Syllabus del corso
Obiettivi
Corso base sul calcolo differenziale in più variabili, equazioni differenziali ordinarie, rudimenti di calcolo integrale in più variabili.
I risultati di apprendimento attesi includono
- Conoscenze: acquisire la nozione di spazio di Banach avendo in mente alcuni esempi classici: le funzioni continue/limitate su un intervallo chiuso e limitato. Comprensione delle definizioni e risultati principali del calcolo differenziale in più variabili e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
- Capacità: acquisire le principali tecniche di integrazione per funzioni di più variabili in domini delimitati da curve regolari nonché la capacità di applicare le conoscenze astratte suindicate ai problemi concreti.
Contenuti sintetici
Spazi metrici e spazi normati:esempi. Successioni e serie di funzioni. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivate direzionali, differenziale, matrice Hessiana, estremi liberi. Integrali multipli secondo Riemann e relative formule di riduzione: teorema di Fubini. Formula di cambiamento di variabili: coordinate polari, sferiche e cilindriche. Equazioni differenziali ordinarie: teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Funzioni definite implicitamente; massimi e minimi vincolati.
Programma esteso
- Calcolo differenziale in più variabili
- Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Legame tra le derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili. Legami tra continuità e derivabilità e differenziabilità. Derivate di ordine successivo. Derivate di funzioni composte.
- Massimi e minimi in insiemi aperti: condizione necessaria per funzioni differenziabili e curve di livello.
- Matrici definite/semidefinite positive e relativi criteri Matrice Hessiana. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine. Funzioni convesse e relativo criterio per il riconoscimento dei loro estremanti.
- Riconoscimento dei massimi e minimi mediante la matrice Hessiana.
- Calcolo integrale in piu' variabili
- Integrale di Riemann di una funzione di più variabili a valori reali.
- Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan: condizione necessaria e sufficiente per la misurabilità nel caso di insiemi limitati. Esempi di insiemi misurabili e non.
- Metodo di riduzione (Teorema di Fubini) per gli integrali multipli. Baricentro di un insieme misurabile bidimensionale. Volume dei solidi.
- Cambio di variabili negli integrali doppi e tripli (*): coordinate polari, sferiche e cilindriche. Volume dei solidi di rotazione: Teorema di Guldino.
- Integrali impropri.
- Curve e superfici
- Curve regolari/ regolari a tratti/ chiuse /semplici in Rn. Lunghezza di una curva: definizioni equivalenti e indipendenza dalla parametrizzazione (non è richiesta la dimostrazione del Teorema 15.4 del libro di Giusti). Ascissa curvilinea.
- Teorema delle funzioni implicite (Dini) nel caso bidimensionale. Superfici in forma cartesiana; condizioni sufficienti affinché una superficie sia localmente un grafico. Prodotto vettoriale e teorema di Dini nel caso di una funzione da R³ in R2 (senza dimostrazione)
- Massimi e minimi in insiemi compatti: moltiplicatori di Lagrange ( dimostrazione solo nel caso di un vincolo in R²).
- Successioni e serie di funzioni
- Spazi vettoriali normati: esempi (C[a,b], B[a,b],Cⁿ[a,b]). Spazi di Banach.
- Teorema delle contrazioni.
- Convergenza puntuale e uniforme per successioni/serie di funzioni a valori reali. Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni. Convergenza uniforme e limitatezza/continuità delle funzione limite. Convergenza puntuale/ uniforme per funzioni derivabili/integrabili e relativi teoremi di passaggio al limite.
- Serie di potenze: raggio di convergenza. Serie di Taylor. Approssimazione di integrali mediante l’uso di serie di potenze.
- Equazioni differenziali
- Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Intervallo massimale di definizione e relative proprietà (*). Condizione di sublinearità. Teorema di esistenza e unicit`a globale (non è richiesta la dimostrazione nel caso sublineare).
- Equazioni di ordine n: equivalenza con un sistema del primo ordine. Sistemi lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo del primo ordine. Soluzioni nel caso non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie nel caso di un’equazione di ordine n.
- Matrice esponenziale: definizione e proprietà . Calcolo della matrice esponenziale nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile nel campo reale. E' richiesto il calcolo negli altri casi solo per matrici 3 x 3.
- Metodi di soluzione per alcune equazioni e sistemi particolari.
Prerequisiti
Analisi I, Algebra lineare e Geometria I
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni si svolgono in presenza e sono tenute in italiano, per 64 ore (8 CFU).
Le esercitazioni sono in presenza e sono tenute in italiano, per 48 ore (4 CFU).
Didattica interattiva: Per didattica interattiva (DI) si intende il complesso degli interventi didattici integrativi alla didattica erogativa rivolti da parte del docente/tutor all’intera
classe (o a un suo sottogruppo), degli interventi brevi effettuati dai corsisti, delle e-tivity strutturate (individuali o collaborative), delle forme tipiche di valutazione formativa, con
il carattere di questionari o test in itinere.
Materiale didattico
Testo di riferimento: C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Testi di consultazione:
Enrico Giusti: Analisi Matematica II ed. Bollati Boringhieri.
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 1 Ed. Zanichelli
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 vecchia edizione Bollati Boringhieri
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta e prova orale pesate 1/2 e 1/2 ciascuna del voto finale
Prova scritta:
Il voto massimo della prova scritta è 33/33.
La prova scritta consiste di domande aperte su quattro argomenti scelti di volta in volta tra quelli oggetto del programma; per ciascuna di esse verranno valuate: la coerenza, con la possibilità di penalizzare affermazioni contraddittorie relative al medesimo quesito; l'acquisizione di tecniche illustrate a lezione e/o a esercitazione; la capacità di applicare i contenuti teorici del corso alla risoluzione di problemi.
Non saranno ammessi all'orale studenti con una valutazione inferiore a 16/33.
Prova orale.
All'inizio della prova orale lo studente è invitato a prendere visione del suo scritto. Seguono quindi domande inerenti agli esercizi svolti o non svolti: potrà essere chiesto di argomentare sugli esercizi svolti o di svolgere per iscritto un esercizio della stessa tipologia di quelli non svolti nella prova scritta. Infine verrà chiesto di esporre gli enunciati, le dimostrazioni dei teoremi e le definizioni, eventualmente anche in forma scritta. Infine il candidato dovrà dimostrare familiarità con gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte e trattate a lezione e/o a esercitazione
Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame nei seguenti periodi: due distribuiti tra i mesi di gennaio e febbraio, uno tra aprile e maggio, due tra giugno e luglio e uno a settembre. Ogni appello d’esame prevede prima una prova scritta e poi, in caso di superamento della prova scritta, una prova teorica/orale a pochi giorni di distanza.
Durante il periodo delle lezioni si terranno due prove scritte parziali. Ciascuna di esse ha un punteggio massimo di 33/33, verterà solo su metà del programma e sarà costituita da domande aperte. Per accedere alla seconda prova parziale sarà necessario aver riportato un punteggio non inferiore a 14/33 nella prima. Potranno accedere alle prove oarziali coloro che
- hanno superato l'esame di Analisi I.
- hanno l'esame di Analisi II relativo al 2024-25 nel loro piano di studi.
Il voto finale delle prove intermedie è la media dei voti di entrambe.
Coloro che avranno ottenuto un voto finale maggiore o uguale a 16/33 nelle prove intermedie potranno accedere direttamente ad uno degli orali di gennaio o febbraio (a loro scelta)
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
A basic course in integral and differential calculus in several variables and ordinary differential equation
Expected learning outcomes include
Knowledge: acquiring the notion of Banach space with some classic examples in mind:
continuous / limited functions on a compact inetrval. Understanding of the definitions and main
results of the differential calculus in several variables and of the theory of ordinary differential equations
Capacity: acquire the main integration techniques for functions of several variables in domains delimited by regular curves as well as the ability to apply the aforementioned abstract knowledge to concrete problems.
Contents
Complete metric spaces and Banach spaces: examples. Sequences and series of functions. Directional derivatives, differentiable functions, higher order derivatives, critical points and local extrema. Integral calculus in several variables: Fubini’s theorem; change of variables; polar, spherical and cilindrical coordinates. Ordinary differential equations: existence, uniqueness and continuous dependence on initial data. Implicit function theorem and Lagrange multipliers.
Detailed program
- Differential calculus in more than one variable.
- Directional derivatives. Differentiable functions. Link between the directional derivatives in the case of differentiable functions. Bonds between continuity and derivability and differentiability. Higer order derivatives. Derivatives of compound functions.
- Maximum and minimum in open sets: necessary condition for differentiable functions and level curves.
- Positive defined/semidefinite matrices and related Matrix criteria Hessian. Taylor's formula arrested on the second order. Convexity and related criteria for the recognition of theirs extrema.
- Recognition of the maximums and minima by the Hessian matrix
- Integral calculus in more than one variable.
- Definition of Riemann integral for a real valued function of several variables.
- Measurable sets according to Peano-Jordan: necessary and sufficient condition for measurability in the case of bounded sets. Examples of measurable and non-measurable sets.
- Reduction method (Fubini's theorem) for multiple integrals. The center of gravity of a two-dimensional measurable set. Solid volume.
- Change of variables in double and triple integrals (*): polar, spherical and cylindrical coordinates. Volume of rotation solids: Guldino's theorem.
- Improper integrals.
- Curves and surfaces.
- Regular / piecewise regular curves in Rⁿ. Length of a curve: equivalent definitions and independence from the parametrisation (proof of the Theorem 15.4 of the book of Giusti is not required). Curvilinear abscissa
- Theorem of implicit functions (Dini) in the two-dimensional case. Cartesian surfaces; sufficient conditions for one surface to be locally a chart. Vector product and theorem of Dini in the case of a function from R³ to R² (without proof)
- Maximum and minimum in compact sets: Lagrange multipliers (proof only in the case of a constraint in R^2).
- Sequences and series of functions
- Normed vector spaces: examples (C ([a, b]), B (I) (with I interval) Cⁿ([a, b]). Banach spaces.
- Theorem of contractions.
- Punctual and uniform convergence for sequences / series of functions. Weierstrass criterion for the series of functions. Uniform convergence and boundedness/ continuity of the limit function. Pointwise / uniform convergence for derivatives of functions. Limits of sequences of integrable functions.
- Power series: convergence radius. Taylor series. approximation of integrals through the use of power series.
- Differential equations
- Cauchy problem for first order equations. Theorem of existence and local uniqueness. Extension of solutions. Maximal solution and related properties (*). Sublinearity condition. Theorem of existence and global uniqueness (proof is not required in the sublinear case).
- Equations of order n: equivalence with a system of the first order. Linear systems of the first order. Structure of the space of the solutions of a homogeneous system of the first order. Solutions in the non-homogeneous case. The Variation of constants method in the case of an equation of order n.
- Exponential matrix: definition and properties. Calculation of the exponential matrix in the case where the matrix is diagonalizable on the real field. The calculation is required in the other cases only for 3 x 3 matrices.
- Solution methods for some particular equations and systems.
Prerequisites
Analysis I, Linear Algebra, Geometry I
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.
Lectures (64 hours) and practical sessions/tutorials (48 hours) are conducted in person and are in Italian
Didactic delivery: Delivered Didactics (Didattica erogativa=DE) refers to all those didactic actions that can be assimilated to frontal classroom teaching, focused on the presentation-illustration of contents by the lecturer.
Interactive teaching: Interactive teaching (Didattica Integrativa=DI) refers to all teaching interventions supplementary to didactic activities delivered and addressed by the lecturer/tutor to the whole class (or a subgroup thereof), to short interventions by trainees, structured e-activities (individual or collaborative), typical forms of formative evaluation, with the character of questionnaires or in itinere tests
Textbook and teaching resource
Textbook: C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Other teaching resources
Enrico Giusti: Analisi Matematica II ed. Bollati Boringhieri.
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 1 Ed. Zanichelli
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2, old edition, Bollati Boringhieri
Semester
First semester.
Assessment method
Oral and written exam: weighted 1/2 and 1/2 of the final mark
Written test:
The maximum mark of the written test is 33/33.
The written test consists of open questions on four topics chosen from time to time among those covered by the program; for each of them the following will be assessed: coherence, with the possibility of penalizing contradictory statements relating to the same question; the acquisition of techniques illustrated in lessons and/or exercises; the ability to apply the theoretical contents of the course to problem solving.
Students with a grade lower than 16/33 will not be admitted to the oral exam.
Oral test:
At the beginning of the oral exam the student is invited to look at his writing. This is then followed by questions relating to the exercises carried out or not carried out: you may be asked to argue about the exercises carried out or to carry out in writing an exercise of the same type as those not carried out in the written test.
Finally, you will be asked to present the statements, the proofs of the theorems and the definitions, possibly also in written form. The candidate must demonstrate familiarity with the examples/counterexamples and the calculation
techniques introduced and covered in lessons and/or exercises.
.
During the year there are 56exam sessions in the following periods: two distributed between the months in January and February, one in April or May, two distributed between months in June and July and one in September. Each exam session first includes a written test and then, if the written test is passed, a theoretical/oral test a few days later.
Two partial written tests will be held during the period of the lessons. Each of them has a maximum score of 33 and it will cover only half of the program and will consist of open questions. To access the second partial test it will be necessary to have obtained a score of not less than 14/33 in the first one.To access them, the student must have passed the Analysis I exam. The intermediate tests are reserved for those who have the Analysis II exam for 2024-25 in their study plan.
The final mark of the intermediate tests is the average of the marks of both.
Those who have obtained a final grade greater than or equal to 16/33 in the intermediate tests will be able to directly access one of the oral exams in January or February (at their choice).
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Andrea Giovanni Calogero
-
Maria Gabriella Kuhn
