Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente conoscenze di alcune importanti tematiche avanzate riguardanti il metodo degli elementi finiti, costruendo una forte base teorica e anche un senso critico applicativo. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere, analizzare e confrontare i vari metodi proposti, nonché implementarli e utilizzarli al calcolatore.
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino.
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza avanzata dei metodi numerici per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali, con particolare enfasi sul metodo degli elementi finiti. Verranno approfonditi sia aspetti teorici, come la stabilità e la convergenza, sia aspetti modellistici legati a problemi parabolici non stazionari e formulazioni miste, fondamentali in numerose applicazioni scientifiche e ingegneristiche. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di utilizzare consapevolmente i metodi numerici studiati per risolvere problemi complessi derivanti da modelli reali, implementandoli in un ambiente di calcolo (come MATLAB). Sarà inoltre in grado di confrontare criticamente diversi approcci numerici. -
Autonomia di giudizio
Il corso stimola lo sviluppo di capacità autonome di analisi e valutazione dei metodi numerici per PDE, favorendo un approccio critico alla selezione e interpretazione delle soluzioni numeriche. Gli studenti saranno in grado di analizzare i punti di forza e di debolezza dei metodi e di scegliere quelli più idonei. -
Abilità comunicative
Gli studenti acquisiranno la capacità di comunicare in modo chiaro ed efficace risultati teorici e computazionali, sia attraverso presentazioni orali che in forma scritta. Saranno incoraggiati a utilizzare una terminologia precisa, sia in ambito matematico che computazionale, anche in contesti interdisciplinari. -
Capacità di apprendimento
Al termine del corso, gli studenti avranno sviluppato le competenze necessarie per proseguire lo studio in modo autonomo, affrontando nuove metodologie numeriche per le PDE, inclusi temi di ricerca avanzata e di interesse applicativo.
Contenuti sintetici
Il corso tratta l’approssimazione di problemi alle derivate parziali col metodo degli elementi finiti, e può essere considerato uno stadio successivo e più avanzato rispetto al corso “Approssimazione di Equazioni Differenziali” dello stesso corso di laurea. In particolare, si tratterà il problema del calore non-stazionario (con dipendenza anche dal tempo) e problemi con una formulazione detta mista, che giocano un ruolo fondamentale in molte applicazioni (come in fluidodinamica, in problemi di diffusione in mezzi porosi o in elettromagnetismo). Parte del corso sarà svolta in laboratorio informatico (MATLAB).
Programma esteso
Breve ripasso dei concetti e delle nozioni fondamentali del metodo agli elementi finiti, nonché dei risultati principali nel caso di problemi ellittici stazionari. Il problema modello del calore non-stazionario, discretizzazione in spazio con elementi finiti, discretizazzione in tempo (con differenze finite), analisi teorica del metodo, implementazione al calcolatore. Analisi a posteriori del errore per il problema della diffusione stazionario, analisi teorica, implementazione al calcolatore, algoritmo adattivo. Problemi in forma mista. Il problema di Stokes come esempio modello, discretizzazione e problematiche, teoria generale dei metodi misti, alcuni elementi specifici per Stokes e loro analisi, generalizzazioni, implementazione al calcolatore. Il problema della diffusione in forma mista, discretizzazione, analisi teorica, alcuni elementi specifici, generalizzazioni, implementazione. Il problema di Navier-Stokes e sua discretizzazione con elementi finiti. Possibili ulteriori argomenti, come problemi nell'ambito dell'elettromagnetismo, potranno essere trattati a fine corso.
Prerequisiti
Oltre alle normali conoscenze della laurea triennale in matematica, è richiesto di avere seguito il Corso “Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali” e di possedere (ad esempio avendo seguito il Corso “Analisi Superiore”) nozioni di base di Analisi Funzionale. Il corso avrà una forte componente teorica.
Modalità didattica
Didattica di tipo erogativo.
Lezioni alla lavagna e in laboratorio informatico.
Materiale didattico
- D. Braess, “Finite Elements: theory, fast solvers, and applications in solid mechanics”, Cambridge University Press (alternativa: P.Ciarlet “The finite element method for elliptic problems” oppure S.Brenner e R.Scott, “The mathematical theory of finite element methods”)
- D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, “Mixed finite element methods and applications”, Springer
- V. Thomee, “Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems”, Springer
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L' esame di compone di un singolo orale, diviso in due parti. In una prima parte si discuterà un progetto di laboratorio matlab, che lo studente deve portare all'esame scegliendolo tra quelli proposti dal docente alla fine del corso. Gli studenti dovranno dividersi in gruppi da 1-3 persone per lo svolgimento del progetto (è dunque consentito sia lavorare individualmente che in squadra, la discussione essendo comunque individuale). La seconda parte di tratta di un esame orale su tutte le tematiche svolte nel corso, per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e operativa delle definizioni, dei risultati e delle loro dimostrazioni. Il peso relativo delle due parti, progetto e parte teorica, è circa del 40% e 60%, rispettivamente.
Non sono previste prove in itinere.
Orario di ricevimento
Su appuntamento via email.
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing knowledge on some important advanced aspects of the finite element method, building a strong theoretical basis but also a good critical sense for applications. It will also build the skills needed to understand, analyse and compare the different methods, in addition to implementing and using them in the computer.
The course will be in italian, but it may shift to english if there are foreign students.
Learning Objectives according to the Dublin Descriptors.
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Knowledge and understanding
Students will gain an advanced understanding of numerical methods for solving partial differential equations (PDEs), with a focus on the finite element method. The course covers both theoretical aspects—such as stability and convergence—and modeling issues related to time-dependent (parabolic) problems and mixed formulations, which are essential in many scientific and engineering applications. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply the studied numerical methods to solve complex real-world problems, implementing them in computing environments (such as MATLAB). They will also critically compare different numerical approaches. -
Making judgements
The course encourages the development of independent judgement in analyzing and evaluating numerical methods for PDEs. Students will be able to critically assess the strengths and limitations of the methods and choose the most appropriate strategies. -
Communication skills
Students will learn to communicate theoretical and computational results clearly and effectively, both orally and in written form. Emphasis will be placed on using precise mathematical and computational terminology, even in interdisciplinary contexts. -
Learning skills
By the end of the course, students will have acquired the ability to continue learning independently, including exploring new numerical methods for PDEs, and engaging with advanced research topics and potential applications.
Contents
This course is about the approximation of problems in partial differential equations through the finite element method, and can be considered a second and more advanced stage of the course "Approximation of Partial Differential Equations". In particular, the course will treat important topics such as time dependent problems and problems in mixed form, that play a key role in many applications (such as fluidodynamics, diffusion problems in porius media, electromagnetism). Part of the course will be in the computer lab (MATLAB).
Detailed program
Brief review of the fundamental notions of the finite element method and main results for standard elliptic problems. The (non-stationary) heat diffusion problem, discretization in time and space, theoretical analysis of the method, implementation in MATLAB. A posteriori error analysis in the stationary case, theoretical analysis, implementation, adaptive algorithm. Problems in mixed form, Stokes as a model problem, discretization and difficulties, general theory of mixed methods, implementation. Diffusion in mixed form, theoretical analysis, implementation. The Navier-Stokes problem and its discretization with finite elements. Possible additional topics, such as problems in the field of electromagnetism, may be treated at the end of the course.
Prerequisites
Basic notions of functional analysis are needed. It is moreover required to have followed the course "Numerical Methods for Partial Differential Equations". The course will have a strong theoretical component.
Teaching form
Standard blackboard lessons and computer practice labs.
Textbook and teaching resource
- D. Braess, “Finite Elements: theory, fast solvers, and applications in solid mechanics”, Cambridge University Press (alternative: P.Ciarlet “The finite element method for elliptic problems” oppure S.Brenner e R.Scott, “The mathematical theory of finite element methods”)
- D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, “Mixed finite element methods and applications”, Springer
- V. Thomee, “Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems”, Springer
Semester
First semester.
Assessment method
The exam is an oral examination, and is divided into two parts. In the first part, the student presents a matlab laboratory project, that the student choses among some projects proposed by the teacher at the end of the course. The students can work in groups of 1-3 members for the development of the project (is thus allowed to work individually or as a team, but the discussion will be anyway personal). The second part of the examination is an evaluation of the critical and operational knowledge of the definitions, results and proofs presented during the course. There relative weight of the two parts, project and theory, is roughly 40% and 60%, respectively.
There will not be any mid-course evaluation/exam during the course.
Office hours
Email appointment.
Staff
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Lourenco Beirao Da Veiga
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Lorenzo Mascotto