Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento ha lo scopo di introdurre la teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti topologici e la teoria delle varietà differenziali.
I risultati di apprendimento attesi includono:
(1) Conoscenza e comprensione: lo studente dovrà acquisire la conoscenza delle definizioni e dei risultati basilari nell'ambito della teoria del gruppo fondamentale e delle varietà differenziali, così come di importanti esempi illustrativi della teoria discussa durante il corso. Dovrà comprendere le principali tecniche dimostrative presentate.
(2) Capacità di applicare conoscenze: lo studente acquisisce la capacità di applicare le conoscenze assimilate nella risoluzione di problemi e nello studio di esempi concreti.
(3) Autonomia di giudizio: lo studente dovrà essere capace di riconoscere dimostrazioni fallaci e nessi logici errati, nonchè di elaborare collegamenti con altre discipline in cui compaiono gli argomenti del corso.
(4) Abilità comunicative: lo studente dovrà essere in grado di esprimere concetti matematici relativi alla geometria differenziale e alla topologia algebrica con la massima chiarezza e con elevato rigore espositivo. Lo studente dovrà maneggiare con disinvoltura anche il linguaggio e le nozioni precedentemente assimilate in altri corsi valutati come prerequisiti.
(5) Capacità di apprendimento: lo studente dovrà assimilare le basilari tecniche di apprendimento per poter poi sviluppare le conoscenze acquisite nel proprio percorso futuro.
Contenuti sintetici
Gruppo fondamentale, rivestimenti di uno spazio topologico e loro proprietà. Varietà differenziali astratte: carte, atlanti, spazio tangente, fibrato tangente, calcolo differenziale sulle varietà. Immersioni, sommersioni, sottovarietà. Campi di vettori, flussi, parentesi di Lie. Forme differenziali, teorema di Stokes, coomologia di de Rham.
Programma esteso
Il corso si suddivide in 3 moduli distinti da 16 ore ciascuno.
I: Gruppo fondamentale, rivestimenti e proprietà.
Definizione di gruppoide fondamentale e gruppo fondamentale puntato. Funzione indotta sui gruppi fondamentali da una funzione continua. Dipendenza dal punto base. Invarianza per equivalence omotopica del gruppo fondamentale. Spazi contraibili e 1-connessi. Definizione di rivestimento topologico. Esempi e proprietà. Teorema di sollevamento per funzioni continue puntate. Sollevamento di cammini e omotopie. Gruppo fondamentale del cerchio. Equivalenze di rivestimenti. Corrispondenza fra sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti. Rivestimento universale. Teorema di Seifert Van-Kampen e presentazione di gruppi. Azioni propriamente discontinue.
II: Varietà differenziali e campi vettoriali
Definzione di varietà topologica e atlante differenziale. Definizione di funzioni lisce. Spazio tangente associato a una varietà differenziale. Derivazioni puntuali e velocità di curve. Il differenziale di una mappa liscia. Definizione di valore critico e valore regolare per funzioni lisce. Immersioni ed embedding. Sottovarietà di una varietà liscia. Teorema del valore regolare e del rango costante. Definizione di gruppo di Lie e sottogruppi di Lie. Esempi notevoli. Fibrato tangente a una varietà liscia. Campi vettoriali e derivazioni globali. Il commutatore fra campi vettoriali. Curve integrali e problemi di Cauchy. Completezza di campi vettoriali. Flusso di un campo vettoriale. Campi vettoriali invarianti su un gruppo di Lie. L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie.
III: Forme differenziali su varietà lisce.
Fibrato cotangente a una varietà e sue potenze esterne. Forme differenziali su una varietà liscia. Coomologia di De Rham: forme chiuse e forme esatte. Orientazione per varietà lisce. Varietà orientate e integrazione di forme a supporto compatto. Partizione dell'unità e integrazione. Il teorema di Stokes. Coomologia in grado massimo per varietà orientate compatte. Grado di una mappa liscia fra varietà orientate compatte. Formula del grado. Invarianza per omotopia della coomologia di De Rham e lemma di Poincarè. Successioni esatte di spazi vettoriali. Succesione esatta di Mayer Vietoris. Cenni su dualità di Poincaré. Calcoli espliciti su teorema di Stokes e coomologia di De Rham.
Prerequisiti
Il contenuto degli insegnamenti di Geometria I e II, di Analisi Matematica I e II, di Algebra Lineare e Geometria, di Algebra I.
Modalità didattica
Lezione frontale (Didattica Erogativa 6 CFU, 48 ore) alla lavagna, in presenza, in italiano.
Materiale didattico
Testi di riferimento
Per il modulo relativo a gruppo fondamentale e rivestimenti:
- G. Bredon - Topology and Geometry (Capitolo 3)
- J. Munkres - Topology (Capitolo 9-11-13)
- A. Hatcher - Introduction to algebraic topology (Capitolo 3)
Per i moduli relativi alla nozione di varietà differenziabili e di coomologia di De Rham la bibliografia suggerita è la seguente:
- L. Tu - An introduction to Manifolds.
- J. Lee - Introduction to Smooth Manifolds.
- R. Bott, L.Tu - Differential forms in algebraic topology. (Capitolo 1).
A queste referenze si aggiungono le note del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
-
La verifica del profitto si basa su due prove, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite.
Prova scritta - conta di 4 esercizi che copriranno 3 possibili tipologie, precisamente esercizi di calcolo, definizioni ed esempi, piccole dimostrazioni. Il punteggio massimo ottenibile è 28 punti. Per poter accedere alla prova orale è necessario totalizzare un punteggio minimo di 14 punti.
Prova orale - Si deve rispondere a due domande su argomenti trattati durante il corso o sugli esercizi della prova scritta, insistendo sui punti poco chiari.
Il voto finale corrisponderà alla somma del punteggio totalizzato nelle due prove, entrambe obbligatorie.
Non sono previste prove in itinere.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
This course aims to yield an introduction to the fundamental group and differentiable manifolds.
Expected learning outcomes include:
(1) knowledge and comprehension: knowledge of definitions and basic results on the fundamental group and differentiable manifolds, and the knowledge of relevant examples. Comprehension of the main proof techniques.
(2) applying knowledge: ability to solve problems and discuss the geometric properties of concrete examples.
(3) autonomy: ability to find mistakes in proofs, ability to connect the content of the course with others subjects.
(4) communication: ability to express clearly and rigorously notions and definitions.
(5) learning skills: understading the correct approach to study the subject in order to apply the knowledge of the course to future problems.
Contents
Fundamental group and covering spaces of a topological space. Differentiable manifolds: topological manifolds, differentiable structures, tangent space, tangent bundle, calculus on manifolds. Immersions, submersions, submanifolds. Vector fields, flows, Lie bracket. Differential forms, Stokes' theorem, De Rham cohomology.
Detailed program
The course is divided into 3 modules of 16 hours.
I: Fundamental group and coverings
Definition of the fundamental groupoid and of the (based) fundamental group. Induced homomorphism by a continuous function. Basepoint dependence. Homotopically equivalent spaces and invariance of the fundamental group. Contractible spaces. 1-connected spaces. Coverings. Lifting theorem for continuous functions. Lifting of paths and homotopies. Fundamental group of the circle. Equivalence of coverings. Correspondence between coverings and subgroups of the fundamental group. Universal cover. Seifert Van-Kampen Theorem and presentation of groups. Properly discontinuous actions.
II: Smooth manifolds and vector fields
Definition of topological manifold and smooth manifold. Smooth functions. Tangent space to a smooth manifold. Derivation at a point and curves. The differential of a smooth map. Regular and critical values of a smooth map. Immersions and embeddings. Submanifolds of a smooth manifold. Regular value theorem and constant rank theorem. Lie groups and subgroups. Tangent bundle to a smooth manifold. Vector fields and derivations. Lie bracket. Completeness of a vector field. Integral curve and Cauchy type theorem. Flow of a vector field. Invariant vector fields on a Lie group. The Lie algebra of a Lie group.
III: Differential forms
Cotangent bundle and exterior powers. Differential forms. De Rham cohomology: closed and exact forms. Orientation on a smooth manifold. Integration of compactly supported differential forms. Partition of unity. Stokes' theorem. De Rham cohomology in top degree. The degree of a smooth map. The degree formula. Invariance of De Rham cohomology and Poincaré lemma. Exact sequences of vector spaces. The exact sequence of Mayer Vietoris. Poincaré duality.
Prerequisites
The content of the courses of Geometry I and II, Mathematical Analysis I and II, Linear Algebra and Geometry, Algebra I.
Teaching form
Blackboard lectures (6 ECTS, 48 hours), in class. In italian.
Textbook and teaching resource
Textbooks
For the first module:
- G. Bredon - Topology and Geometry (Capitolo 3)
- J. Munkres - Topology (Capitolo 9-11-13)
- A. Hatcher - Introduction to algebraic topology (Capitolo 3)
For the second and the third modules:
- L. Tu - An introduction to Manifolds.
- J. Lee - Introduction to Smooth Manifolds.
- R. Bott, L.Tu - Differential forms in algebraic topology. (Capitolo 1).
There are also the notes of the course.
Semester
First semester.
Assessment method
Written examination: 4 exercises with a maximum of 28 points. You need 14 points to do the oral examination.
Oral examination: 2 questions about the main topics of the course.
**Both examinations are compulsory. **
There are no mid-term exams.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Alessio Savini
