Course Syllabus
Obiettivi
Fornire un'introduzione alla teoria dell'analisi su spazi metrici, mettendone in luce gli aspetti geometrici e le basi del calcolo differenziale.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché di alcune strategie di dimostrazione; la conoscenza e la comprensione di alcune classi di esempi fondamentali a cui la teoria si applica.
- la capacità di riconoscere e analizzare gli spazi metrici (di lunghezza, intrinseci e di misura) che possono nascere da diversi ambiti della matematica; la capacità di determinare alcune proprietà geometriche e analitiche fondamentali di uno spazio metrico e di saper introdurre un calcolo differenziale al primo ordine su questi spazi; la capacità di esporre in modo chiaro i contenuti del corso, di manipolare alcuni esempi e di individuare connessioni tra i diversi argomenti trattati nel corso.
Contenuti sintetici
Nozioni basilari e aspetti geometrici (tra cui la curvatura) degli spazi metrici di lunghezza.
Elementi di analisi e di calcolo differenziale al primo ordine su spazi metrici di misura.
Programma esteso
Parte I. Spazi metrici (intrinseci) e curvatura.
- Spazi metrici: definizione, esempi, topologia; misura e dimensione di Hausdorff.
- Spazi di lunghezza, metriche intrinseche, geodetiche, lunghezza e velocità; costruzioni e esempi.
- Spazi di curvatura limitata: alcune definizioni equivalenti di curvatura limitata (dall'alto o dal basso) per uno spazio metrico; angoli; costruzioni e esempi.
- Convergenza di spazi metrici: convergenza uniforme; definizioni e proprietà della distanza di Gromov-Hausdorff.
- Panoramica sulle proprietà degli spazi metrici a curvatura positiva: crescita dei volumi, dimensione di Hausdorff; globalizzazione; esempi (coni, superfici convesse,...); cenni a risultati di compattezza.
Parte II. Analisi e calcolo differenziale su spazi metrici di misura
- Spazi metrici di misura; proprietà del raddoppio; lemmi di ricoprimento: teorema di Vitali, teorema di Lebesgue.
- Funzione massimale di Hardy-Littlewood: risultati di limitatezza.
- Richiami su spazi di Sobolev in R^n; immersioni di Sobolev; disuguaglianze di Poincaré.
- Spazi di Sobolev su spazi metrici: approccio via la funzione massimale; funzioni lipschitziane: teoremi di estensione e di densità.
- Gradiente superiore, moduli di una famiglia di curve, capacità; spazi di Sobolev newtoniani su spazi metrici: definizioni e proprietà.
- Cenni a equazioni differenziali su spazi metrici: disuguaglianze di Poincaré su spazi metrici; funzioni armoniche e problemi di Dirichlet.
Prerequisiti
Calcolo in più variabili; fondamenti di teoria della misura e della teoria degli spazi Lp.
Una conoscenza di base degli spazi di Sobolev in R^n può aiutare nella fruizione della seconda parte del corso, ma non è strettamente necessaria.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale in modalità ergativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE costituisce la parte principale del corso, e include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici e di alcuni esempi. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite riposte a esercizi e problemi, brevi interventi e discussioni collettive. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni (56 ore, 8 CFU) sono in presenza e si svolgono in italiano, e ove necessario, in inglese.
Degli esercizi saranno assegnati mano a mano. La loro soluzione potrà essere discussa, oltre che in classe, anche durante i ricevimenti su richiesta degli studenti.
Materiale didattico
I principali testi di riferimento sono i seguenti.
Per la prima parte del corso:
- D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001
Per la seconda parte del corso:
- J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2001
- A. Björn, J. Björn, Nonlinear potential theory on metric spaces. EMS Tracts in Mathematics, 17. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011. xii+403 pp.
Saranno messe a disposizione degli studenti delle note redatte dal docente che contengono i concetti, i risultati, le dimostrazioni e buona parte degli esempi trattati a lezione.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste in una prova orale conclusiva con voto in trentesimi. Non sono previste prove in itinere.
L'esame orale sarà principalmente un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, teso a verificare il livello delle conoscenze, l’autonomia di analisi e giudizio e le capacità espositive acquisite dallo studente. Qualche facile esercizio o esempio non trattato a lezione potrà essere discusso.
Il corso è diviso in due parti principali (si veda la voce "programma esteso" per maggiori dettagli).
Per l'esame è possibile concentrarsi maggiormente su una delle due parti (a scelta) da conoscere in dettaglio, e dell'altra parte conoscere più a grandi linee i concetti, gli oggetti e le definizioni, ma non necessariamente gli enunciati rigorosi dei risultati e le dimostrazioni.
E' anche possibile scegliere un breve argomento di approfondimento, concordato con, ed eventualmente (ma non necessariamente) proposto dal, docente con cui cominciare l'esame.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of the course is to provide an introduction to the modern theory of the analysis on metric spaces, highlighting its geometric aspects and the bases of the differential calculus.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and the understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the arguments in some proofs; the knowledge and the understanding of some classes of fundamental examples to which the theory applies.
- the ability to recognize and analyze the (length, intrinsic or measure) metric spaces which can arise in different fields of pure and applied mathematics; the ability to determine the more relevant geometric and analytical features of a metric space and to develop a first order differential calculus on these spaces; the ability to clearly present the contents of the course, to manipulate some examples and to identify connections between the different topics covered in the course.
Contents
Basic notions and geometric aspects (including curvature) of the length metric spaces.
Elements of analysis and first order differential calculus on measure metric spaces.
Detailed program
Part I. Metric spaces and curvature.
- Metric spaces: definition, examples, topology; Hausdorff measure and dimension.
- Length spaces, intrinsic metrics, geodesics, length and velocity; constructions and examples.
- Spaces of bounded curvature: some equivalent definitions of curvature bounds (from above or from below); angles; local and global curvature bounds.
- Convergence of metric spaces: uniform convergence; definitions and properties of the Gromov-Hausdorff distance.
- An overview of some properties of metric spaces with positive curvature: volume growth, Hausdorff dimension; globalization; examples (cones, convex surfaces, ...); some compactness results.
Part II. Analysis and differential calculus on metric spaces of measure
- Measure metric spaces; doubling measures; covering lemmas: Vitali's and Lebesgue's theorem.
- Hardy-Littlewood maximal function: boundedness results.
- A review of Sobolev spaces in R^n; Sobolev embeddings; Poincaré inequalities.
- Sobolev spaces on metric spaces: definition based on the maximal function; Lipschitz functions: extension and density theorems.
- Upper gradient, modulus of a curve family, capacity; Newtonian Sobolev spaces on metric spaces: definitions and properties.
- An introduction to differential equations on metric spaces: Poincaré inequalities on metric spaces; harmonic functions and the Dirichlet problem.
Prerequisites
Calculus in several variables; elements of measure theory and of the theory of Lp spaces.
A basic knowledge of the Sobolev spaces in R^n is not required, however can help to familiarize with some of the topics in the second part of the course.
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE constitues the larger part of the cours and involves detailed presentation and explanation of theoretical content and more significant examples. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations and group discussions. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.
Lessons (56 hours, 8 CFU) are conducted in person and are delivered in Italian or, when necessary, in English.
Some exercise will be assigned during the lectures. Their solutions can be discussed at the request of the students, either in class or during office hours.
Textbook and teaching resource
The main textbook are the following.
For the 1st part of the course:
- D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 (for the 1st part of the course)
For the 2nd part of the course:
- J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2001 (for the 2nd part of the course) Supplementary textbooks and resources may be suggested during the course.
- A. Björn, J. Björn, Nonlinear potential theory on metric spaces. EMS Tracts in Mathematics, 17. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011. xii+403 pp.
These textbooks are complemented by some teacher's lecture notes which present the concepts, results and proofs, as well as most examples, treated during the lessons.
Semester
II semester.
Assessment method
The assessment method consists in an oral exam. Mark out of thirty. There are no ongoing partial test.
The exam aims at verifying the level of knowledge, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. During the oral exam, the topics covered by the lectures will be discussed. Some additional easy exercises or examples, not covered in class, can be also discussed.
The course is divided into two main parts (see the "detailed program" for more details).
For the exam it is possible to focus more on one of the two parts, which should be known in detail. Concerning the other part, the student should know the main concepts, objects and results, but not necessarily the rigorous statements and proofs.
It is also possible to choose a short additional topic to start the oral exam with. The topic will be previously agreed with, and possibly (but not necessarily) proposed by, the teacher.
Office hours
By appointment.
Staff
-
Giona Veronelli