Course Syllabus
Obiettivi
Obiettivi del corso – Teoria della Misura
Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso fornisce una solida introduzione ai concetti fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione, come misure, σ-algebre, misura di Lebesgue, funzioni misurabili e integrali. Gli/le studenti acquisiranno una comprensione rigorosa di questi strumenti, essenziali per lo studio avanzato dell'analisi matematica e della probabilità.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Gli/le studenti saranno in grado di applicare i concetti appresi per risolvere problemi concreti relativi alla misura e all'integrazione, dimostrando la capacità di trattare con rigore matematico risultati fondamentali e di effettuare calcoli legati all’integrale di Lebesgue, anche in contesti semplici di probabilità e analisi funzionale.
Autonomia di giudizio
Il corso mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente definizioni e teoremi, valutare la correttezza logica delle dimostrazioni, e scegliere gli strumenti teorici più adatti per affrontare problemi in contesti matematici più generali.
Abilità comunicative
Gli/le studenti saranno in grado di esporre con chiarezza e rigore i contenuti teorici del corso, utilizzando correttamente il linguaggio matematico, sia oralmente che per iscritto, in particolare nella stesura di dimostrazioni e nella discussione di esempi.
Capacità di apprendere
Il corso stimola lo sviluppo di capacità di apprendimento autonome attraverso lo studio individuale e la risoluzione di esercizi, fornendo le basi per affrontare corsi successivi in analisi reale, probabilità, statistica matematica e ambiti applicati.
Contenuti sintetici
σ-algebre e misure. Misura di Lebesgue. Funzioni misurabili e integrazione. Integrale di Lebesgue. Modi di convergenza. Misure prodotto e integrazione multipla.
Programma esteso
Misure.
Algebre, σ-algebre. Misure, misure esterne, Teorema di Carathéodory. Misura di Lebesgue e misure di Borel sulla retta reale.
Integrazione.
Funzioni misurabili. Integrale di funzioni non negative. Teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou. Integrale di funzioni reali, Teorema della convergenza dominata. Modi di convergenza per successioni di funzioni reali misurabili: convergenza in L¹, convergenza quasi-ovunque, convergenza quasi-uniforme, convergenza in misura, Teorema di Egorov. Misure prodotto, Teorema di Fubini-Tonelli. Integrale di Lebesgue n-dimensionale. Cambiamento di variabili.
Prerequisiti
I contenuti degli insegnamenti di Analisi Matematica I e Analisi Matematica II; elementi base di algebra lineare e topologia generale.
Modalità didattica
24 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (3 cfu).
12 ore di esercitazioni in modalità erogativa, in presenza (1 cfu).
Corso erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Testo di riferimento: G. B. Folland, Real Analysis, Wiley.
Altri testi consigliati:
- L. Ambrosio, G. Da Prato, A. Mennucci: Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- T. Tao: An introduction to measure theory, American Mathematical Society.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (esposizione di enunciati, dimostrazioni, definizioni, esempi/controesempi discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
Course Objectives – Measure Theory
Knowledge and understanding
The course provides a solid introduction to the fundamental concepts of measure and integration theory, such as measures, σ-algebras, Lebesgue measure, measurable functions, and integrals. Students will gain a rigorous understanding of these tools, which are essential for advanced studies in mathematical analysis and probability theory.
Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the acquired concepts to solve concrete problems in measure and integration, demonstrating mathematical rigor in handling fundamental results and computations involving the Lebesgue integral, also in elementary contexts of probability and functional analysis.
Making judgements
The course aims to develop students' ability to critically analyze definitions and theorems, assess the logical correctness of proofs, and select appropriate theoretical tools to address problems in broader mathematical contexts.
Communication skills
Students will be able to clearly and rigorously present the theoretical content of the course, using correct mathematical language, both orally and in writing, particularly in the exposition of proofs and discussion of examples.
Learning skills
The course fosters the development of autonomous learning abilities through individual study and problem solving, laying the groundwork for future courses in real analysis, probability, mathematical statistics, and applied mathematics.
Contents
σ-algebras and measures. Lebesgue measure. Measurable functions and integration. Lebesgue integral. Modes of convergence. Product measures and multiple integration.
Detailed program
Measure Theory.
Algebras, σ-algebras. Measures, outer measures, Carathéodory's Theorem. Lebesgue measure and Borel measures on the real line.
Integration.
Measurable functions. Integration of nonnegative functions. Monotone Convergence Theorem, Fatou's Lemma. Integration of real-valued functions, Dominated Convergence Theorem. Modes of convergence for sequences of measurable real functions: convergence in L¹, almost everywhere convergence, almost uniform convergence, convergence in measure, Egorov's Theorem. Product measures, Fubini-Tonelli Theorem. n-dimensional Lebesgue integral. Change of variables.
Prerequisites
The contents of Calculus I and II, along with basic knowledge of linear algebra and general topology.
Teaching form
24 hours of lectures delivered in a traditional, in-person format (3 ECTS credits).
12 hours of in-person exercise sessions (1 ECTS credit).
Course taught in Italian.
Textbook and teaching resource
Textbook: G. B. Folland, Real Analysis, Wiley.
Suggested readings:
- L. Ambrosio, G. Da Prato, A. Mennucci: Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- T. Tao: An introduction to measure theory, American Mathematical Society.
Semester
Spring semester.
Assessment method
The exam consists of a written test, aimed at verifying the level of knowledge, the ability to apply it to the resolution of exercises, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. The test is divided into two parts: the first part contains theoretical questions (statements, proofs, definitions, examples/counterexamples illustrated during the course), while the second part contains exercises. The two parts will contribute equally to the determination of the final grade.
Office hours
Upon appointment.
Staff
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Veronica Felli