Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti matematici e numerici per la valutazione degli strumenti finanziari il cui sottostante è un titolo azionario. Inoltre vengono presentati i modelli principali legati alle misure di variabilità nel mercato azionario.
Risultati di apprendimento attesi (descrittori di Dublino):
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Conoscenza e comprensione
Gli studenti acquisiranno una solida comprensione degli aspetti teorici relativi ai principali argomenti trattati durante il corso, tra cui i tipi fondamentali di strumenti derivati path e non-path dependent. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti saranno in grado di applicare con efficacia i metodi matematici presentati nel corso e in particolare a simulare la dinamica di un titolo azionario. Innoltre gli studenti sapranno scaricare i dati dal terminale Bloomberg e utilizzare le funzioni per la valutazione dei contratti finanziari. -
Autonomia di giudizio
Gli studenti svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per affrontare e risolvere problemi complessi, anche di natura interdisciplinare, valutando criticamente i risultati ottenuti. -
Abilità comunicative
Gli studenti impareranno ad utilizzare un linguaggio matematico chiaro e rigoroso, in modo da saper esprimere con precisione e coerenza le conoscenze acquisite e da comunicare efficacemente idee, metodi e risultati. -
Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare con consapevolezza e successo anche temi legati alla finanza quantitativa più recenti.
Contenuti sintetici
I limiti del modello di Black&Scholes e il Lemma di Ito per le funzioni multivariate.
Cambio di numerario.
Opzioni Esotiche
Metodi numerici per la finanza
Modelli a volatilità stocastica
Derivati sulla volatilità
Programma esteso
*I limiti del modello di Black&Scholes e il Lemma di Ito per le funzioni multivariate:
I limiti del modello di Black and Scholes.
Normal Mixture models per l'option pricing.
Il lemma di Ito per le funzioni multivariate.
Tecniche di cambio del numerario:
Introduzione alla tecnica di cambio di numerario.
Derivazione della formula di B&S utilizzando la tecnica del cambio di numerario.
Exchange and Exotic Options:
Valutazione delle Exchange options tramite la tecnica del cambio del numerario.
Opzioni Esotiche: path e non-path dependent.
Metodi numerici applicati alla finanza I
Metodi iterativi
Simulazione di Monte Carlo: teoria, intervalli di confidenza e tecniche di riduzione della varianza.
Simulazione delle traiettorie e applicazioni all'option pricing.
Metodi numerici applicati alla finanza II
Monte Carlo Simulation per le opzioni path dependent.
Alberi binomiali e trinomiali.
Utilizzo di Bloomberg per la valutazione dei derivati
Scaricamento dei prezzi sulle opzioni e della superficie della volatilità implicità.
Scenari simulati per il sottostante e valutazione delle opzioni esotiche in Bloomberg.
Metodi numerici applicati alla finanza III
Metodo delle differenze finite
Applicazione del metodo alle differenze finite per il calcolo delle Greche.
Modelli a volatilità stocastica
Volatilità stocastica. Superficie di volatilità impicita.
Modello di Heston: simulazione, formula per il pricing e superficie di volatilità.
I derivati sulla volatilità
La formula per la replica del log-contract.
Variance e Volatility Swaps. VIX Index: la formula del CBOE.
Prerequisiti
Conoscenza dei concetti riguardanti la matematica finanziaria, agli strumenti derivati e di programmazione.
Metodi didattici
Lezioni frontali di teoria ed esercitazioni (Excel, Matlab ed utilizzo del data provider Bloomberg)
In particolare, parte della didattica sarà erogata in modalità da remoto (al più il 30% delle ore); la restante parte sarà erogata in presenza. Le lezioni da remoto saranno comunicate con congruo preavviso da parte del docente e potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Le lezioni e le esercitazioni di svolgeranno in parte sotto forma di didattica erogativa. Il 30% delle ore complessive erogate (lezioni ed esercitazioni) si svolgerà in forma interattiva (verifiche della comprensione degli argomenti trattati e proposta di esercizi interattivi su Matlab).
Modalità di verifica dell'apprendimento
Realizzazione di una relazione su un project work e successiva prova orale obbligatoria.
Voto finale= 0.4* Voto Project work+0.6* Voto Prova Orale
Project work
-Gli studenti formeranno dei gruppi (3-4 studenti) e a ciascun gruppo verrà assegnato un progetto da svolgere riguardante i temi visti a lezione. Il progetto tratterà argomenti di rilevanza pratica nell'ambito della valutazione di strumenti derivati e userà dati di mercato scaricati dal terminale Bloomberg.
- Ogni gruppo dovrà elaborare una relazione scritta sul lavoro svolto. Anche i codici Matlab prodotti per svolgere l'assignment devono essere inclusi nel report finale.
Prova orale
-L’esame orale e il voto d’esame sono individuali.
-L’esame orale consisterà in un colloquio iniziale sulla relazione svolta in gruppo (project work), e successivamente in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione.
Testi di riferimento
Materiale fornito dal docente (slide delle lezioni e codici Matlab) sul sito della didattica in rete di ateneo (pagina e-learning del corso)
J. Hull, ’Options, Futures and other derivatives’, 7th edition in English (Prentice Hall).
P. Glasserman, ’Monte Carlo Methods in Financial Engineering’ Springer Science, 2003
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The aim of the course is to provide students with the main mathematical and numerical tools useful for the evalutation of equity derivatives. Furthermore, duting the course the main volatility models are presented.
The main targets are:
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Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the theoretical aspects connected with the main topics covered during the course, such as the types of path and non-path dependent derivatives. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply mathematical methods to solve practical problems consistent with the course topics and to simulate the price dynamics of an equity. Moreover, they should be able to download financial data and to use Bloomberg for pricing non vanilla options. -
Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and solving complex problems, including those interdisciplinary in nature, and for critically evaluating the obtained results. -
Communication skills
Students will learn how to correctly use the mathematical language, so as to accurately and coherently express the acquired theoretical notions, as well as to effectively communicate ideas, methods and results. -
Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to approach subsequent, more advanced studies with awareness and success.
Contents
Black&Scholes and Ito’s lemma for multivariate functions
Change of Numéraire technique.
Exchange and Exotic Options
Numerical Methods in Finance
Stochastic volatility models
Volatility derivatives
Detailed program
Black&Scholes and Ito's Lemma for multivariate functions:
Limits of the Black and Scholes model.
Normal Mixture model for option pricing.
Ito’s lemma for multivariate functions.
Change of Numéraire technique: Introduction to the Change of Numéraire technique.
Derivation of B&S formula using the Change of Numéraire technique
Exchange and Exotic Options: Valuation of Exchange options through change of Numéraire.
Exotic Options: path and non-path dependent.
Numerical Methods in Finance I
Iterative methods: Bisection, Secant and Newton-Raphson Methods and Calibration problem (Matlab functions: fmincon and fminunc)
Monte Carlo Simulation: Theory, Confidence Intervals and Variance Reduction techniques.
Simulation of sample paths and application for option pricing.
Numerical Methods in Finance II
Monte Carlo Simulation for path dependent options.
Binomial and Trinomial tree implementation (an introduction).
Pricing derivatives in Bloomberg
Plain vanilla option prices and implied volatility surface
Simulated scenarios for the underlying and pricing of exotic derivatives in Bloomberg.
Numerical Methods in Finance III
Finite Difference Approximation: first and second derivative.
Application of the finite difference method for the Greeks.
Stochastic volatility models Stochastic Volatility: Derivation of the valuation Equation.
Properties of Stochastic Volatility. Implied Volatility Surface.
Heston Model: simulation, pricing formula and volatility surface.
Volatility derivatives
The log-contract replication formula.
Variance and Volatility Swaps. VIX Index: CBOE Formula.
Prerequisites
Good knowledge of financial math, derivatives and coding.
Teaching methods
Classes with classical teaching methods and practical interactive sessions (Excel, Matlab and use of the data provider Bloomberg).
Some of the lectures will be provided remotely (at most 30% of the hours) in streaming or recorded. The teacher will communicate in advance which lessons will be provided remotely.
Assessment methods
Project work and subsequent oral examination
Final grade=0.4*Grade of the project work+0.6*Grade of the Oral Examination
Project work
-Students will be organized in small groups and each group will receive an assignment related to some of the topics seen during the course. Data used will be downloaded from Bloomberg.
- Each group should produce a report on the assigned project work. Matlab codes used to produce the report should also be included.
Oral examination
-The oral exam and the final grade are individual.
-During the oral examination there be a discussion on the project and on the topics covered in the course.
Textbooks and Reading Materials
Slides and Matlab codes will be provided by the teacher in the elearning page of the course.
J. Hull, ’Options, Futures and other derivatives’, 7th edition in English (Prentice Hall).
P. Glasserman, ’Monte Carlo Methods in Financial Engineering’ Springer Science, 2003
Semester
First Semester
Teaching language
Italian
