Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti.
Più precisamente gli obiettivi, secondo i Descrittori di Dublino, sono i seguenti:
(1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza dei concetti di base dell'algebra lineare e della geometria, con particolare riferimento agli spazi vettoriali, alle applicazioni lineari, alla diagonalizzazione di endomorfismi, alle forme bilineari simmetriche e prodotti scalari, alle strutture geometriche in spazi euclidei. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa, affiancata da esempi e applicazioni concrete.
(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi algebrici e geometriici, analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni. Saranno proposte attività ed esercitazioni volte ad affinare la capacità di riconoscere e utilizzare modelli algebrici e geometrici.
(3) Autonomia di giudizio: l'insegnamento mira a sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico e individuare eventuali errori logici; selezionare autonomamente metodi risolutivi appropriati a seconda del problema. Tali competenze saranno coltivate anche mediante la discussione di più metodi risolutivi per lo stesso problema e la riflessione sulla scelta di definizioni o approcci alternativi.
(4) Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di esprimere concetti matematici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto e esporre una dimostrazione in maniera coerente e comprensibile. Si promuove l’uso del linguaggio matematico formale, ma anche l’abilità di tradurre concetti in termini più accessibili.
(5) Capacità di apprendimento: l''insegnamento intende fornire agli studenti gli strumenti per proseguire in autonomia lo studio dell’algebra e della geometria a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, facendo uso delle conoscenze pregresse, utilizzare fonti diverse (libri di testo, appunti, articoli) per approfondire e aggiornare le proprie competenze. L'insegnamento contribuisce a costruire una solida base teorica su cui poggiare l'intero percorso formativo della laurea in matematica.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali; studio dei sistemi lineari; applicazioni lineari; matrici; diagonalizzazione di endomorfismi; prodotti scalari; geometria affine e euclidea.
Programma esteso
- Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo: metodo di riduzione di Gauss, teorema di Rouchè-Capelli.
- Calcolo matriciale: prodotto matriciale, rango di matrici, anello delle matrici quadrate e matrici invertibili.
- Spazi vettoriali: generatori, basi e dimensione; sottospazi; teorema di Grasmann.
- Applicazioni lineari: nucleo e immagine, teorema di nullità +rango, rappresentazione matriciale, isomorfismi.
- Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà; teoremi di Laplace e Binet.
- Autovalori e autovettori di un endomorfismo; polinomio caratteristico di endomorfismi di spazi vettoriali finitamente generati; diagonalizzabilità di endomorfismi.
- Spazio duale e base duale.
- Prodotti scalari, basi ortogonali e teorema di Sylvester; spazi euclidei e processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
- Operatori autoaggiunti e teorema spettrale.
- Spazi affini, riferimenti affini, sottospazi affini e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità.
- Cenni alla classificazione euclidea delle coniche.
Prerequisiti
Una buona conoscenza della matematica della scuola superiore.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede:
-Lezioni frontali (48 ore pari a 6 CFU) svolte in presenza;
-Esercitazioni (24 ore pari a 2CFU) svolte in presenza.
Sia le lezioni che le esercitazioni sono svolte in modalità erogativa.
Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Per stimolare la partecipazione, saranno proposti regolarmente esercizi, attraverso la piattaforma e-learning, la cui risoluzione è lasciata agli studenti.
Alla pagina del corso, sono messi a disposizione degli studenti quiz di autovalutazione relativi agli argomenti trattati nel corso.
E' previsto un progetto di tutorato a supporto dell'attività didattica, principalmente per fornire aiuto nella risoluzione degli esercizi proposti attraverso la piattaforma e-learning.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Testi consigliati:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Alla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili dispense su alcuni argomenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica del profitto si articola in due prove, una scritta ed una orale, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore del linguaggio matematico e della chiarezza delle risposte fornite.
Sono previste 3 prove in itinere. Le date delle prove vengono fissate e comunicate agli studenti all'inizio del corso. Ciascuna prova consiste nella risoluzione, in autonomia da casa, di esercizi assegnati relativi alla parte di programma svolto e nella loro consegna entro i termini stabiliti. La prova vale 10 punti ed è valutata in base alla correttezza, al rigore del procedimento e al linguaggio matematico usato. Se il punteggio totale delle prove è almeno 18/30, viene tradotto in un bonus (al massimo 3 punti), che concorre alla valutazione finale. Tale bonus decade dopo i primi due appelli.
La Prova scritta prevede:
- una prima parte che consiste di quesiti a risposta multipla, il cui superamento è necessario per la valutazione della parte rimanente;
- una seconda parte che consiste di esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, utili a valutare la capacità di applicare i risultati teorici nella risoluzione di problemi e di quesiti teorici, in cui è richiesto di fornire definizioni ed enunciati di teoremi, di discutere esempi e aspetti di argomenti trattati nel corso, di riprodurre verifiche o semplici dimostrazioni, allo scopo di valutare le conoscenze delle nozioni e concetti fondamentali presentati nel corso.
Il punteggio massimo è di 32 punti, di cui fino a 24 per la risoluzione degli esercizi e fino a 8 per i quesiti teorici. La prova si intende superata ottenendo un punteggio complessivo non inferiore a 18.
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Prova orale. L'ammissione a questa prova è subordinata al superamento della prova scritta. L'orale inizia con la discussione della prova scritta e prosegue con la richiesta di definizioni, di esempi e/o controesempi dei concetti introdotti nel corso, di enunciati e dimostrazioni dei Teoremi presentati a lezione, al fine di verificare la conoscenza e padronanza dei contenuti del corso e la capacità di rielaborare i concetti appresi e di esporli in modo rigoroso.
L'esame si intende superato solo se la prova orale è sufficiente.
Il voto proposto al termine della prova orale tiene conto anche del punteggio della prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato con le prove in itinere. Tale voto costituisce il voto finale dell'esame.
L'esame è superato se il voto finale è pari a 18 o superiore.
È possibile essere esonerati dalla prova orale. Gli studenti che hanno superato la prova scritta hanno due possibilità:
- sostenere la prova orale;
- registrare il punteggio minimo tra S e 27, dove S è il punteggio ottenuto nella prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato.
Si noti che l'eventuale bonus maturato non concorre al superamento dalla prova scritta.
Si noti altresì che per verbalizzare un voto maggiore di 27 è necessario sostenere la prova orale.
E' discrezione dei docenti richiedere un orale obbligatorio qualora la parte teorica nella prova scritta dimostri gravi lacune.
Sono previsti 6 appelli d'esame, le date saranno pubblicate alla pagina e-leerning del corso.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
In line with the educational objectives of the Degree in Mathematics, the course aims to provide an introduction to linear algebra with applications to geometry, essential to prepare the student to understand the mathematics that will be taught in other courses.
(1) Knowledge and understanding: students will acquire a solid understanding of the fundamental concepts of linear algebra and geometry. In particular, they will become familiar with: vector spaces, diagonalization, bilinear forms and scalar product and geometric structures in Euclidean space. The development of such knowledge is grounded in rigorous theoretical understanding, supported by examples and applications.
(2) Applying knowledge and understanding: students will be able to apply the acquired knowledge to
solve algebraic and geometric problems using both theoretical and computational tools and to reproduce the proofs presented in the course. Exercises and problem-solving activities are designed to enhance the ability to recognize and apply algebraic and geometric models.
(3) Making judgments: the course aims to develop students' ability to critically analyse mathematical statements and proofs, assess the validity of mathematical arguments and identify logical errors, select independently appropriate solution methods depending on the problem. These skills are encouraged through comparative discussion of different approaches to the same problem and critical reflection on definitions and alternative perspectives.
(4) Communication skills: students will be able to clearly and rigorously express mathematical concepts, both orally and in writing, present mathematical proofs in a coherent and comprehensible manner. The use of formal mathematical language will be promoted, alongside the ability to translate ideas into more accessible terms.
(5) Learning skills: the course aims to equip students with the ability to continue studying algebra and geometry at a more advanced level, approach new topics methodically and rigorously, building on previously acquired knowledge, use diverse sources (textbooks, lecture notes, academic papers) to deepen and update their understanding. This course provides a foundational theoretical background that supports the entire undergraduate mathematics programme.
Contents
Vector spaces; systems of linear equations; linear maps; matrices; diagonalization of an endomorphism; scalar products; affine and euclidean geometry.
Detailed program
- Systems of linear equations: Gaussian elimination method, Rouchè-Capelli Theorem.
- Matrices: matrix product, rank, the ring of square matrices and invertible matrices.
- Vector spaces: generators, basis and dimension; linear subspaces; Grassmann Theorem.
- Linear maps: kernel and image, relation between rank and nullity, matrices associated to linear maps and isomorphisms.
- Determinant of a square matrix and properties; Laplace theorem and Binet theorem.
- Eigenvalues and eigenvectors of an endomorphism; characteristic polynomial of endomorphisms of finite dimensional vector spaces, diagonalization.
- Dual space and dual base.
- Scalar products, orthogonal basis and Sylvester Theorem; Euclidean spaces and Gram-Schmidt process.
- Self-adjoint operators and spectral Theorem.
- Affine spaces, affine coordinate systems, affine subspaces and their representations. Distance and orthogonality.
- Euclidean classification of plane conics.
Prerequisites
Good knowledge of high school mathematics.
Teaching form
The course is organized as follows:
-Lectures (48 hours equal to 6 ECTF) in person;
-Exercises classes (24 hours equal to 2 ECTF) in person.
Both provide lecture-based teaching to deliver the fundamental concepts of Linear Algebra and Geometry..
Definitions, results, and relevant theorems will be discussed in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises on the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes.
Some exercise sets will be made available regularly on the e-learning website to encourage participation. At the webpage of the course students can find self-assessment quizzes realating to topics covered in the lectures.
A tutor will provide students with support in solving the exercises published on the e-learning website.
The course is delivered in Italian.
Textbook and teaching resource
Reference books:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Lecture notes on the e-learning webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
The assessment consists of two parts: a written exam and an oral exam, both evaluated based on correctness, completeness, use of rigorous mathematical language, and clarity of the answers provided.
There will be three midterm tests. The dates of these tests will be scheduled and communicated to students at the beginning of the course. Each test involves independently solving assigned exercises at home, based on the material covered, and submitting the solutions within the specified deadline. Each test is worth 10 points and is evaluated based on accuracy, rigor of the procedure, and the mathematical language used. If the total score from the three tests is at least 18 out of 30, it will be converted into a bonus (up to a maximum of 3 points), which contributes to the final grade. This bonus expires after the first two exam sessions.
The written exam includes:
- a first part consisting of multiple-choice questions, which must be passed in order for the remaining part to be evaluated;
- a second part consisting of open-ended exercises, similar to those discussed during practice sessions. These aim to assess the student's ability to apply theoretical results to problem-solving and theoretical questions, requiring definitions and theorem statements, the discussion of examples and topics covered during the course, and the reproduction of verifications or simple proofs. The goal is to assess the understanding of fundamental notions and concepts presented during the course.
The maximum score is 32 points: up to 24 for solving exercises, and up to 8 for theoretical questions. The written exam is considered passed with a total score of at least 18 points.
Oral exam. Admission to the oral exam is conditional on passing the written exam. The oral begins with a discussion of the written exam and continues with questions requiring definitions, examples and/or counterexamples of concepts introduced during the course, as well as the statements and proofs of the theorems presented in class. The aim is to assess the student's understanding and mastery of the course material, as well as their ability to rework the concepts learned and present them with rigor.
The exam is considered passed only if the oral is deemed satisfactory.
The grade proposed at the end of the oral exam also takes into account the score of the written exam, increased by any bonus from the midterm tests. This grade constitutes the final exam grade.
The exam is passed with a final grade of 18 or higher.
It is possible to be exempted from the oral exam. Students who have passed the written exam have two options:
- take the oral exam;
- register a grade equal to the minimum between S and 27, where S is the score obtained in the written exam, increased by any applicable bonus.
Note that any bonus earned does not contribute to passing the written exam.
Also note that to record a final grade higher than 27, the oral exam must be taken.
At the instructors' discretion, an oral exam may be made mandatory if the theoretical part of the written exam reveals serious deficiencies.
There will be six exam sessions, and the dates will be published on the course's e-learning page.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Sonia Brivio
-
Alberto Della Vedova
-
Samuele Mongodi
-
Michele Rossi
-
Alessio Savini
-
Michela Ascolese
-
Federico Clerici
-
Lorenzo Oberti
