Course Syllabus
Obiettivi
Questo corso “Matematica per l’insegnamento - Algebra” ed il suo gemello “Matematica per l’insegnamento - Geometria” si rivolgono principalmente a futuri insegnanti di matematica e scienze. Chi insegna dovrebbe aver ben chiare le fondamenta di quanto insegna, e sarebbe anche auspicabile che sapesse un po’ di più di quanto deve insegnare. Per chiarire il problema, facciamo dei semplici esempi.
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Meno per meno fa più.
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Un numero è divisibile per tre se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per tre.
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I numeri primi sono infiniti.
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La scomposizione in fattori primi è unica.
Queste affermazioni sono ben note, ma quanti ne sanno una giustificazione? Che cosa è un numero, in realtà? Il corso si propone di rivisitare in modo rigoroso e con dimostrazioni la matematica delle scuole elementari e medie inferiori e superiori, con attenzione agli aspetti storici e didattici. Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà avere acquisito i principi del ragionamento logico deduttivo, ed una capacità di esprimersi e comunicare in modo preciso e non ambiguo.
Contenuti sintetici
1 - Logica elementare
2 - Numeri interi
3 - Aritmetica modulare
4 - Numeri razionali e reali
5 - Polinomi
Programma esteso
I. Logica elementare
1. Tavole di verità
2. Dimostrazioni
3. Insiemi
4. Funzioni
5. Relazioni di equivalenza
6. I numeri naturali
7. Cardinalità
II. Numeri interi
1. Calcolo in Z
2. Divisibilità
3. Numeri primi
4. Valutazione p-adica
5. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
6. L’equazione ax + by = c
7. Numerazione posizionale
III. Aritmetica modulare
1. Gruppi
2. Anelli
3. L’anello delle classi di resti
IV. Numeri razionali e reali
1. Numeri razionali
2. Sviluppo in base b di numeri razionali
3. Numeri reali
4. Frazioni continue (tempo permettendo)
V. Polinomi
1. L’anello dei polinomi
2. Aritmetica dei polinomi
3. Radici
4. Molteplicità
5. Interpolazione polinomiale
Prerequisiti
La matematica di base oggetto dell’insegnamento della scuola primaria e secondaria. Nessuna propedeuticità.
Modalità didattica
Lezioni. Attività di riflessione e approfondimento autonoma e di gruppo. Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Sarano forniti appunti delle lezioni in formato pdf.
Note del Prof. Colzani.
R.Courant, H.Robbins “Che cos’è la matematica?”.
C.B.Boyer “Storia della matematica”.
G.Chrystal "Algebra: An elementary text-book".
Euclide “Elementi”.
L.Euler “Elements of algebra”.
G.H.Hardy, E.M.Wright “An introduction to the theory of numbers”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus “Matematica per istantanee”.
J.Stillwell “Elements of Mathematics: From Euclid to Gödel”.
Wikipedia.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale. Il voto viene espresso in trentesimi. Lo studente dovrà dimostrare di essere in grado di esporre con chiarezza e proprietà di linguaggio le conoscenze acquisite, dimostrando la loro completa comprensione.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The course “Matematica per l’insegnamento - Algebra” and his twin “Matematica per l’insegnamento - Geometria” are aimed at future teachers of mathematics and science. The aim of the course is to revisit in a rigorous way with proofs the mathematics of the elementary and secondary schools, with emphasis on the historical and didactical aspects.
Contents
1 - Elemetary logic
2 - Integral numbers
3 - Modular aritmetic
4 - Rational numbers, real numbers
5 - Polynomials
Detailed program
I. Elementary logic
1. Truth tables
2. Proofs
3. Sets
4. Functions
5. Equivalence relations
6. Natural numbers
7. Cardinality
II. Integers
1. Computations in Z
2. Divisibility
3. Prime numbers
4. p-adic valuation
5. Greatest Common Divisor and Least Common Multiple
6. The equation ax + by = c
7. Positional mumbering
III. Modular arithmetic
1. Groups
2. Rings
3. The congruence-class ring
IV. Rational and real numbers
1. Rational numbers
2. Base b expansion of rational numbers
3. Real numbers
4. Continued fractions (time permitting)
V. Polynomials
1. The ring of polynomials
2. Arithmetic of polynomials
3. Roots
4. Multiplicity
5. Polynomial interpolation
Prerequisites
Background: Basic mathematics of the elementary and secondary schools. Prerequisites: None.
Teaching form
Classroom lectures. Individual and group study. The course is scheduled in Italian but could be held in English in the presence of foreign students.
Textbook and teaching resource
Lecture notes for the course will be provided in pdf format.
Notes of the Prof. Colzani.
R.Courant, H.Robbins “What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods”.
C.B.Boyer “A history of mathematics”.
G.Chrystal "Algebra: An elementary text-book".
Euclid “Elements”.
L.Euler “Elements of algebra”.
G.H.Hardy, E.M.Wright “An introduction to the theory of numbers”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus “Mathematical snapshots”.
J.Stillwell “Elements of Mathematics: From Euclid to Gödel”.
Wikipedia.
Semester
Second semester.
Assessment method
Oral examination. The maximal grade is thirty. The student will have to demonstrate adequate understanding of the content of the course, and be able to expose clearly the knowledge acquired during the course.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Olivier Jean-Laurent Haution
