Course Syllabus
Obiettivi
- Conoscere e comprendere i fondamenti dell'algebra lineare, del calcolo differenziale in più variabili reali, delle equazioni differenziali e della statistica descrittiva e inferenziale.
- Fornire una solida base di conoscenze matematiche e statistiche necessarie per l'analisi quantitativa dei dati ambientali.
- Sviluppare la capacità degli studenti di applicare i concetti matematici e statistici alla risoluzione di problemi ambientali concreti.
- Acquisire autonomia di giudizio nella applicazione delle metodologie apprese.
- Essere in grado di esporre in modo preciso ed esaustivo sia le conoscenze teoriche acquisite che le soluzioni, sviluppate in autonomia, di esercizi e problemi.
- Acquisire i prerequisiti necessari per la comprensione dei contenuti di tipo modellistico/matematico dei successivi corsi erogati all'interno del Corso di Laurea.
Contenuti sintetici
- Vettori in Rⁿ, matrici.
- Calcolo differenziale.
- Equazioni differenziali.
- Statistica descrittiva.
- Probabilità di base.
- Statistica inferenziale.
Programma esteso
- Algebra lineare.
Spazi vettoriali: somma di vettori, prodotto per uno scalare. Lo spazio vettoriale Rⁿ: prodotto interno, norma di un vettore e sue proprietà. Disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare, combinazioni lineari, vettori dipendenti ed indipendenti. Matrici e operazioni tra matrici: matrice trasposta, somma di matrici, prodotto per uno scalare e prodotto tra matrici. Sistemi di equazioni lineari e metodo di eliminazione di Gauss.
- Curve
Funzioni vettoriali di una variabile reale, limiti e continuità. Curve, curve chiuse, curve semplici e curve piane. Sostegno di una curva. Derivata e versore tangente a una curva. Archi di curva regolari e regolari a tratti.
- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
Insiemi in R^n. Intorni sferici. Funzioni di più variabili reali: introduzione e primi esempi, esempio delle funzioni di stato. Grafici e insiemi di livello. Definizione e proprietà dei limiti per funzioni di più variabili. Limiti finiti. Funzioni continue. Derivate parziali e gradiente, definizione di differenziabilità, legame tra differenziabilità e continuità e tra differenziabilità e derivabilità. Derivabilità lungo una direzione assegnata e formula del gradiente, significato geometrico del gradiente. Condizione sufficiente per la differenziabilità e la classe C¹(Rⁿ, R). Il differenziale primo. Derivata della funzione composta: il caso p(x)=g(f(x)) con f:Rⁿ->R e g:R->R e il caso p(t)=f(r(t)) con f:Rⁿ->R e r:R->Rⁿ. Curve di livello e gradiente. Funzioni positivamente omogenee e teorema di Eulero, applicazione ai potenziali termodinamici. Derivate di ordine superiore e matrice Hessiana. Teorema di Schwarz e la classe C². Relazioni di Maxwell in termodinamica. Funzioni vettoriali di più variabili reali, matrice Jacobiana. Caso generale del teorema di derivazione della funzione composta. Punti estremanti. Estremi liberi e vincolati. Punti stazionari (o critici). Condizione necessaria per estremanti liberi (teorema di Fermat).
- Equazioni differenziali
Definizione. Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali con esempi. Modello di crescita esponenziale e modello logistico. Ordine di un'equazione differenziale e sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali in forma normale ed equivalenza con sistemi del primo ordine. Problema di Cauchy. Problema di Cauchy per equazioni differenziali in forma normale di ordine n. Teorema di esistenza (Peano) e teorema di esistenza e unicità locale. Soluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili e delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Struttura dell'integrale generale delle omogenee e delle non omogenee. Soluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine 2. Equazioni differenziali associate al circuito RLC e all'oscillatore armonico smorzato e rispettivi integrali generali. Soluzione particolare di un equazione lineare a coefficienti costanti non omogenea quando il termine non omogeneo è un polinomio o un esponenziale (metodo di somiglianza). Cenni alla soluzione qualitativa delle equazioni differenziali autonome: singole equazioni e sistemi 2X2. Analisi qualitativa delle soluzioni dei seguenti modelli: equazione logistica; equazione logistica con estinzione e raccolta; modello di Lotka-Volterra preda predatore; modello per due specie in competizione.
- Statistica descrittiva
Tabelle di frequenze assolute e relative. Istogrammi. Media, mediana e mode campionarie. Varianza campionaria. Deviazione standard campionaria. Quartili. Scarto interquartile. Box plot. Dati bivariati. Diagramma a dispersione. Associazione tra le due variabili. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare campionari. Correlazione non implica causalità.
- Accenni di probabilità
Introduzione alla Probabilità (spazio campionario, eventi, misura di probabilità). Definizione di probabilità. Proprietà della probabilità. Probabilità uniforme. Principi del conteggio (regola della somma e regola del prodotto). Introduzione alla probabilità condizionata. Definizione ed esempi con la probabilità condizionata. Indipendenza di eventi. Introduzione alle variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete e densità discreta. Valore atteso e proprietà per v.a. a un numero finito di valori. Formula del trasferimento per una v.a. Valore atteso della somma di due v.a. Varianza e proprietà. Varianza della somma di 2 v.a. Covarianza e v.a. scorrelate. Variabili discrete uniformi e Bernoulli. V.a. continue e densità. Valore atteso, varianza, formule del trasferimento per v.a. continue. Indipendenza di v.a. Teorema di Chebyshev. Funzione di ripartizione. Variabili aleatorie uniformemente distribuite in un intervallo. Variabili aleatorie normali e proprietà.
- Statistica inferenziale
Introduzione alla statistica inferenziale. Stimatori corretti e consistenti, con esempio della media campionaria tramite la legge dei grandi numeri. La distribuzione della media campionaria di una popolazione normale. Intervallo di confidenza al 95% della media per un campione normale a varianza nota. Intervalli di confidenza bilateri e unilateri a livello qualsiasi della media per un campione normale a varianza nota. Il teorema del limite centrale. Intervalli di confidenza bilatero e unilatero a livello qualsiasi per un campione Bernoulli di parametro ignoto. Verifica di ipotesi. Regione critica. Errori di prima e seconda specie. Livello di significatività e funzione potenza. Test Z bilaterale per la media di una popolazione normale di varianza nota. p-value. Test Z unilaterale per la media di una popolazione normale di varianza nota. Test Z bilaterale e unilaterale per una proporzione. Test T per la media di una popolazione normale di varianza ignota. Test chi-quadro di adattamento.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Non vi sono propedeuticità formali, ma è necessario conoscere e saper maneggiare i contenuti del corso di Matematica I per poter seguire il corso con profitto.
Modalità didattica
24 lezioni da 2 ore di didattica erogativa in presenza (6 cfu)
10 esercitazioni da 2 ore di didattica erogativa in presenza (2 cfu)
Corso erogato in lingua italiana
Materiale didattico
- Matematica Generale, A. Guerraggio, Bollati Boringhieri. (Algebra lineare)
- Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI. (Calcolo differenziale in più variabili ed equazioni differenziali)
- Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, S. M. Ross, Apogeo.
- Esercitazioni di Analisi Matematica 2, M. Bramanti, Esculapio, Bologna. (Esercizi)
- Esercizi di calcolo delle probabilità e statistica, D. Bertacchi, M. Bramanti, G. Guerra, Esculapio.
- Probabilità & Statistica 600 esercizi d'esame risolti, M. Verri, Esculapio.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è strutturato in una prova scritta obbligatoria e in una prova orale facoltativa (su richiesta o dello studente o del docente) a cui si può accedere se si è ottenuto un punteggio di almeno 18 nella prova scritta.
La prova scritta è divisa in due parti. Nella prima parte verrà richiesto di rispondere a 4 domande aperte di teoria ciascuna delle quali vale 3 punti. In questa prima parte della prova scritta gli studenti saranno valutati sulla loro comprensione dei concetti matematici e statistici fondamentali affrontati durante il corso. Gli studenti dovranno dimostrare la loro conoscenza teorica e la capacità di spiegare i concetti chiave. Nella seconda parte si richiede di risolvere alcuni esercizi/problemi, di solito 4. Ogni esercizio vale 5 punti se non diversamente indicato. In questa parte della prova verrà valutata la capacità di applicare le conoscenze apprese alla risoluzione di esercizi e problemi e la capacità comunicare in modo chiaro ed efficace il procedimento per la soluzione degli stessi.
La prova va svolta in 120 minuti. Per superare l'esame occorre una votazione di almeno 18.
La prova orale facoltativa ed è costituita da un colloquio sugli argomenti svolti a lezione. Verrà valutata sia la comprensione teorica che la capacità degli studenti di applicare i concetti matematici e statistici alla risoluzione di problemi anche concreti. In base all'andamento della prova orale, il voto ottenuto nella prova scritta potrà essere aumentato al massimo di 4 punti o diminuito fino all'insufficienza in caso di grave impreparazione.
Prove parziali: Durante il periodo delle lezioni si svolgono di norma due prove parziali che sostituiscono, in caso di superamento, la prova scritta. Le prove parziali sono strutturate come le prove scritte, la prima prova parziale verterà sul programma svolto fino a quando viene effettuata la prova. La seconda prova verterà sul programma rimanente. Le prove si intendono superate se si ottiene un punteggio di almeno 18 in entrambe le prove e il voto finale sarà la media aritmetica dei due voti.
Durante lo svolgimento delle prove non sarà concessa la consultazione di materiale didattico (testi, eserciziari, appunti personali, formulari) e non sarà consentito l'uso di telefoni cellulari, tablet, pc, smartwatch, ecc. È consentito l'utilizzo di una calcolatrice scientifica non programmabile e non grafica.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
- To acquire knowledge and understanding of the fundamentals of linear algebra, differential calculus in several real variables, differential equations, and descriptive and inferential statistics.
- To acquire the mathematical and statistical knowledge necessary for the quantitative analysis of environmental data.
- To acquire the ability of independently make judgments in the application of the learned methodologies to the modeling and solving of environmental problems.
- To acquire independence in the application of learned methodologies.
- To acquire the ability to present in a precise and exhaustive way both the learned theoretical knowledge and the independently developed solutions of exercises and problems.
- To be able to understand the modeling/mathematical contents of the courses delivered within the Degree Course.
Contents
- Vectors in Rⁿ , matrices.
- Differentiation in Rn.
- Differential equations.
- Descriptive statistics.
- Basic probability.
- Inferential statistics.
Detailed program
- Linear algebra
Vector spaces: sum of vectors, product for a scalar. the vector space Rⁿ: inner product, norm of a vector and its properties. Schwarz's inequality, triangle inequality, linear combinations, dependent and independent vectors. Matrices and matrix operations: matrix transpose, matrix addition, product for a scalar and product between matrices. Systems of linear equations and Gaussian elimination method.
- Curves
Vector functions of a real variable, limits, and continuity. Curves, closed curves, simple curves, and planar curves. Support of a curve. Derivative and tangent vector to a curve. Regular and piecewise regular curves.
- Differential calculus for functions of several real variables
Sets in Rⁿ. Spherical neighborhoods. Functions of several real variables: introduction and first examples, state functions of thermodinamics. Graphs and level sets. Definition and properties of limits for functions of several variables. Finite limits. Continuous functions. Partial derivatives and gradient, definition of differentiability, link between differentiability and continuity and between differentiability and derivability. Derivability along a given direction and the gradient formula, geometric meaning of the gradient. Sufficient condition for differentiability and the class C¹(Rⁿ, R). The first differential. Derivative of the composite function: the case p(x) = g(f(x)) with f:Rⁿ -> R and g: R -> R and the case p(t) = f(r(t)) with f: Rⁿ -> R and r: R -> Rⁿ. Level curves and the gradient. Positively homogeneous functions and Euler's theorem, application to thermodynamic potentials. Higher order derivatives and the Hessian matrix. Schwarz's theorem and C² class. Maxwell's relations in thermodynamics. Vector functions of several real variables, Jacobian matrix. General case of the chain rule. Extremal points. Free and constrained extrema. Stationary points (or critical points). Necessary condition for free extrema (Fermat's theorem). Sufficient condition for the two variables case.
- Differential equations
Definition. Ordinary differential equations and partial differential equations with examples. Exponential growth model and logistic model. Order of a differential equation and systems of differential equations. Differential equations in normal form and equivalence with first-order systems. Cauchy's problem. Cauchy's problem for differential equations in normal form of order n. Existence theorem (Peano) and local existence and uniqueness theorem. Differential equations with separable variables and linear differential equations of the first order. Homogeneous and nonhomogeneous linear differential equations of order n. Structure of the general integral of homogeneous and nonhomogeneous equations. Solution of homogeneous linear equations with constant coefficients of order two. Differential equations associated with RLC circuits and damped harmonic oscillator and their general integrals. Solution of a nonhomogeneous linear equation with constant coefficients when the nonhomogeneous term is a polynomial or an exponential (similarity method). Short overview of the qualitative solution of autonomous differential equations: single equations and 2X2 systems. Qualitative analysis of solutions of the following models: logistic equation; logistic equation with extinction and harvesting; Lotka-Volterra predator-prey model; model for two species in competition.
- Descriptive statistics
Absolute and relative frequency tables. Histograms. Sample mean, median, and mode. Sample variance. Sample standard deviation. Quartiles. Interquartile range. Box plot. Bivariate data. Scatter plot. Association between two variables. Sample covariance and sample linear correlation coefficient. Correlation does not imply causation.
- Introduction to probability
Introduction to probability (sample space, events, probability measure). Definition of probability. Properties of probability. Uniform probability. Counting principles (sum rule and product rule). Introduction to conditional probability. Definition and examples with conditional probability. Independence of events. Introduction to random variables. Discrete random variables and discrete density. Expected value and properties for random variables with a finite number of values. Transfer formula for a random variable. Expected value of the sum of two random variables. Variance and properties. Variance of the sum of two random variables. Covariance and uncorrelated random variables. Uniform discrete and Bernoulli random variables. Continuous random variables and density. Expected value, variance, transfer formulas for continuous random variables. Independence of random variables. Chebyshev's theorem. Distribution function. Uniformly distributed random variables over an interval. Normally distributed random variables and properties.
- Inferential statistics
Introduction to inferential statistics. Unbiased and consistent estimators, with an example of the sample mean through the law of large numbers. Distribution of the sample mean of a normal population. 95% confidence interval for the mean of a normal sample with known variance. Two-tailed and one-tailed confidence intervals at any level for the mean of a normal sample with known variance. Central limit theorem. Two-tailed and one-tailed confidence intervals at any level for a Bernoulli sample with unknown parameter. Hypothesis testing. Critical region. Type I and Type II errors. Significance level and power function. Two-tailed Z-test for the mean of a normal population with known variance. p-value. One-tailed Z-test for the mean of a normal population with known variance. Two-tailed and one-tailed Z-tests for a proportion. T-test for the mean of a normal population with unknown variance. Chi-square goodness of fit test.
Prerequisites
Differential and integral calculus for real functions of a single real variable. Even if it is not formally required, it is necessary to know and to be able to handle the contents of Mathematics I in order to be able to follow the course profitably.
Teaching form
24 lessons of 2 hours each of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS)
10 exercise classes of 2 hours each of in-person, lecture-based teaching (2 ECTS)
Course delivered in Italian
Textbook and teaching resource
- Matematica Generale, A. Guerraggio, Bollati Boringhieri. (Linear algebra)
- Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI. (Differential calculus for functions of several real variables and differential equations)
- Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, S. M. Ross, Apogeo.
- Esercitazioni di Analisi Matematica 2, M. Bramanti, Esculapio, Bologna. (Exercises)
- Esercizi di calcolo delle probabilità e statistica, D. Bertacchi, M. Bramanti, G. Guerra, Esculapio.
- Probabilità & Statistica 600 esercizi d'esame risolti, M. Verri, Esculapio.
Semester
First semester
Assessment method
The exam consists of a mandatory written test and an optional oral test (upon request of either the student or the instructor), which can be taken if a score of at least 18 is achieved in the written test.
The written test is divided into two parts. The first part consists of 4 open questions, each worth 3 points. In this first part, students will be evaluated on their understanding of the fundamental mathematical and statistical concepts covered during the course. Students need to demonstrate their theoretical knowledge and the ability to explain the key conceptscovered in the course. In the second part, students are required to solve some exercises/problems, usually 4. Each exercise is worth 5 points unless otherwise indicated. In this part of the test, the ability to apply the learned knowledge to solve exercises and problems is evaluated, as well as the ability to communicate the solution process clearly and effectively.
The test must be completed within 120 minutes. To pass the exam, a minimum score of 18 is required.
The optional oral test consists of an interview on the topics covered in the course. Both theoretical understanding and the ability to apply mathematical and statistical concepts to solve concrete problems will be assessed. Based on the performance in the oral test, the score obtained in the written test can be increased by a maximum of 4 points or decreased to a failing grade in case of significant unpreparedness.
Partial exams: During the lecture period, there are typically two partial exams that replace the written test if passed. The partial exams follow the same structure as the written test. The first partial exam covers the program taught until the time of the exam, while the second partial exam covers the remaining program. The partial exams are considered passed if a score of at least 18 is obtained in both exams, and the final grade will be the arithmetic mean of the two scores.
During the exams, consulting educational material (textbooks, exercise books, personal notes, formulas) is not allowed, and the use of cell phones, tablets, PCs, smartwatches, etc. is prohibited. The use of a non-programmable and non-graphing scientific calculator is allowed.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Graziano Guerra
-
Nicola Turchi
