearizzazione di un Sistema Dinamico nell’intorno di un punto di equilibrio. Stabilità e i teoremi di Lyapunov (enunciato).
3) Meccanica di sistemi di corpi puntiformi: equazioni cardinali.
4) Vincoli, loro classificazione e coordinate libere. Il principio di D’Alembert e la meccanica di Lagrange.
5) La Lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange. Il metodo variazionale. I moti centrali ed il problema di Keplero in meccanica Lagrangiana. Formulazione lagrangiana della forza di Lorentz. Teoria delle piccole oscillazioni. Applicazioni. Il teorema di Noether. Nozioni fondamentali della teoria del corpo rigido. Applicazioni: corpi rigidi in due dimensioni. La trottola di Lagrange.
6) La Meccanica Hamiltoniana. Le equazioni di Hamilton e la loro formulazione variazionale. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni canoniche di contatto (puntuali). Parentesi di Poisson e costanti del moto. Trasformazioni canoniche infinitesime e il teorema di Noether in Meccanica Hamiltoniana.
7) Il teorema di Liouville sulla conservazione del volume nello spazo delle fasi. L’equazone di Hamilton-Jacobi. Integrali completi. Cenni alla separazione delle variabli.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Fisica I.
Modalità didattica
- Lezioni frontali (5 CFU) in modalità erogativa. Gli studenti parteciperanno a lezioni frontali in cui il docente presenterà il materiale teorico, dimostrerà le tecniche di risoluzione dei problemi.
- Esercitazioni (3 CFU), la cui modalità sarà in parte erogativa e in parte interattiva. Nella prima modalità gli studenti parteciperanno a esercitazioni di tipo frontale in cui il docente applicherà le tecniche esposte nella parte teorica a problemi significativi di meccanica classica. Oltre a queste lezioni frontali, il corso incorporerà metodi di didattica interattiva. Ciò comprenderà attività di gruppo, discussioni e sessioni pratiche di risoluzione dei problemi per migliorare la comprensione e favorire la partecipazione attiva degli studenti. La modalità interattiva riguarderà il 10/20% delle esercitazioni.
La videoregistrazione di lezioni ed esercitazioni sarà disponibile.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
L.D. Landau. E. M. Lifshits, Corso di Fisica Teorica, vol. I, "Meccanica".
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Meccanica Classica”.
Dispese recuperabili dal sito e-learning del corso.
Appunti di parte delle lezioni pubblicate sulla pagina e-learning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale. Lo scritto prevede la soluzione di problemi significativi di Sistemi Dinamici, Meccanica Lagrangiana e Meccanica Hamiltoniana.
Sono previsti due scritti parziali durante lo svolgimento del corso, il primo entro ottobre ed il secondo a fine novembre/inizio dicembre. La parte scritta dell'esame viene completata in uno degli appelli successivi alla fine del corso, entro l'appello di luglio. Successivamente, i candidati dovranno (ri)affrontare l'intero set di esercizi.
In caso di assenza ad uno gli scritti parziali, o esito insufficiente, sarà possibile riaffrontare l'esercizio pertinente al primo completamento della parte scritta (entro luglio).
Il primo scritto parziale verte sull'analisi qualitativa dei sistemi dinamici nel piano.
Il secondo sulla meccanica Lagrangiana. Lo scritto viene completato (dopo la fine del corso) da un problema di meccanica Hamiltoniana.
L'orale prevede una discussione dell'elaborato scritto e la esposizione di alcuni punti fondamentali del programma. Le domande saranno scelte (dal docente) all'interno di una lista che verrà comunicata alla fine del corso agli studenti. All'orale può essere inoltre richiesto allo studente di affrontare problemi analoghi a quelli svolti durante il corso.
Lo scritto è volto principalmente a verificare il raggiungimento dei punti 1) e 2) della sezione "Obiettivi", ed il suo peso, ai fini della votazione, è 2/3.
L'orale riguarda principalmente il punto 3) della sezione "Obiettivi".
Sarà possibile sostenere l'esame in lingua inglese, previa richiesta da comunicare per email ai docenti almeno una settimana prima dell'esame scritto.
Orario di ricevimento
Su appuntamento (eventualmente anche a piccoli gruppi) da richiedersi via e-mail o e-learning.
Sustainable Development Goals
Aims
The content of the Course presents the basic ideas of Classical mechanics, from the Galileo-Newton formulation to those of Lagrange, Hamilton and Jacobi. The necessary mathematical tools for a proper comprehenson of these fundamental theories will be introduced and discussed.
The student, at the end of the course
1) will be able to provide mathematical models of physical phenomena of some complexity by means of the Lagrangian formalism, and understand their qualitative behaviour.
2) will be able to analyze them by using techniques of Analytical Mechanics and the theory of Dynamical Systems.
3) will be able to describe the motivations, the solution techniques and the mathematical apparatus lying beyond points 1) and 2) above, as well as to apply these techniques to "solve" problems of intermediate difficulty in classical mechanics.
Contents
Newtonian Mechanics (a reminder).
Second order differential equations. Qualitative analysis.
Lagrangian Mechanics.
Hamiltonian mechanics.
Detailed program
1) Space-time and events. Newton's principia and the dynamics of point masses.
2) Dynamical systems as mathematical models for physical phenomena. Basic aspects of the theory of second order Ordinary Differential Equations. Phase diagrams of conservative Newtonian systems in one dimension. The Lotka-Volterra system and Volterra’s laws. Compartmental models in epidemiology: the SIR model.
Bifurcation diagrams. Linearization of a dynamical system around an equilibrium point. Stability and the theorems of Lyapunov (statement).
3) Dynamics of systems of point masses.
4) Constraints, degrees of freedom, and free coordinates. The D'Alembert principle and Lagrangian Mechanics.
5) The Lagrangian and the Euler-Lagrange equations. Variational principles. Central motions and the Kepler problem. Lagrangian formulation of the Lorentz force. Theory of small oscillations. Further applications. Noether’s theorem. Basic notions of the theory of rigid bodies. Applications: rigid bodies in the plane. The Lagrange top.
6) Hamiltonian Mechanics: Hamilton equations and their variatiional formulation. Canonical transformations. Canonical contact (point) transformations. Poisson brackets and constants of the motion. Infinitesimal canonical transformations and Noether’s theorem in Hamiltonian Mechanics.
7) Liouville theorem on the conservation of volume in phase space. The Hamilton-Jacobi equation. Complete integrals. Introduction to the notion of separation of variables
Prerequisites
The content of the courses of Calculus I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
- Lectures (5 CFU) via expository teaching. Students will attend lectures where the instructor will present theoretical material and demonstrate problem-solving techniques.
- Classes (3 CFU) via mixed expository and interactive teaching, In expository sessions, students will attend expository-tipe classes where the instructor will apply the theoretical apparatus exposed in the lectures to solve problems in classical mechanics. Besides these expository classes, the course will incorporate interactive teaching methods. This will involve group activities, discussions, and hands-on problem-solving sessions to enhance understanding and foster active participation. We expect that 10/20% of classes will be delivered in the interactive way.
Videorecordings of lectures and classes will be available online.
Textbook and teaching resource
References:
L.D. Landau, E.M. Lifshits, “Course of Theoretical Physics, Vol. I: Mechanics” (Pergamon)
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Classical Mechanics”.
Lecture Notes available on the e-learning page.
Notes of (some of) the lectures, available on the e-learning page.
Semester
First semester
Assessment method
Written and oral examination. The written examination consists in the solution of significant problems in Dynamical Systems, Lagrangian Mechanics and Hamiltonian Mechanics.
Two partial written examinations concerning parts of the program will be held. The first one will be by the end of October, the second one by the end of November/beginning of December. The written part of the examination must be completed in one of the final examination sessions within the July one. After that, students will be asked to solve the full set of problems. Should a student be absent at one of the ongoing partial examination, or in case of fail, he/she will be allowed to solve the corresponding problem in the occasion of his/her first final examination session (still within July).
The first partial written examination will propose a problem in the qualitative theory of dynamical systems in the plane. The second one will concern Lagrangian Mechanics. The written part of the eamination will be completed, in the sessions after the end of the lectures, by a problem in Hamiltonian Mechanics.
The oral examination consists in the discussion of the written part, as well as the discussion of fundamental topics of the course. Questions will be chosen (by the instructor) from a list to be given to the students at the end of the lectures. In the oral session, the student can be asked to solve problems similar to those presented during the course.
The aim of the written examination is basically to assess the achievemnt of points 1) and 2) of the "Aims" Section. Its weight in terms of the final score, is 2/3.
The oral part mainly deals with point 3) of the "Aims" section.
The examination can be taken in English language. To this end, the interested student must send an email to the instructors at least one week before the written examination.
Office hours
Meetings with individual students or small groups thereof are to be agreed via e-mail or the e-learning page.
