Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali della teoria dei processi stocastici a tempo discreto. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Una particolare enfasi verrà posta sulle martingale.
Contenuti sintetici
Complementi di probabilità, Legge e speranza condizionale. Martingale a tempo discreto. Mercati finanziari e Martingale. Esempi e applicazioni.
Programma esteso
- Complementi di Probabilità: Funzione caratteristica, unicità e connessione con la convergenza debole. Vettori gaussiani. Criteri di compattezza rispetto alla convergenza in legge.
- Legge e speranza condizionale. Definizioni e proprietà. Esistenza della speranza condizionale di una variabile aleatoria rispetto a una sigma algebra. Proprietà fondamentali: proprietà della torre, disuguaglianza di Jensen, lemma del congelamento (freezing). Teoremi di passaggio al limite.
- Martingale a tempo discreto. Definizione ed esempi (somme di v.a. indipendenti centrate, prodotto di v.a. indipendenti e di media 1, martingale chiuse). Integrale di un processo prevedibile. Martingale arrestate. Teorema di arresto opzionale. Applicazioni: tempo di primo passaggio di una passeggiata aleatoria su Z; problema della rovina del giocatore. Lemma sugli attraversamenti (upcrossing). Convergenza quasi certa delle martingale limitate in L^1. Martingale limitate in L^2. Uniforme integrabilità e convergenza in L^1. Dimostrazione della legge forte dei grandi numeri. Disuguaglianza massimale. Disuguaglianza di Doob, convergenza in L^p. Esempi: processi di ramificazione di Galton-Watson. Applicazioni alla convergenza di somme di variabili alaeatorie
- Mercati finanziari a tempo discreto. Arbitraggio e misura martingala equivalente
Prerequisiti
Sono necessarie le nozioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali e quelle del calcolo delle probabilità con teoria della misura. È utile conoscere definizioni e prime proprietà degli spazi L^p e degli spazi di Hilbert.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). Nella DE si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati ed esempi rilevanti, il cui scopo è di fornire competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella risoluzione di esercizi e nell'analisi di problemi (anche legati ad applicazioni extra-matematiche). La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Materiale didattico
- Jean Jacod & Philip Protter: Probability essentials
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991).
- Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
- Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
- Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste durante la prova orale (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale. Voto in trentesimi. Non vengono effettuate prove in itinere
Nella prova scritta, che contiene ESERCIZI, PROBLEMI e DOMANDE DI TEORIA a risposta aperta, viene valutata la abilità operativa di risolvere esercizi utilizzando le conoscenze fornite nel corso. La prova scritta viene valutata con un voto in trentesimi. È necessario ottenere una valutazione di almeno 16/30 nella prova scritta per accedere alla prova orale, che consta in un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO E SUGLI ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE. Nell'orale viene valutata se lo studente ha acquisito le competenze necessarie a presentare una selezione delle dimostrazioni svolte in aula, e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati del corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi. La valutazione finale risulterà dalla combinazione ragionata tra la valutazione della prova scritta e quella della prova orale. L'esame è superato se il voto è almeno 18/30.
Ci saranno 6 appelli d'esame (due a gennaio-febbraio, uno ad Aprile, due a giugno-luglio e uno a settembre).
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of the theory of stochastic processes in discrete time. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them. Particular emphasis will be put on the theory of martingales.
Contents
Complements of probability, Conditional law and conditional expectation. Martingales in discrete time. Financial markets and Martingales. Examples and applications.
Detailed program
- Advanced probability: Characteristic function, uniquenessand relations with convergence in law. Gaussian vectors. Compactness creteria for the convergence in law.
- Conditional law and expectation. Definitions and properties. Existence of conditional expectation of a random variable with respect to a sigma algebra. Fundamental properties: tower property, Jensen inequality, freezing. Limit theorems.
- Discrete-time Martingales. Definition and examples (sums of independent centered r.v.s, products of independent r.v.s with expectation 1, closed martingales). Integral of a predictable process. Stopped Martingales. Optional stopping theorem. Applications: first hitting time of a random walk on Z; the gambler's ruin problem. Upcrossing Lemma. Almost sure convergence of martingales bounded in L^1 norm. Martingales bounded in L^2 norm. Uniform integrability and convergence in L^1. Proof of the strong law of large numbers. Maximal inequality. Doob's inequality, convergence in L^p. Examples: Galton-Watson branching processes. Applicastion to the convergence of sums of random variables
- Financial markets with discrete time. Arbitrage and equivalent martingale measure.
Prerequisites
Knowledge of differential and integral calculus for functions of one and more real variables, as well as measure-theoretical probability theory is needed. It is also useful to know definitions and basic properties of L^p spaces and Hilbert spaces.
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, combining lecture-based (DE) and interactive teaching (DI) methods. The DE includes theoretical lessons in which the knowledge about definitions, results and relevant examples is given, in order to give the skills and abilities needed to use the previous notions to solve exercises and to deal with problems (also related to extra-mathematical applications). The DI involves active student participation through answering questions and problems posed by the instructor, short presentations, and group discussions, usually conducted in the second part of the lesson. The exact number of hours dedicated to DE and DI cannot be predetermined, as the methods intertwine dynamically to adapt to the course needs, fostering participatory and integrated learning by combining theory and practice
Textbook and teaching resource
- Jean Jacod & Philip Protter: Probability essentials
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991).
- Lecture notes (available on the e-learning platform)
- Written tests from previous years, with detailed solutions (available on the e-learning platform).
- List of proofs that may be requested during the oral examination (available on the e-learning platform).
Semester
First (fall) semester.
Assessment method
Written and oral exam. Mark out of thirty. There are no ongoing tests.
The written test, containing PROBLEMS, EXERCISES, and THEORETICAL QUESTIONS with open answers evaluates the operational ability to solve exercises, it receives a mark out of thirty. It is necessary to obtain an evaluation of at least 16/30 in the written test to access the oral exam, that consists in a DISCUSSION OF THE WRITTEN TEST AND OF THE TOPICS TREATED DURING LECTURES. It evaluates the capacity to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course, also by means of examples and counterexamples. The oral exam will therefore deal with the topics treated during lectures. The final evaluation will result from the combination between the evaluation of the written test and that of the oral examination. The exam is passed if the evaluation is at least 18/30.
There will be 6 exam sessions (two in January-February, one in April, two in June-July and one in September).
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Federica Masiero
