Course Syllabus
Obiettivi
In linea con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, lo scopo di questo insegnamento è trasmettere conoscenze basilari nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi, sviluppare competenze utili ad analizzare e comprendere risultati fondamentali e tecniche dimostrative tipiche della teoria, maturare abilità nella risoluzione di esercizi e nell'affrontare problemi.
Più precisamente gli obiettivi, secondo i Descrittori di Dublino, sono i seguenti:
- Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi,. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa, affiancata da esempi e applicazioni concrete.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi topologici, analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni. Sarà affinata la capacità di riconoscere e utilizzare modelli topologici.
- .Autonomia di giudizio: l'insegnamento mira a sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico; selezionare autonomamente metodi risolutivi appropriati a seconda del problema.
- Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di esprimere concetti matematici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto.
- Capacità di apprendimento: l''insegnamento fornisce agli studenti gli strumenti per proseguire in autonomia lo studio in diversi aspetti della matematica.
Contenuti sintetici
Saranno illustrati i fondamenti della topologia generale e si accenneranno alcuni aspetti della geometria degli spazi euclidei e proiettivi.
Programma esteso
Spazi topologici e applicazioni continue. Spazi metrici e loro topologia. Strutture topologiche. Base di una topologia. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Funzioni continue e omeomorfismi.
Esempi di spazi topologici. Sottospazi. Prodotti. Quozienti.
Proprietà topologiche. Proprietà di separazione e spazi di Hausdorff. Compattezza. Compattezza e completezza in spazi metrici. Connessione. Connessione per archi. Locale euclideità e cenni alle varietà topologiche.
Spazi euclidei e spazi proiettivi. Cenni sulla geometria degli spazi euclidei e degli spazi proiettivi.
Prerequisiti
Continuità e limiti per funzioni dalla retta reale in sé. Algebra lineare.
Modalità didattica
24 lezioni da 2 ore e 12 attività di esercitazione da 2 ore sono erogate in aula, in lingua italiana, nelle quali è illustrata la teoria discutendo risultati, esempi e controesempi rilevanti, intervallate da altre lezioni frontali mirate a sviluppare abilità nel risolvere esercizi e affrontare problemi.
Materiale didattico
i di riferimento:
- E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).
- M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Letture consigliate:
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli (1988).
- J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
- L'esame è strutturato in tre prove.
Prova teorica - Si deve rispondere a dieci domande a risposta multipla. La valutazione avviene assegnando 3 punti per una risposta corretta, -1 punto per una risposta errata, 0 punti per una domanda lasciata senza risposta. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15.
Prova scritta - Si devono risolvere alcuni esercizi (simili a quelli svolti nelle esercitazioni) in 120 minuti. La prova è valutata in trentesimi. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15.
La prova teorica e la prova scritta si svolgono nello stesso giorno, una di seguito all'altra.
Prova orale - Si deve rispondere a domande su argomenti trattati durante il corso o su esercizi simili a quelli assegnati settimanalmente e discussi negli incontri di tutorato. Per essere ammessi alla prova orale è necessario avere ottenuto almeno 15 punti sia nella prova teorica che nella prova scritta. Di ogni risposta saranno valutati la completezza, la correttezza, il rigore e la chiarezza. Il voto proposto al termine della prova orale terrà conto del punteggio ottenuto nella prova teorica e costituirà il voto finale dell'esame.
- Sono previsti esoneri dalle prove
Esonero dalla prova orale - Chi nella prova teorica e scritta ottiene punteggi T e S non inferiori a 20 può evitare la prova orale e verbalizzare direttamente il voto minimo tra (T+S)/2 e 27. Si noti che senza la prova orale non è possibile verbalizzare un voto maggiore di 27, anche se per esempio T=S=30.
Esonero dalle prove teorica e scritta - Durante il corso sono previste due prove parziali che, se superate, permettono di sostenere direttamente la prova orale in uno dei primi due appelli d'esame. Per ogni prova parziale sono assegnati un punteggio per la parte teorica (T1, T2) ed uno per la parte scritta (S1, S2). Chi avrà superato entrambe le prove si troverà nella condizione di chi ha sostenuto le prove scritte in un appello ordinario ottenendo T=T1+T2 e S=S1+S2. Questo esonero non è compatibile con l'esonero dalla prova orale. Il fallimento della prova orale o non accettare il voto finale comporta di dover ripetere l'esame comprese le prove teorica e scritta.
- La prova scritta, se superata, permette di sostenere la prova orale nell'appello in cui è stata affrontata o in quello immediatamente successivo.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Give an elementary introduction to geometry and topology.
More specifically, the learning outcomes—according to the Dublin Descriptors—are as follows:
- Knowledge and understanding: Students will acquire a solid foundation in general topology and the geometry of Euclidean and projective spaces. This knowledge will be developed through rigorous theoretical understanding, supported by concrete examples and applications.
- Applying knowledge and understanding: Students will be able to apply the concepts learned to solve topological problems, analyze proofs presented in lectures, and reproduce them. They will refine their ability to recognize and use topological models.
- Making judgments: The course aims to develop students' ability to critically analyze mathematical statements and proofs, assess the validity of a mathematical argument, and independently select appropriate problem-solving methods.
- Communication skills: Students will learn to express mathematical concepts clearly and rigorously, both orally and in writing.
- Learning skills: The course equips students with the tools to pursue further independent study in various areas of mathematics.
Contents
Fundamentals of point-set topology and some aspects of euclidean and projective geometry will be discussed.
Detailed program
Topological spaces and continuous functions. Metric topology. Topological spaces. Basis of a topology. Subsets of a topological space. Continuous functions and homeomorphisms.
Examples of topological spaces. Subspaces. Products. Quotients.
Topological properties. Separation axioms and Hausdorff spaces. Compactness. Completeness and compactness in metric spaces. Connected and path-connected spaces. Locally Euclidean spaces and topological manifolds.
Euclidean and projective spaces. Geometry of euclidean and projective spaces.
Prerequisites
Limits and continuity of real functions. Linear Algebra.
Teaching form
72 hours classroom lectures delivered didactics will be split into: 48 hour theoretical sessions (discussion of relevant results of the theory, examples, and counterexamples), and 24 hours exercises sessions (training how to solve exercises and problems).
Textbook and teaching resource
Textbook:
- E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).
- M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Further readings:
- C. Kosniowski, A first course in algebraic topology. Cambridge University Press (1980).
- J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
Semester
Spring.
Assessment method
- The exam is structured into three parts.
Theoretical Test - Answer ten multiple-choice questions. Scoring: 3 points for correct answers, -1 point for incorrect answers, and 0 points for unanswered questions. You pass with at least 15 points.
Written Test - Solve exercises (similar to practice sessions) in 120 minutes. Graded out of 30. You pass with at least 15 points.
The theoretical and written tests are on the same day, back-to-back.
Oral Test -Answer questions on course or exercises topics. To take the oral test, you need at least 15 points both on the theoretical test and the written test. Answers are evaluated for completeness, correctness, rigor, and clarity. The final grade includes the theoretical test score.
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Completing homework can earn bonus points added to the theoretical test score.
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There are exemptions from tests.
Oral Test Exemption - Scores of T and S at least 20 on the theoretical and written tests allow you to skip the oral test. The final grade is the lower of (T+S)/2 or 27. No grade above 27 is possible without the oral test, even if T=S=30.
Theoretical and Written Tests Exemption - Two partial tests during the course, if passed, allow you to take the oral test in one of the first two exam sessions. Each partial test has a theoretical (T1, T2) and written (S1, S2) score. Passing both gives T=T1+T2 and S=S1+S2, like regular session written tests. This exemption is not compatible with the oral test exemption. Failing the oral test or not accepting the grade means retaking the entire exam, including the theoretical and written tests.
- Passing the written test allows you to take the oral test in the same or the next session.
Office hours
By appointment.
