Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento
a) sulla base delle conoscienze sviluppate nel corso di Algebra I e II, l'insegnamento presenta una gentile introduzione alla teoria di Galois. Nella seconda parte si discute diverse applicazioni classiche della teoria, e.g., in generale un angolo non è trisecabile con riga e compasso, l'equazioni polinomiali di grado > 4 non sono in generale risolubili.
I risultati di apprendimento attesi includono
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e risultati principali della teoria di Galois.
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratti ai problemi concreti della matematica..
Contenuti sintetici
La teoria dell'estenzioni di campi e la teoria di Galois.
Programma esteso
La chiusura algebrica di un campo,
estensioni normali e separabili,
il teorema dell'elemento primitivo di
estensioni finiti separabili.
Il teorema fundamentale della teoria di Galois,
estensioni ciclotomiche
Gruppi finiti, gruppi risolubili,
equazioni polinomiali di grado almeno 5 non sono
risolubili in generale,
Il campo dei elementi costruibili con compasso e riga,
C è algebricamente chiuso
Prerequisiti
Conoscenze richieste: I contenuti dei corsi Algebra lineare e Geometria, Algebra I e Algebra II.
Modalità didattica
I lezioni sarano tenuti in aula in italiano.
6 cfu di lezioni,
in ore: 48 ore di lezioni.
Materiale didattico
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Ulteriori testi di riferimento:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d'esame: esame orale (ca. 20 minuti) su i contenuti del corso.
Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e contraesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
On the basis of the knowledge acquired in the Algebra I and II courses, the course will present a gentle introduction to Galois theory.
In the second part we will apply our theoretical knowledge to concrete classical mathematical problems, e.g., in general it is not possible to divide an angle in 3 equal parts using only ruler and compass, it is impossible to find a general formula calculating the roots of a polynomial of degree 5 or higher.
Achievements of a successful attendance of the course include
- Knowledge: The knowledge and the understanding of the principle definitions, theorems and results in Galois theory.
- Capability: The capacity to apply this abstract knowledge to concrete mathematical problems..
Contents
The theory of field extensions and Galois theory
Detailed program
The algebraic closure of a field,
normal and separable extensions of fields,
the existence of primitive elements in finite separable field extensions,
The fundamental theorem in Galois theory,
cyclotomic extensions,
Finite and solvable groups,
polynomial equations of degree at least 5 are in general
not solvable,
the field of elements in C constructable by compass and ruler,
the field of complex numbers is algebraically closed.
Prerequisites
Prerequisites: The contents of the courses Linear algebra and Geometry, Algebra I and Algebra II.
Teaching form
The lectures will be given in a lecture hall in Italian.
6 credits (ECTS) of lecturing.
In hours: 48 hours of lecturing.
Textbook and teaching resource
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Additional References:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
Semester
1ˢᵗ semester
Assessment method
Examination: oral examination of ca. 20 minutes on the content of the course.
The questions will concern definitions, examples, counterexamples, exposition and application of Theorems as well as their proofs.
Office hours
On appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Thomas Stefan Weigel
