Course Syllabus
Obiettivi
In coerenza con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, in questo insegnamento vengono fornite agli studenti le conoscenze riguardanti la teoria matematica rigorosa del Metodo degli Elementi Finiti per l'approssimazione delle equazioni differenziali ellittiche del secondo ordine.
Verranno inoltre sviluppate le competenze per affrontare, in corsi successivi più avanzati o con uno studio autonomo, lo studio del metodo degli elementi finiti per equazioni alle derivate parziali più generali.
L'implementazione del metodo avverrà utilizzando l'ambiente di calcolo MATLAB, fornito dall'Ateneo con licenza individuale per tutti gli studenti. Alla fine del corso, con i codici sviluppati lo studente avrà acquisito l'abilità risolvere vari problemi di tipo modellistico legati all'approssimazione di equazioni alle derivate parziali.
Contenuti sintetici
- Richiami sugli spazi di Sobolev
- Lemma di Lax-Milgram
- Metodo di Galerkin
- Lemma di Cea
- Elementi Finiti lineari
- Elementi Finiti di Lagrange di ordine k
- Stime dell'errore in norma energia
- Lemma di Bramble-Hilbert
- Argomento di dualità di Aubin-Nitsche per la stima dell'errore in norma L2
- Crimini variazionali e lemmi di Strang
- il problema di Helmholtz
- stabilizzazione di tipo SUPG
- algoritmi adattativi e stimatore dell'errore residuale
- convergenza degli algoritmi adattativi usando la marking strategy di Dörfler
- metodi DG: derivazione e stime dell'errore
- metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari derivanti da una discretizzazione ad elementi finiti
Programma esteso
- Concetti di base. Presentazione nel caso semplice monodimensionale delle idee e delle tecniche che verranno sviluppate nel corso.
- Spazi di Sobolev. Sono l'ambiente funzionale naturale per studiare matematicamente il metodo degli elementi finiti.
- Formulazione variazionale di problemi ai limiti ellittici. Inquadramento funzionale astratto delle equazioni alle derivate parziali che saranno studiate nel corso.
- Costruzione di spazi di elementi finiti. Saranno presentati gli elementi finiti piu' importanti.
- Teoria dell'approssimazione polinomiale negli spazi di Sobolev. Questa è la parte centrale del corso, dove si studia come gli elementi finiti (che sono essenzialmente funzioni continue e polinomiali a tratti) approssimano le funzioni degli spazi di Sobolev.
- Analisi del Metodo agli Elementi Finiti. Analisi di diversi tipi di Elementi Finiti (DG, non conformi, H^1 conformi, H^2 conformi) per l'approssimazione di soluzioni a equazioni differenziali alle derivate parziali di vario tipo (problema di Helmholtz, problemi di diffusione-trasporto-reazione, ...).
- Stimatore dell'errore residuale e algoritmi adattativi. Analisi dello stimatore dell'errore residuale, affidabilitá, efficienza, algoritmi adattativi e loro convergenza.
- Metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari derivanti da una discretizzazione ad elementi finiti. Metodi multigrid, metodo del gradiente coniugato e precondizionamento.
Prerequisiti
Gli insegnamenti di matematica di base del corso di Laurea Triennale in Matematica. E' consigliabile aver seguito il corso Analisi Superiore del 1° semestre della Laurea Magistrale.
Modalità didattica
Lezioni (6 CFU), esercitazioni alla lavagna e al calcolatore (2 CFU).
Materiale didattico
I testi di riferimento consigliati sono S. C. Brenner e L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008; A. Ern e J-L. Guermond: Finite Elements I: Approximation and Interpolation, Springer 2021; D. Braess: Finite Elements, Cambridge University Press 2010
Saranno inoltre disponibili note a cure del docente su argomenti specifici.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
2° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è diviso in due parti:
- scrittura e presentazione di un progetto;
- esame orale.
Il voto è in trentesimi. L'esame si considera superato solo in entrambe le parti viene conseguita la sufficienza (18/30); le due parti concorrono in egual misura alla votazione finale.
Il progetto valuta l'abilità dello studente a risolvere problemi utilizzando gli strumenti teorici e i codici sviluppati durante il corso. Il progetto consiste nell'implementare l'approssimazione di un problema legato alle equazioni alle derivate parziali. Viene incoraggiato il lavoro di gruppo (max 3 studenti) e premiata la qualità dell'esposizione.
Nella prova orale (individuale) viene valutata la conoscenza delle definizioni, dei risultati e delle dimostrazioni presentati in aula, con particolare rilievo riguardo al rigore delle argomentazioni. Verranno inoltre valutate la competenza e la padronanza della materia richiedendo di individuare gli aspetti essenziali degli argomenti esposti.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims to providing the knowledge of the rigorous mathematical theory of the Finite Element Method for the approximation of linear elliptic second-order partial differential equations.
At the end of the course the students will have the skills needed to understand more advanced aspects of the method, both with individual work and with other courses.
The method will be implemented in MATLAB, and with the developed codes the students will have the ability to solve simple real-life problems connected with the approximation of partial differential equations.
Contents
- Sobolev Spaces
- Lax-Milgram Lemma
- Galerkin methods
- Cea's Lemma
- Linear Finite Elements
- Lagrange Finite Elements of order k
- Error estimates in the energy norm
- Bramble-Hilbert Lemma
- Aubin-Nitsche duality argument for L2 error estimates
- Variational crimes and Strang's Lemmas
- the Helmholtz problem
- the SUPG stabilization
- adaptive algorithms and residual error estimators
- convergence of adaptive algorithms using Dörfler's marking strategy
- DG methods: derivation and error estimates
- iterative methods for the solution to linear system stemming from finite element discretizations
Detailed program
- Basic concepts. Presentation in the one-dimensional case of the techniques and the ideas which will be studied in the rest of the course.
- Sobolev Spaces. The natural functional environment for the mathematical analysis of the finite element method.
- Variational Formulation of Elliptic Boundary Value Problems. Abstract setting for the partial differential equations which will be studied in the course.
- The Construction of a Finite Element Space. How to build a finite element.
- Polynomial Approximation Theory in Sobolev Spaces. The core of the course. We will study how finite elements (in essence, continuous, piecewise smooth functions) approximate functions in Sobolev Spaces.
- Analysis of Finite Element Methods. Analysis of different types of finite elements (DG, nonconforming, H^1 conforming, H^2 conforming) for the approximation of solutions to various types of partial differential equations (Helmholtz problem, diffusion-convection-reaction problems, ...).
- Residual error estimator and adaptive algorithms. Analysis of the residual error estimator, reliability, efficienty, adaptive algorithm and their convergence.
- Iterative methods for the solution to linear systems stemming from finite element discretizations. Multigrid methods, conjougate gradient method, proconditioned gradient method.
Prerequisites
Courses of the Laurea Triennale. It is recommended the course Analisi Superiore of the 1ˢᵗ semester.
Teaching form
Lessons (6 CFU), exercise classes with blackboard and computer (2 CFU).
Textbook and teaching resource
The reference books are S. C. Brenner e L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008; A. Ern e J-L. Guermond: Finite Elements I: Approximation and Interpolation, Springer 2021; D. Braess: Finite Elements, Cambridge University Press 2010
Teacher's notes on specific topics will also be available.
Semester
2ⁿᵈ semester
Assessment method
The final examination is split into two parts:
- writing and presenting a project;
- oral examination.
Mark is out of thirty. The student need to reach at least 18/30 in both parts to pass the exam. the final mark is the average of the two partial marks.
The project consists in implementing the approximation of a problem related to partial differential equations, using the codes developed during the course. The aim is to test the ability to use the developed instruments. Group working is encouraged (max 3 students) and the quality of the exposition will be part of the mark.
The oral examination will evaluate the knowledge of the definitions, results and rigorous proofs developed in the course; the capacity to understand what are the key points of the theory will also be checked.
Office hours
Upon appointment.
Staff
-
Lorenzo Mascotto
-
Cristina Tablino Possio