Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso: a) sulla base delle conoscenze sviluppate nel corso di Algebra I, approfondirà alcuni argomenti di teoria degli anelli e di teoria dei campi; b) illustrerà la teoria dei moduli finitamente generati su domini a ideali principali, con applicazioni ai gruppi abeliani e all'algebra lineare.
I risultati di apprendimento attesi includono
Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e risultati principali della teoria di anelli e i loro moduli e la teoria dei campi.
Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratti ai problemi concreti dell'algebra.
Contenuti sintetici
Campi, anelli e moduli
Programma esteso
CAMPI
Estensioni di campi: estensioni algebriche e trascendenti, grado di un'estensione, formula dei gradi.
Campo di spezzamento di un polinomio.
Campi finiti: costruzione, sottocampi, automorfismi, ciclicita` del loro gruppo moltiplicativo.
Polinomi ciclotomici.
ANELLI
Complementi di teoria degli anelli.
Il teorema cinese dei resti (per i polinomi, per anelli commutativi).
La decomposizione in fratti semplici delle funzioni razionali.
Domini a fattorizzazione unica e il Lemma di Gauss.
Localizzazioni di un dominio. Anelli locali.
L'anello delle serie formali a coefficienti in un campo, con qualche applicazione.
MODULI
Moduli su un anello e algebra lineare. Moduli liberi: basi, rango, proprietà universale. Torsione.
Moduli su domini a ideali principali: moduli finitamente generati; equivalenza di matrici e riduzione a forma normale.
Teorema di struttura per i moduli finitamente generati.
Moduli di torsione e decomposizione primaria.
Fattori invarianti e divisori elementari.
Applicazione ai gruppi abeliani: teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati.
Applicazione alle forme canoniche per le matrici: companion matrix, forma canonica razionale, forma canonica di Jordan.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi Algebra lineare e Geometria, e Algebra I.
Metodi didattici
48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione, erogate in presenza.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova scritta, seguita da prova orale obbligatoria.
La prova scritta comprende domande aperte sulla teoria, ed esercizi da risolvere.
La prova orale e un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, puo comprendere lo svolgimento di esercizi, e fare riferimento alla prova scritta.
Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e controesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.
Testi di riferimento
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman Co, 1985.
Ulteriori testi di riferimento:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
B. Hartley; T. Hawkes. Rings, modules and linear algebra, Chapman; Hall 1970
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
On the basis of the knowledge acquired in the Algebra I course, the course is aimed to a) illustrate further topics in the theory of rings and fields; b) develop the theory of finitely generated modules over principal ideal domains, with applications to abelian groups and linear algebra.
Achievements of a successful attendance of the course include
Knowledge: The knowledge and the understanding of the principle definitions, theorems and results in the theory of rings and their modules, as well as in field theory.
Abilities: The ability to apply this abstract knowledge to concrete problems in algebra.
Contents
Fields, rings and modules
Detailed program
FIELDS
Field extensions: algebraic and transcendental extensions, degree of an extension, the degree formula.
Splitting field of a polynomial.
Finite fields: construction, subfields, automorphisms, ciclicity of their multiplicative group.
RINGS
Complements of ring theory.
The Chinese remainder theorem (for polynomials, for commutative rings).
Partial fraction decomposition of rational functions.
Unique factorization domains and Gauss's lemma.
Localizations of a domain. Local rings.
The ring of formal series with coefficients in a field, with some applications.
MODULES
Modules over a ring and linear algebra. Free modules: bases, rank, universal property. Torsion.
Modules over principal ideal domains: finitely generated modules; equivalence of matrices and reduction to normal form.
Structure theorem for finitely generated modules.
Torsion modules and primary decomposition.
Invariant factors and elementary divisors.
Application to abelian groups: structure theorem for finitely generated abelian groups.
Application to canonical forms for matrices: companion matrix, rational canonical form, Jordan canonical form.
Prerequisites
The contents of the courses Linear Algebra and Geometry, and Algebra I.
Teaching methods
48 hours of frontal lectures and 24 hours of problem classes, delivered in-person.
Assessment methods
Written exam, followed by mandatory oral exam.
The written exam will comprise open questions (not multiple-choice questions) on the theory, and exercises.
The oral examination will be on the theory presented in the lectures, but may include exercises, and possible reference to the text of the written exam.
In both cases the questions will concern definitions, examples, counterexamples, exposition and application of theorems as well as their proofs.
Textbooks and Reading Materials
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman Co, 1985.
Further literature:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
B. Hartley; T. Hawkes. Rings, modules and linear algebra, Chapman; Hall 1970
Semester
First semester
Teaching language
Italian
