Course Syllabus
Obiettivi
Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente apprenderà alcune tecniche moderne per l'analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali, prevalentemente di tipo ellittico.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Mediante l’illustrazione di vari esempi e con lo svolgimento di esercizi, lo studente svilupperà la capacità di applicare i risultati teorici esposti nelle lezioni a specifici problemi di risoluzione di equazioni alle derivate parziali.
Autonomia di giudizio. Lo studente saprà affrontare in modo critico problemi variazionali, di minimizzazione e topologici, individuando autonomamente i metodi più appropriati tra quelli appresi.
Abilità comunicative. L’acquisizione del linguaggio e del formalismo collegato alle tematiche affrontate renderà lo studente in grado di comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite.
Capacità di apprendimento. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite a contesti differenti da quelli presentati durante le lezioni e di approfondire gli argomenti trattati affrontando autonomamente la lettura di testi scientifici.
Contenuti sintetici
- Ripasso di alcune tematiche di analisi reale e funzionale
- Teoremi di punto fisso ed applicazioni.
- Metodi approssimati di Galerkin.
- Problemi di minimo: risultati generali, teoremi astratti, e ruolo della compattezza.
- Metodi variazionali per la ricerca di punti critici di tipo sella.
Programma esteso
- Ripasso di alcune tematiche di analisi reale e funzionale
- Teoremi di punto fisso ed applicazioni.
- Metodi approssimati di Galerkin.
- Problemi di minimo: risultati generali, teoremi astratti, e ruolo della compattezza.
- Metodi variazionali per la ricerca di punti critici di tipo sella.
Prerequisiti
Basi di analisi matematica e di analisi funzionale.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu)
Materiale didattico
Il testo di riferimento sarà
- H. Le Dret. Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations. Springer-Verlag.
Altri testi di consultazione:
- A. Ambrosetti, G. Prodi. A primer of nonlinear analysis. Cambridge University Press.
- M. Badiale, E. Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners. Springer-Verlag.
- L. C. Evans. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
- O. Kavian. Introduction à la théorie des points critiques. Springer, 1993.
- M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. Springer-Verlag.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Saggio breve in forma scritta. Voto in trentesimi. All'esame viene richiesto di svolgere due temi su tre proposti con due ore di tempo a disposizione. L'esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema richiesto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The objectives of the course are the following.
Knowledge and understanding. The student will learn some modern techniques for the analysis of PDEs, mainly of elliptic type.
Applying knowledge and understanding. By means of several examples and exercises, the student will develop the ability of applying the theorical results presented in the lectures to specific problems about PDEs.
Making judgements. The student will be able to face critically variational, minimization, and topological problems, identifying by himself/herself the most appropriate tools among those introduced in the course.
Communication skills. The student will become familiar with the appropriate language and formalism, which will make him/her able to communicate with rigor and clarity the acquired knowledge.
Learning skills. The student will be able to apply the acquired knowledge to different contexts and to examine in depth some related topics by autonomous reading of scientific literature.
Contents
- Review of some tools from real and functional analysis
- Fixed point theorems and applications.
- Approximation methods à la Galerkin.
- Minimization of functionals: general results, abstract theorems and compactness.
- Variational methods for finding saddle-like critical points.
Detailed program
- Review of some tools from real and functional analysis
- Fixed point theorems and applications.
- Approximation methods à la Galerkin.
- Minimization of functionals: general results, abstract theorems and compactness.
- Variational methods for finding saddle-like critical points.
Prerequisites
Fundamentals of Mathematical Analysis and Functional Analysis.
Teaching form
56 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
Textbook and teaching resource
Reference textbook:
- H. Le Dret. Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations. Springer-Verlag.
Other usefule books:
- A. Ambrosetti, G. Prodi. A primer of nonlinear analysis. Cambridge University Press.
- M. Badiale, E. Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners. Springer-Verlag.
- L. C. Evans. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
- O. Kavian. Introduction à la théorie des points critiques. Springer, 1993.
- M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. Springer-Verlag.
Semester
Second semester.
Assessment method
Written examination. Mark out of thirty. The student is asked to develop two topics out of three proposed at the examination in two hours. The written discussion must be precise, detailed, comprehensive and consistent with the proposed topic. Moreover it must contain some of the most significant proofs. The ability to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course is evaluated, also by the illustration of examples and counterexamples.
Office hours
By appointment.
Staff
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Simone Secchi