Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso ha l’obiettivo di stimolare una comprensione critica dei concetti matematici, aiutando gli studenti a riconoscere e utilizzare strumenti formali nella loro formazione, in particolare in vista dell’applicazione in ambito economico, statistico e finanziario. L’insegnamento fornisce le nozioni fondamentali di algebra lineare, successioni e serie numeriche, calcolo integrale, matematica finanziaria e cenni di strumenti derivati, presentandole come strumenti utili per analizzare e interpretare fenomeni legati all’economia e alla finanza. La parte teorica sarà affiancata da esercitazioni in aula, con l’obiettivo di supportare lo sviluppo di un metodo autonomo nella risoluzione di esercizi.
Risultati di apprendimento attesi (Descrittori di Dublino):
- Conoscenza e comprensione
Gli studenti acquisiranno una solida comprensione dei principali contenuti trattati, inclusi successioni e serie numeriche, calcolo integrale, algebra lineare, programmazione lineare, matematica finanziaria tradizionale, strumenti obbligazionari e derivati. - Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Saranno in grado di applicare con efficacia i metodi matematici per risolvere problemi concreti coerenti con il programma del corso e per interpretare situazioni reali di ambito economico e finanziario. - Autonomia di giudizio
Svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per affrontare e risolvere problemi complessi, anche di natura interdisciplinare, valutando criticamente i risultati ottenuti. - Abilità comunicative
Sapranno utilizzare un linguaggio matematico e finanziario chiaro e rigoroso, in modo da esprimere con precisione e coerenza le conoscenze acquisite e comunicare efficacemente idee, procedure e risultati. - Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare con maggiore consapevolezza e successo studi successivi di livello più avanzato.
Contenuti sintetici
Successioni e serie, integrali, algebra lineare e programmazione lineare, scelta in condizioni di incertezza, nozioni di base di matematica finanziaria e titoli derivati.
Programma esteso
- Successioni e serie
- richiami sulle successioni
- definizione di serie: carattere e somma
- condizione necessaria per la convergenza
- serie geometrica, serie telescopica, serie armonica
- serie a termini di segno costante: criteri di convergenza
- serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz
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Integrali- definizione di integrale di Riemann e prime proprietà
- teoremi sugli integrali
- calcolo di primitive: integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni
razionali. - Integrali impropri
- Criteri di convergenza di integrali impropri
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Algebra lineare- matrici
- operazioni con le matrici
- sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli
- determinante
- matrice inversa
-
Programmazione lineare.- Formalizzazione del problemi di P.L.
- Soluzione geometrica
- Soluzione algebrica e analisi di sensitività
- Cenni sulla teoria della dualità.
-
Matematica finanziaria tradizionale- Operazioni finanziarie elementari: montante, interesse, sconto
- Leggi di capitalizzazione e leggi di attualizzazione.
- Tassi di interesse e tassi di sconto. Tassi equivalenti. Forza d'interesse.
- Scindibilità. Teorema caratterizzante le leggi scindibili.
- Rendite e loro classificazione. Calcolo di valori attuali.
- Indici temporali: scadenza, scadenza media aritmetica, duration.
- Piani di ammortamento
- Criteri di scelta tra operazioni finanziarie
- Tasso interno di rendimento: esistenza e proprietà
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Titoli obbligazionari- i tipi piu' comuni di titoli obbligazionari
- rischio di tasso e duration
- calcolo e proprietà della duration
- calcolo della duration in Excel
- significato geometrico della duration
- idea intuitiva della immunizzazione
- convessità
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Introduzione agli strumenti derivati- Generalità sui derivati: opzioni, forward, futures
- Meccanismo del marking to market, uguaglianza teorica tra prezzi forward e futures
- Payoff delle posizioni elementari in opzioni, vincoli di Merton
- Prime applicazioni del principio di non arbitraggio
- Il modello binomiale uniperiodale e biperiodale, valutazione di opzioni europee e americane
- La formula di Black-Scholes
- Analisi di sensitività nel modello di Black-Scholes: calcolo di delta e gamma
Prerequisiti
Funzioni in una o più variabili, nozioni base di Probabilità e Statistica.
L'insegnamento di Matematica Generale I è propedeutico all'insegnamento di Matematica per la Finanza.
Metodi didattici
La didattica si articola in lezioni, esercitazioni ed incontri di tutoraggio in preparazione all'esame.
Il corso sarà erogato principalmente in presenza. Parte della didattica potrà essere erogata in modalità da remoto (al più il 30% delle ore). Le lezioni da remoto saranno comunicate con congruo preavviso da parte del docente e potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici che solitamente avviene nella prima parte della lezione. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Nello specifico:
-56 ore di lezione di lezione saranno svolte con una didattica ibrida come illustrata sopra
-24 ore di esercitazioni verranno svolte in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Una prova scritta obbligatoria che può essere sostenuta con due modalità: due prove parziali oppure un’unica prova completa. Entrambe le tipologie di esame scritto comprendono domande aperte teoriche e problemi/esercizi.
Una prova orale nei seguenti casi:
- studente convocato dal docente;
- studente che chieda di sostenere la prova orale (è necessario aver conseguito nello scritto una valutazione di almeno 18/30);
- attribuzione della lode nella valutazione finale.
Tutti gli studenti che sostengono l'orale riceveranno in tale sede una seconda valutazione che farà media aritmetica con il voto dello scritto. Nella valutazione complessiva di scritto e orale, il voto dello scritto potrà dunque modificarsi in entrambi i versi, aumentare o diminuire. Se la media tra scritto e orale dovesse risultare inferiore a 18, lo studente si intende respinto all'esame e dovrà sostenere nuovamente lo scritto. In nessun caso lo stesso scritto verrà considerato valido per più di una prova orale.
In entrambe le tipologie di prove verranno valutate la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Testi di riferimento
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Matematica 4/Ed.
Angelo Guerraggio
ISBN Cartaceo: 9788891931870 – ISBN Digitale: 9788891931887
https://he.pearson.it/bundle/521?isbn=9788891931887 -
“Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
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“Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
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G. Ceccarossi, F. Tramontana – Matematica Finanziaria. Con quiz di autovalutazione ed esercizi svolti e commentati, Giappichelli, Torino, 2025;
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F. Grassetti, F. Tramontana – Esercizi svolti di matematica finanziaria, Giappichelli, Torino, 2025.
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“Matematica Finanziaria classica e moderna”, F. Cacciafesta, edizioni Giappichelli Torino
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"Opzioni e futures", J. Hull
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"Esercizi di matematica per l'economia: Serie, integrali, algebra lineare, programmazione lineare", E. Mastrogiacomo, 2018, Ledizioni
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Ulteriore materiale didattico:
Slide e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to foster a critical understanding of mathematical concepts, helping students to recognize and use formal tools in their education, particularly with a view to their application in the economic, statistical, and financial fields. The course provides the fundamental notions of linear algebra, numerical sequences and series, integral calculus, financial mathematics, and an introduction to derivative instruments, presenting them as useful tools for analyzing and interpreting phenomena related to economics and finance. The theoretical component will be complemented by classroom exercises, with the goal of supporting the development of an independent approach to problem-solving.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
- Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the main topics covered, including numerical sequences and series, integral calculus, linear algebra, linear programming, traditional financial mathematics, bonds, and derivative instruments. - Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply mathematical methods to solve practical problems consistent with the course syllabus and to interpret real-world situations in the economic and financial domains. - Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and solving complex problems, including those of an interdisciplinary nature, and for critically evaluating the results obtained. - Communication skills
Students will be able to use clear and precise mathematical and financial language, enabling them to accurately and coherently express the knowledge acquired and to communicate ideas, procedures, and results effectively. - Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to approach subsequent, more advanced studies with greater awareness and success.
Contents
Sequences and series, integrals, linear algebra and programming, choice under uncertainty, basic notions on financial mathematics and on derivatives
Detailed program
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Sequences and series: definitions and analysis of the character of series by means of the main criteria.
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Integrals: definitions, main results and computation.
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Linear algebra: matrices, vectors and linear systems.
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Linear programming.
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Financial mathematics.
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Bonds and immunization.
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Introduction to derivatives: binomial model and Black-Scholes model.
Prerequisites
Functions in one and more variables, basic notions of Probability and Statistics.
The course Matematica Generale I is a prerequisite for the course Matematica per la Finanza.
Teaching methods
The teaching activities are organized into lectures, exercises, and tutoring sessions in preparation for the exam.
The course will be delivered primarily in-person. A portion of the teaching (up to 30% of the hours) may be conducted remotely. Remote sessions will be communicated by the instructor with adequate advance notice and may be delivered via live streaming or asynchronously.
A hybrid teaching approach is employed, combining expository teaching (ET) and interactive teaching (IT). ET includes the presentation and detailed explanation of theoretical content, which usually takes place in the first part of the lesson. IT involves active student participation through responses to questions and problems posed by the instructor, short interventions, and group discussions, typically carried out in the second part of the lesson. It is not possible to precisely establish in advance the number of hours dedicated to ET and IT, as these methods dynamically intertwine to adapt to the course’s needs and foster participatory and integrated learning, combining theory and practice.
Specifically:
-56 hours of lectures will be conducted using the hybrid approach described above.
-24 hours of exercises will be carried out in an interactive mode.
Assessment methods
A mandatory written exam that can be taken in two ways: either two partial tests or a single comprehensive test.
Both types of written exams include theoretical open-ended questions and problems/exercises.
An oral exam in the following cases:
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Student summoned by the instructor;
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Student who requests to take the oral exam (a minimum score of 18/30 on the written exam is required);
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Attribution of honors (cum laude) awarded in the final evaluation.
All students taking the oral exam will receive a second grade during the oral session, which will be averaged arithmetically with the written exam grade. Therefore, in the overall evaluation of written and oral exams, the written exam score may increase or decrease. If the average of the written and oral exams is below 18, the student is considered to have failed and must retake the written exam. Under no circumstances will the same written exam score be valid for more than one oral exam attempt.
In both types of exams, the formal correctness of the steps, the adequacy of the mathematical language used, and the skills and knowledge acquired during the course will be assessed.
Textbooks and Reading Materials
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Matematica 4/Ed.
Angelo Guerraggio
ISBN Cartaceo: 9788891931870 – ISBN Digitale: 9788891931887
https://he.pearson.it/bundle/521?isbn=9788891931887 -
“Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
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“Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
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G. Ceccarossi, F. Tramontana – Matematica Finanziaria. Con quiz di autovalutazione ed esercizi svolti e commentati, Giappichelli, Torino, 2025;
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F. Grassetti, F. Tramontana – Esercizi svolti di matematica finanziaria, Giappichelli, Torino, 2025.
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“Matematica Finanziaria classica e moderna”, F. Cacciafesta, edizioni Giappichelli Torino
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"Opzioni e futures", J. Hull
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"Esercizi di matematica per l'economia: Serie, integrali, algebra lineare, programmazione lineare", E. Mastrogiacomo, 2018, Ledizioni
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Additional teaching materials:
Slides and lecture notes provided by the instructors (available on the e-learning platform).
Semester
First Semester
Teaching language
Italian
