Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali della teoria dell'ottimizzazione e dell'analisi convessa in spazi euclidei. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Una particolare enfasi verrà posta sulla programmazione nonlineare e sui suoi legami con la convessità, e su risultati di dualità.
Al termine del corso gli studenti:
- devono aver acquisito la conoscenza e la capacità di comprensione delle principali parti del programma ed essere in grado di applicare i metodi e le tecniche matematiche presentate nel corso alla risoluzione di problemi ed esercizi;
- devono essere in grado di tradurre problemi derivanti da situazioni concrete e reali in modelli matematici che siano adatti ad essere affrontati e studiati mediante le teorie matematiche presentate durante il corso;
- devono aver acquisito una proprietà di linguaggio che li renda in grado di comunicare con chiarezza e rigore le conoscenze apprese.
Contenuti sintetici
Ottimizzazione finito-dimensionale, elementi di analisi convessa, teoria della dualità, ottimizzazione vettoriale.
Programma esteso
Introduzione all'ottimizzazione statica. Richiami di calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Ottimizzazione globale. Teorema di Weierstrass e sue estensioni.
Ottimizzazione locale.
Principio variazionale di Ekeland.
Teoremi dell'alternativa.
Convessità di insiemi.
Funzioni convesse. Proprietà di regolarità.
Minimizzazione di funzioni convesse.
Programmazione non lineare. Teorema di Fritz John.
Lagrangiana e lagrangiana debole associate. Qualificazione dei vincoli.
Moltiplicatore e funzione valore.
Teoria della dualità lagrangiana.
Introduzione all'ottimizzazione vettoriale.
Spazi vettoriali parzialmente ordinati.
Nozioni di soluzione per un problema di ottimizzazione vettoriale.
Scalarizzazione e condizioni di ottimalità.
Prerequisiti
Il corso presuppone le conoscenze di base e i principali risultati di algebra lineare e analisi in ambito finito-dimensionale.
Modalità didattica
Tutte le lezioni sono svolte in presenza in modalità erogativa.
Materiale didattico
Referenze:
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010 (disponibile in formato elettronico)
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009
M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer 2005
Ulteriori referenze:
M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, John Wiley & Sons, 1993
L. Berkovitz, Convexity and Optimization in Rⁿ, John Wiley & Sons, 2002
J. Jahn, Vector Optimization, Springer, 2011
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d’esame:
- non sono previste prove in itinere.
- nella prova finale, sia in quella scritta che in quella orale, vengono valutati: la conoscenza delle metodologie, il rigore di ragionamento,
la capacità di illustrare con la terminologia adeguata i risultati presentati - la valutazione delle prove (scritta, orale) terrà conto prevalentemente della conoscenza degli argomenti richiesti e del rigore di ragionamento.
Scritto e/o orale
Prova scritta: consiste in domande aperte, in particolare:
a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi o nella verifica di semplici risultati teorici
b) un quesito di tipo teorico, in cui si chiede allo studente una dimostrazione tra quelle proposte, oppure di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio.
Prova orale: la prova orale verte su teoremi e dimostrazioni, di cui viene fornito a fine corso un elenco dettagliato, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale tutti gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 18. Gli studenti che hanno riportato una votazione non inferiore a 18 e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare il voto.
In ciascuna prova vengono valutati la correttezza del ragionamento, la chiarezza e il rigore dell'esposizione.
Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta, può rifiutare il voto (dello scritto, o dell'eventuale orale) per non più di due volte.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of the theory of optimization and convex analysis in the Euclidean setting. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them. Particular emphasis will be put on the theory of nonlinear programming and its relationship with convexity, as well as some results of duality.
At the end of the corse the students are supposed:
- to have absorbed the pricipal topics of the course and to be able to apply methods and mathematical techniques to solve problems and exercises;
- to be able to translate problems arising from real situations into models that can be analysed via the mathematical theory developed in the course;
- to have acquired a proper use of language that enables them to communicate in a clear and rigorous way what they have learnt.
Contents
Finite-dimensional optimization, elements of convex analysis, duality theory, multiobjective optimization.
Detailed program
Introduction to optimization problems. Basic calculus tools in Rn.
Unconstrained optimization.
Ekeland variational principle.
Transposition theorems.
Convex analysis for sets and functions.
Nonlinear programming.
Duality theory and convex programming.
Introduction to vector optimization.
Partially ordered vector spaces.
Solution of a vector optimization problem.
Scalarization and optimality conditions.
Prerequisites
Basic concepts and results of linear algebra and analysis in finite-dimensional spaces.
Teaching form
All lessons are conducted in person in a classroom setting.
Textbook and teaching resource
Referenze:
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010 (available as e-book)
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009
M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer 2005
Ulteriori referenze:
M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, John Wiley & Sons, 1993
L. Berkovitz, Convexity and Optimization in Rⁿ, John Wiley & Sons, 2002
J. Jahn, Vector Optimization, Springer, 2011
Semester
I
Assessment method
Examination type:
- there are no intermediate exams.
- in both written and, if applicable, oral part of the exam are judged: the knowledge of the techniques shown during the course, the accuracy of the line of thinking, the ability to illustrate the results of the course
- the evaluation of both written and oral exams will take into account mainly of the knowledge of the subjects and the accuracy of the line of thinking.
Written and oral examination
Written Exam: It consists of open-ended questions, specifically:
a) exercises that allow the instructor to assess the student's ability to apply theory in solving problems or in verifying simple theoretical results
b) a theoretical question, in which the student is asked to provide a proof from those proposed, or to fully present some definitions, statements of theorems, and give a few examples.
Oral Exam: The oral exam covers theorems and proofs, for which a detailed list will be provided at the end of the course, as well as theoretical exercises. It is preceded by a discussion of the written exam. All students who have obtained a score of at least 18 in the written exam are eligible to take the oral exam. Students who have achieved a score of at least 18 and choose not to take the oral exam may record their grade.
Each exam evaluates the correctness of reasoning, clarity, and rigor of presentation.
A student who receives a passing grade on the written exam may decline the grade (of the written exam, or the possible oral exam) no more than twice.
Office hours
By appointment.
Staff
-
Rita Pini