Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo del corso è di affrontare alcuni argomenti classici nella topologia algebrica e computazionale dei complessi simpliciali, introducendo teorie di omologia, coomologia con alcune applicazioni recenti.
Contenuti sintetici
Complessi simpliciali, omologia e coomologia dei poliedri, varietà triangolabili, applicazioni all’analisi di dati e ai sistemi dinamici.
Programma esteso
Richiami su spazi topologici, connessione e compattezza. Spazi topologici euclidei, e spazi di funzioni. Cenni sulle categorie e i diagrammi di push-out. Complessi simpliciali. Complessi di catene. Assiomi per l' omologia. Introduzione all'algebra omologica. Categoria dei poliedri. Omologia dei poliedri. Varietà triangolabili.
Prodotti di poliedri. Coomologia di poliedri. L'anello in coomologia, il prodotto cap. Superfici e classificazione. Dualità di Poincaré. Gruppo fondamentale di poliedri. Gruppo fondamentale e omologia. Applicazioni: omologia computazionale, omologia persistente, analisi di dati e sistemi dinamici.
Prerequisiti
Corsi di base di geometria e algebra della Laurea Triennale.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni (56 ore) sono in presenza e si svolgono in italiano e, ove necessario, in inglese.
Materiale didattico
Ferrario, Piccinini, "Simplicial structures in topology". CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4
Munkres, J.R., "Elements of algebraic topology", Addison-Wesely Pub. 1984
Rotman J.J. "Advanced Modern Algebra", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010.
Rotman J.J. "Algebraic Topology. An Introduction" Graduate Texts in
Mathematics, Springer-Verlag, 1998.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale, sul contenuto del corso, approfondimenti, rielaborazione ed esposizione personale.
Una parte integrante dell'esame sarà costituita dall'esposizione di un argomento teorico, che ogni studente dovrà concordare anticipatamente con il docente.
In occasione di ogni appello d'esame, il calendario dettagliato degli esami individuali, comprensivi delle esposizioni teoriche, verrà anch'esso concordato anticipatamente col docente.
Durante l'orale è possibile che venga chiesta la risoluzione di esercizi semplici, e rilevanti con il programma svolto, assieme alla discussione degli aspetti teorici. Il voto è complessivo, senza che ci siano voti disgiunti per la capacità di risolvere esercizi o di affrontare argomenti teorici.
Sintetizzando: la data e il contenuto dell'esposizione parte dell'esame vanno concordati prima con il docente.
Il voto è in trentesimi, ed esprime una valutazione complessiva di tutto cioè che concorre al raggiungimento degli obiettivi formativi sopra descritti. Cioè, è frutto di una valutazione complessiva delle varie caratteristiche della prova. Per esempio: chiarezza, rigore, autonomia di giudizio, capacità di scegliere esempi e di illustrare l'argomento in modo efficace.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to take some classical topics in algebraic and computational topology of simplicial complexes, introducing homology theory, cohomology theory, with some recent applications.
Contents
Simplicial complexes, homology and cohomology of polyhedra, triangulable manifolds, applications to data analysis and dynamical systems.
Detailed program
Fundamental concepts: topological spaces, connectedness, compactness, function spaces, general ideas on Categories, push-out diagrams. Simplicial complexes. Chain complexes. Homology. Axioms for homology. Introduction to homological algebra. Category of polyhedra. Homology of polyhedra. Triangulable manifolds.
Cohomology ring, cap product. Triangulable manifolds. Surfaces and classification. Poincaré Duality. Fundamental group of polyhedra. Fundamental group and homology. Applications to: computational homology, persistent homology, data analysis and dynamical systems.
Prerequisites
Basic topics covered in bachelor courses of geometry and algebra
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.
Lectures (56 hours) are conducted in person and are primarily in Italian, and when necessary, in English.
Textbook and teaching resource
Ferrario, Piccinini, "Simplicial structures in topology". CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4
Munkres, J.R., "Elements of algebraic topology", Addison-Wesely Pub. 1984
Rotman J.J. "Advanced Modern Algebra", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010.
Rotman J.J. "Algebraic Topology. An Introduction" Graduate Texts in
Mathematics, Springer-Verlag, 1998.
Semester
2S
Assessment method
Oral examination on the topics covered in the course, with in-depth analyis and re-elaboration of them with a personal perspective. The date and the content of the seminar, which is part of the exam, have to be first discussed with the teacher.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Davide Luigi Ferrario
-
Michele Rossi
