Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo di questo insegnamento è di presentare sia dal punto di vista teorico sia algoritmico gli argomenti di base del Calcolo Numerico che devono far parte del bagaglio culturale di qualunque laureato in matematica.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
Conoscenze
- Conoscenza e comprensione dei metodi fondamentali del Calcolo Numerico che comprendono sia enunciati sia teoremi e relative dimostrazioni.
- Conoscenza e comprensione delle problematiche che intervengono nell'ambito numerico.
Capacità
- Capacità di tradurre la teoria studiata in esempi concreti tramite la costruzione di algoritmi e relativa implementazione.
- Capacità di scegliere il metodo numerico più adeguato in relazione al problema.
- Capacità di analizzare in modo critico i risultati degli esempi ed esercizi proposti.
- Capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso sia le loro applicazioni a situazioni specifiche.
Indicatori di Dublino
Conoscenza e comprensione
Lo studente dimostra di conoscere i principi fondamentali del calcolo numerico, inclusi metodi per la risoluzione numerica di equazioni, interpolazione, integrazione numerica e approssimazione di funzioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente è in grado di scegliere e applicare metodi numerici appropriati per risolvere problemi matematici di base, analizzare i risultati e valutare l’accuratezza e l’efficacia dei metodi utilizzati.
Capacità di giudizio
Lo studente è capace di valutare criticamente la validità delle soluzioni numeriche ottenute, comprendendo i limiti dei metodi numerici e la sensibilità degli algoritmi rispetto ai dati di input.
Abilità comunicative
Lo studente è in grado di presentare in modo chiaro e strutturato i risultati ottenuti, utilizzando un linguaggio tecnico appropriato, e di documentare correttamente le procedure numeriche adottate.
Capacità di apprendimento autonomo
Lo studente sviluppa le competenze per approfondire autonomamente ulteriori metodi numerici, utilizzando risorse bibliografiche e strumenti software, al fine di migliorare e ampliare le proprie conoscenze nel campo del calcolo numerico.
Contenuti sintetici
Gli argomenti trattati sono:
- Aritmetica Floating Point dei calcolatori
- Metodi Numerici per l'Algebra Lineare: sistemi lineari, calcolo degli autovalori
- Approssimazione di zeri di funzioni reali
- Interpolazione polinomiale
- Metodo dei minimi quadrati e decomposizione QR
- Formule di quadratura per l'approssimazione degli integrali definiti
Programma esteso
- Aritmetica floating point: Rappresentazione dei numeri reali, Numeri rappresentabili in un calcolatore, Approssimazione dei numeri reali su un calcolatore, Operazioni tra numeri floating point, Il rounding to even, Calcolo delle funzioni elementari;
- L'algoritmo di eliminazione di Gauss e la decomposizione PA=LU: Sistemi lineari, Algoritmo di eliminazione di Gauss, La decomposizione PA=LU;
- Richiami di algebra lineare: Prodotti scalari e norme, Norme su Rⁿ, Norme di matrici;
- Stabilità dell'algoritmo di Gauss: Analisi delle perturbazioni di un sistema lineare, Applicazione all'algoritmo di Gauss;
- Decomposizione di Cholesky: Matrici simmetriche e definite positive, Decomposizione di Cholesky, Applicazione alla soluzione di un sistema lineare;
- Metodi iterativi per i sistemi lineari: Motivazioni, Metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari, Criteri di arresto;
- Autovalori: Cerchi di Gershgorin, Dipendenza degli autovalori dalle perturbazioni di A, Metodo delle potenze;
- Zeri di Funzione: Il metodo di bisezione, Il metodo di Newton e sue varianti, Valutazione sperimentale dell'ordine di convergenza, Il metodo di Brent, algoritmo di MATLAB;
- Interpolazione polinomiale: Il teorema di Weierstrass, Interpolazione, Analisi degli algoritmi di interpolazione, Condizionamento dell'interpolazione, Interpolazione di funzioni;
- Funzioni spline
- Minimi quadrati e fattorizzazione QR: Sistemi sovradeterminati, Interpretazione geometrica, Decomposizione QR, Regressione lineare, Uso della decomposizione A=QR per risolvere un sistema lineare;
- Formule di quadratura: Formule di quadratura di tipo interpolatorio, Formula del trapezio, Formula di Simpson, Formule di quadratura di Newton-Cotes, Metodi di quadratura adattivi.
Prerequisiti
Gli insegnamenti di Analisi 1 e di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
44 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (5.5 CFU)
20 ore di lezione svolte in modalità erogativa, da remoto (2.5 CFU)
48 ore di esercitazione svolte in modalità interattiva, in presenza (4 CFU)
Insegnamento erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Note a cura del docente e videoregistrazione delle lezioni disponibili sul sito del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova pratica al calcolatore seguita da prova teorica/orale. Valutazione finale con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova pratica al calcolatore si valuta la conoscenza degli algoritmi sviluppati durante il corso e la capacità di scrivere programmi in MATLAB per la risoluzione di semplici problemi numerici.
Nella prova teorica/orale dapprima viene discussa la prova pratica al calcolatore e poi si valuta la conoscenza e la comprensione delle definizioni, dei teoremi e delle tecniche di calcolo introdotte nel corso e la capacità di esporre quanto richiesto in modo chiaro, con rigore e con linguaggio matematico appropriato anche fornendo esempi e controesempi.
La prova pratica viene valutata con voto in trentesimi 18-30/30 e per accedere alla prova teorica/orale è necessario ottenere la sufficienza. La valutazione finale complessiva tiene conto di entrambe le prove.
La prova pratica e la prova teorica/orale devono essere tenute nella stessa sessione di esami (gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre).
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of this course is to present the basic topics of Numerical Analysis, both from the theoretical and algorithmical point of view, that every Mathematician should know.
The learning outcomes are:
Knowledge:
- Knowledge and understanding of the fundamental techniques of Numerical Analysis, including theorems and proofs;
- Knowledge and understanding of the scientific problems related to numerical analysis.
Skills:
- Being able to translate the theoretical results into algorithms;
- Choose the right numerical method to solve a given problem;
- Critical analysis of the results;
- Being able to present in a clear and precise way the theoretical results shown in the course and their practical applications.
Dublin Descriptors
Knowledge and Understanding
The student demonstrates knowledge of the fundamental principles of numerical analysis, including methods for numerical solution of equations, interpolation, numerical integration, and function approximation.
Applying Knowledge and Understanding
The student is able to select and apply appropriate numerical methods to solve basic mathematical problems, analyze the results, and evaluate the accuracy and effectiveness of the methods used.
Making Judgements
The student is capable of critically evaluating the validity of the obtained numerical solutions, understanding the limitations of numerical methods and the sensitivity of algorithms to input data.
Communication Skills
The student is able to clearly and coherently present the obtained results using appropriate technical language, and to properly document the numerical procedures adopted.
Learning Skills
The student develops the ability to independently deepen knowledge of further numerical methods by using bibliographic resources and software tools, in order to improve and broaden their understanding of numerical analysis.
Contents
The main topics are:
- Floating Point Arithmetic
- Numerical Linear Algebra: linear systems, eigenvalues computation
- Root-finding algorithms
- Polinomial Interpolation
- Least squares method and QR decomposition
- Quadrature Formulas
Detailed program
- Floating Point Arithmetic: Representation of real numbers, Representable numbers, Approximation of real numbers on a computer, Floating point arithmetic, Rounding to even, Computation of elementary functions;
- Gaussian elimination and the decomposition PA=LU: Linear systems, Gaussian elimination, Decomposition PA=LU;
- Topics in linear algebra: Scalar products and norms, Norms in R^n, Matrix norms;
- Stability of the Gaussian elimination: Perturbation of a linear system, Application to the Gaussian elimination;
- Cholesky decomposition: Symmetric and positive definite matrices, Cholesky decomposition, Application to the solution of a linear system;
- Iterative methods for linear systems: Motivations, Iterative methods for systems of linear equations, Stopping criteria;
- Eigenvalues: Gershgorin circles, Perturbation analysis of eigenvalues, Power method;
- Root-finding: Bisection method, Newton methods and variations, Experimental measurement of the order of convergence, Brent method, MATLAB implementation;
- Polynomial interpolation: Weierstrass theorem, Interpolation, Analysis of interpolation algorithms, Conditioning, Interpolation of functions;
- Splines;
- Least squares and QR factorization: Overdetermined linear systems, Geometrical interpretation, QR decomposition, Linear regression, Using QR factorization to solve linear systems;
- Quadrature formulas: Interpolatory quadrature formulas, Trapezoidal rule, Simpson rule, Newton-Cotes formulas, Adaptive quadrature formulas.
Prerequisites
First year courses Analisi 1 and Algebra Lineare e Geometria.
Teaching form
44 hours of in-person, lecture-based teaching (5.5 ECTS)
20 hours of online, lecture-based teaching (2.5 ECTS)
48 hours of in-person, exercises classes teaching (4 ECTS)
The course is taught in italian.
Textbook and teaching resource
Teacher's notes and recordings of the lectures are available on the web site of the course.
Semester
1ˢᵗ semester.
Assessment method
Practice test on the computer followed by oral examination. Final mark out of 30.
In the first part of the examination the student will be assigned a few problems in numerical analysis to be solved on the computer using the MATLAB codes developed during the course.
The second part is a standard oral examination which requires the exposition of statements and proofs of the theorems, definitions, examples/counterexamples and computational techniques. The practice test will also be discussed.
In order to take the oral examination, the students need to pass the practice test with a mark of at least 18 out of 30. The final mark will take into account both tests.
The practice test and the oral examination must be taken in the same session (January-February, June-July, September).
Office hours
On appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Alessandro Russo
-
Cristina Tablino Possio
