Course Syllabus
Obiettivi formativi
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà conoscenze fondamentali dell'Algebra, con particolare riferimento a:
- estensioni di campi, in particolare campi finiti.
- fondamenti di teoria degli anelli;
- la teoria dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali (PID).
Queste conoscenze ampliano e consolidano quelle già acquisite nel corso di Algebra I e forniscono una solida base teorica e concettuale, anche in vista di studi matematici più avanzati.
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Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze teoriche a problemi specifici, sviluppando competenze tecniche e operative, come:
- la determinazione di polinomi minimi di numeri algebrici;
- il riconoscimento e l'analisi di omomorfismi fra strutture algebriche quali gruppi e anelli;
- l'applicazione della teoria dei moduli a problemi concreti quali le forme normali delle matrici.
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Autonomia di giudizio
L’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analisi critica e autonoma di concetti astratti, favorendo:
- il riconoscimento della struttura logica di un problema matematico;
- la scelta appropriata degli strumenti algebrici per affrontarlo;
- l’interpretazione rigorosa dei risultati ottenuti.
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Abilità comunicative
Lo studente sarà incentivato a esprimere con chiarezza argomentazioni matematiche complesse, utilizzando:
- il linguaggio formale dell’Algebra;
- una esposizione logica e coerente;
- la capacità di spiegare concetti anche a interlocutori non specialisti, se richiesto.
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Capacità di apprendere
Il corso rafforzerà l’attitudine all’apprendimento autonomo e continuo, fornendo:
- strumenti teorici e metodologici per lo studio di testi avanzati;
- competenze per affrontare successivi corsi specialistici di algebra e di altre discipline matematiche;
- l’abitudine alla formalizzazione e alla generalizzazione, essenziali per il lavoro matematico.
Contenuti sintetici
Fondamenti di teoria dei campi, degli anelli e dei moduli
Programma esteso
CAMPI
Estensioni di campi: estensioni algebriche e trascendenti, grado di un'estensione, formula dei gradi.
Campo di spezzamento di un polinomio.
Campi finiti: costruzione, sottocampi, automorfismi, ciclicita` del loro gruppo moltiplicativo.
Polinomi ciclotomici.
ANELLI
Complementi di teoria degli anelli.
Il teorema cinese dei resti (per i polinomi, per anelli commutativi).
La decomposizione in fratti semplici delle funzioni razionali.
Domini a fattorizzazione unica e il Lemma di Gauss.
Localizzazioni di un dominio. Anelli locali.
L'anello delle serie formali a coefficienti in un campo, con qualche applicazione.
MODULI
Moduli su un anello e algebra lineare. Moduli liberi: basi, rango, proprietà universale. Torsione.
Moduli su domini a ideali principali: moduli finitamente generati; equivalenza di matrici e riduzione a forma normale.
Teorema di struttura per i moduli finitamente generati.
Moduli di torsione e decomposizione primaria.
Fattori invarianti e divisori elementari.
Applicazione ai gruppi abeliani: teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati.
Applicazione alle forme canoniche per le matrici: companion matrix, forma canonica razionale, forma canonica di Jordan.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi Algebra Lineare e Geometria, e Algebra I.
Metodi didattici
Normalmente questo insegnamento viene impartito in modalità interamente erogativa in presenza (DE), mediante lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, che vengono anche videoregistrate e rese disponibili agli studenti sulla piattaforma elearning. La ripartizione per CFU è: lezioni frontali alla lavagna (6 CFU); esercitazioni frontali alla lavagna (2 CFU).
L'insegnamento viene erogato in lingua italiana.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova scritta seguita da prova orale.
La prova scritta comprende domande aperte sulla teoria, ed esercizi da risolvere.
La prova orale e` un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, puo' comprendere lo svolgimento di esercizi, e fare riferimento alla prova scritta.
Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e controesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.
Testi di riferimento
Sono disponibili delle Note del corso in PDF, che presentano il materiale del corso. La principale sorgente per tale materiale e` il classico testo
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman Co, 1985,
che puo` essere utilizzato per approfondimenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
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Knowledge and understanding
The student will acquire fundamental knowledge of Algebra, with a particular focus on:
- field extensions, with special focus on finite fields;
- fundamentals of ring theory;
- the theory of modules over a principal ideal domain (PID).
These topics broaden and consolidate the foundations laid in the Algebra I course, and provide a solid theoretical and conceptual base for more advanced mathematical studies.
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Applying knowledge and understanding
The student will be able to apply theoretical knowledge to concrete problems, developing technical and operational skills such as:
- determining minimal polynomials of algebraic numbers;
- recognizing and analyzing morphisms between algebraic structures such as groups and rings;
- applying the theory of modules to concrete problems such as the normal forms of matrices.
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Making judgements
The course aims to foster independent and critical thinking, especially in the context of abstract concepts, through:
- identifying the logical structure of mathematical problems;
- choosing appropriate algebraic tools to solve them;
- interpreting and validating results with rigor.
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Communication skills
Students will be encouraged to clearly articulate complex mathematical arguments using:
- formal mathematical language;
- logical and coherent exposition;
- the ability to explain concepts to both specialist and, when needed, non-specialist audiences.
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Learning skills
The course will strengthen the student's ability to learn independently and continuously by providing:
- theoretical and methodological tools for reading advanced texts;
- skills necessary to approach more specialized courses in analysis and other areas of mathematics;
- familiarity with formalization and abstraction, essential for mathematical reasoning and research.
Contents
Fields, rings and modules
Detailed program
FIELDS
Field extensions: algebraic and transcendental extensions, degree of an extension, the degree formula.
Splitting field of a polynomial.
Finite fields: construction, subfields, automorphisms, ciclicity of their multiplicative group.
RINGS
Complements of ring theory.
The Chinese remainder theorem (for polynomials, for commutative rings).
Partial fraction decomposition of rational functions.
Unique factorization domains and Gauss's lemma.
Localizations of a domain. Local rings.
The ring of formal series with coefficients in a field, with some applications.
MODULES
Modules over a ring and linear algebra. Free modules: bases, rank, universal property. Torsion.
Modules over principal ideal domains: finitely generated modules; equivalence of matrices and reduction to normal form.
Structure theorem for finitely generated modules.
Torsion modules and primary decomposition.
Invariant factors and elementary divisors.
Application to abelian groups: structure theorem for finitely generated abelian groups.
Application to canonical forms for matrices: companion matrix, rational canonical form, Jordan canonical form.
Prerequisites
The contents of the courses Linear Algebra and Geometry, and Algebra I.
Teaching methods
This course will be normally be taught entirely by live lectures at the blackboard (DE), which will also video-recorded and made available to the students through the elearning platform.
The precise subdivision is as follows: live lessons at the blackboard (6 CFU); live exercise sessions at the blackboard (2 CFU).
The course is taught in Italian.
Assessment methods
Written exam, followed by oral exam.
The written exam will comprise open questions (not multiple-choice questions) on the theory, and exercises.
The oral examination will be on the theory presented in the lectures, but may include exercises, and possible reference to the text of the written exam.
In both cases the questions will concern definitions, examples, counterexamples, exposition and application of theorems as well as their proofs.
Textbooks and Reading Materials
A PDF of typewritten Notes for the course is made available. The main source for the material is the classical textbook
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman Co, 1985,
which can be used for further learning.
Semester
First semester
Teaching language
Italian
