Course Syllabus
Obiettivi
Capacità Costruire strumenti teorici e riflessioni critiche relative ai metodi e alle teorie dell’apprendimento e insegnamento della matematica. Competenze Essere in grado di acquisire e sperimentare autonomamente metodologie, tecnologie e materiali sviluppati e sperimentati negli anni nella ricerca e nella pratica della didattica della matematica. Essere in grado di progettare percorsi didattici nelle discipline matematiche su argomenti oggetto di insegnamento nella scuola secondaria.
Obiettivi formativi (secondo i Descrittori di Dublino)
- Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza teorica approfondita dei principali modelli, metodi e risultati della ricerca in didattica della matematica, con particolare riferimento ai processi di apprendimento e insegnamento nella scuola secondaria. Sarà in grado di comprendere e analizzare criticamente teorie educative e approcci didattici consolidati o innovativi. - Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di selezionare, adattare e sperimentare metodologie didattiche, materiali e tecnologie sviluppate nella ricerca, e di applicarle in modo consapevole nella progettazione di attività didattiche per la scuola secondaria. Saprà coniugare rigore disciplinare e attenzione ai processi cognitivi degli studenti. - Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di riflettere criticamente su esperienze e scelte didattiche, valutandone coerenza, efficacia e fondamento teorico. Saprà formulare giudizi motivati su percorsi educativi, anche alla luce delle pratiche e delle evidenze prodotte dalla ricerca didattica. - Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di comunicare efficacemente idee, strategie e problematiche legate all’insegnamento della matematica, utilizzando un linguaggio appropriato sia in contesti specialistici sia nella comunicazione educativa rivolta a studenti o colleghi docenti. - Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà la capacità di aggiornarsi autonomamente sui temi della didattica della matematica, di interpretare criticamente la letteratura scientifica e di integrare nuove conoscenze nella propria pratica professionale o futura attività di insegnamento.
Contenuti sintetici
Introduzione ai metodi, ai contenuti, allo sviluppo storico e ai quadri teorici utili per l’insegnamento della matematica a livello di scuola secondaria.
L'insegnamento è suddiviso in due moduli.
Programma esteso
Primo modulo Revisione critica delle impostazioni assiomatiche classiche della geometria, in particolare euclidea piana, da Euclide a Hilbert. Verranno studiati i principi fondamentali del sistema euclideo (definizioni, postulati, assiomi e metodi dimostrativi) mettendo in luce la loro portata storica e le difficoltà concettuali e linguistiche che pongono, specialmente in ambito scolastico. Si analizzeranno i cambiamenti introdotti dall’assiomatica moderna, in particolare con il sistema di Hilbert, per confrontare il rigore formale contemporaneo con l’intuizione geometrica originaria.
Secondo modulo Metodologie per l'insegnamento matematica: come determinare e affrontare i nodi concettuali ai vari livelli di apprendimento; analizzare anche gli aspetti epistemologici della matematica in chiave didattica. Progettazione di attività e valutazione di conoscenze e competenze: i legami della tradizione consolidata di didattica della matematica per competenze con i risultati delle ricerche nelle didattiche e pedagogiche. Metodi e tecniche per la comunicazione della matematica.
Prerequisiti
Buone e approfondite conoscenze dei metodi e dei contenuti della matematica di base, specie quella oggetto di insegnamento nella scuola secondaria.
Modalità didattica
In entrambi i moduli si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni si svolgono in presenza, per 56 ore (8 CFU).
Il corso si tiene in lingua italiana in quanto finalizzato alla specificità della scuola italiana.
Materiale didattico
Testi di riferimento
Primo modulo
GLI ELEMENTI DI EUCLIDE, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (UTET, 1970)
GEOMETRY: EULID AND BEYOND, di Robin Hartshorne (Springer 2000)
Secondo modulo
DIDATTICA DELLA MATEMATICA, di Roberto Natalini, Anna Baccaglini-Frank, Pietro Di Martino, Giuseppe Rosolini (Mondadori 2018)
Revisione di contenuti
COMINCIAMO DA ZERO, di Vinicio Villani (Pitagora 2003).
COMINCIAMO DAL PUNTO, di Vinicio Villani (Pitagora 2006).
Altri testi interessanti
LEARNING TO THINK MATHEMATICALLY: PROBLEM SOLVING, METACOGNITION, AND SENSE MAKING IN MATHEMATICS di Alan H. Schoenfeld in Handbook of research on mathematics teaching and learning (A Project of the National Council of Teachers of Mathematics, 1992) (Reprint https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/002205741619600202 ).
MATHEMATICAL DISCOVERY di George Polya (1962).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Non sono previste prove intermedie.
L'esame finale consiste in un Orale integrato sui due moduli, con discussione e valutazione di progetti. Verranno valutati la capacità di declinare in funzione didattica i contenuti e i metodi della matematica, l'autonomia nel porre questioni rilevanti e critiche per la comunicazione e la valutazione della trasmissione dei saperi.
In particolare, il progetto è una microlezione, che viene presentata durante la discussione dell'orale, accompagnata da una relazione. Gli esami sono individuali, e i progetti e le relazioni devono essere riconducibili ad un unica persona. Ma gli studenti sono incoraggiati a lavorare in gruppo, e collaborare per raggiungere gli obiettivi indicati.
La descrizione esplicita della natura dei progetti verrà illustrata durante il corso (in sintesi, si tratta di progetti di microlezioni con riflessioni didattiche e epistemologiche). Verranno pubblicate sulla piattaforma e-learning delle linee guida, che potranno anche variare in funzione del numero e della natura dei partecipanti al corso. Gli argomenti specifici, le date e le modalità concrete di valutazione di profitto verranno discusse e negoziate con gli studenti (frequentanti o no).
Il voto è in trentesimi, ed esprime una valutazione complessiva di tutto cioè che concorre al raggiungimento degli obiettivi formativi sopra descritti.
Valutazione qualitativa dei livelli di apprendimento, riferita ai principali descrittori utilizzati nel contesto universitario (EHEA / ANVUR).
30 e lode
- Conoscenza completa, rigorosa e articolata, anche oltre i contenuti minimi del corso.
- Applicazione sicura, autonoma e creativa dei metodi a problemi anche non standard.
- Ottima capacità di analisi critica e riflessione autonoma.
- Esposizione impeccabile, linguaggio formale preciso ed efficace.
29-30
- Conoscenza completa e corretta dei contenuti del corso.
- Applicazione autonoma e appropriata dei metodi a problemi anche complessi.
- Buona autonomia nel ragionamento.
- Linguaggio tecnico corretto, esposizione chiara e coerente.
27–28
- Conoscenza solida e ben organizzata.
- Applicazione corretta a problemi standard e articolati.
- Capacità di sintesi e ragionamento ben sviluppata.
- Esposizione chiara e con uso appropriato del linguaggio disciplinare.
24–26
- Conoscenza complessivamente sicura, con eventuali imprecisioni non gravi.
- Applicazione corretta dei metodi noti a problemi standard.
- Autonomia limitata ma presente.
- Esposizione generalmente chiara, talora migliorabile nella precisione.
20–23
- Conoscenze parziali, talora imprecise o lacunose.
- Applicazione meccanica o incerta dei metodi.
- Ragionamento poco autonomo, con difficoltà a gestire situazioni non standard.
- Esposizione poco fluida o con uso improprio del linguaggio tecnico.
18–19
- Conoscenze minime e frammentarie, appena sufficienti.
- Applicazione solo elementare, spesso guidata.
- Nessuna autonomia concettuale.
- Esposizione debole, linguaggio spesso impreciso.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Skills Building theoretical tools and critical reflections relating to methods and theories of learning and teaching mathematics. Competencies Being able to independently acquire and experiment methodologies, technologies and materials developed and tested over the years in the research and practice of mathematics education. Being able to design educational paths in mathematical disciplines on subject topics tought in secondary school.
Learning Outcomes (according to the Dublin Descriptors)
Master’s Degree in Mathematics – Course: Mathematics Education
- Knowledge and understanding
The student will acquire a solid theoretical understanding of the main models, methods, and findings in mathematics education research, with a focus on teaching and learning processes in secondary school. They will be able to critically analyse educational theories and established or innovative teaching approaches. - Applying knowledge and understanding
The student will be able to select, adapt, and implement teaching methodologies, materials, and technologies developed through research, and to apply them effectively in designing didactic activities for secondary school mathematics. They will be able to combine disciplinary rigour with attention to students’ cognitive development. - Making judgements
The student will develop the ability to critically reflect on teaching experiences and choices, assessing their coherence, effectiveness, and theoretical grounding. They will be able to formulate reasoned judgements about educational practices in light of research-based evidence. - Communication skills
The student will be able to communicate ideas, strategies, and issues related to mathematics teaching in a clear and effective manner, using appropriate language both in academic contexts and in educational communication with students or fellow teachers. - Learning skills
The student will develop the capacity for autonomous learning in the field of mathematics education, critically engaging with the scientific literature and integrating new knowledge into their professional practice or future teaching career.
Contents
Introduction to the methods, the ideas, the historical development and the theoretical frameworks useful in teaching secondary school mathematics. This course will be delivered only in Italian language.
The course is split into two modules.
Detailed program
Module 1 Critical review of classical axiomatic approaches to geometry, with a focus on plane Euclidean geometry, from Euclid to Hilbert.
The course will examine the fundamental principles of the Euclidean system (definitions, postulates, axioms, and methods of proof), highlighting their historical significance as well as the conceptual and linguistic challenges they present, particularly in educational contexts. It will also analyze the changes introduced by modern axiomatics, especially through Hilbert’s system, in order to compare contemporary formal rigor with the original geometric intuition.
Module 2 Methods for mathematics teaching: how to determine and address the conceptual issues at the various learning levels; analyze the epistemological aspects of mathematics from a didactic point of view. Planning of activities and knowledge/skill assessment: links of the consolidated tradition of teaching mathematics by skills with the results of research in teaching and pedagogy. Methods and techniques for communicating mathematics.
Prerequisites
In-depth knowledge of the methods and contents of basic mathematics, especially about the topics taught in secondary school.
Teaching form
Both modules adopt a hybrid teaching approach, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.
Lessons are conducted for a total of 56 hours (8 CFU).
The course is held in Italian as it focuses on the Italian school system.
Textbook and teaching resource
References
Module 1
DIDATTICA DELLA MATEMATICA, di Roberto Natalini, Anna Baccaglini-Frank, Pietro Di Martino, Giuseppe Rosolini (Mondadori 2018).
Module 2
DIDATTICA DELLA MATEMATICA, di Roberto Natalini, Anna Baccaglini-Frank, Pietro Di Martino, Giuseppe Rosolini (Mondadori 2018)(chapters not revised in module 1).
LEARNING TO THINK MATHEMATICALLY: PROBLEM SOLVING, METACOGNITION, AND SENSE MAKING IN MATHEMATICS di Alan H. Schoenfeld in Handbook of research on mathematics teaching and learning (A Project of the National Council of Teachers of Mathematics, 1992) (Reprint https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/002205741619600202 ).
MATHEMATICAL DISCOVERY by George Polya (1962).
Contents revision
COMINCIAMO DA ZERO, di Vinicio Villani (Pitagora 2003).
COMINCIAMO DAL PUNTO, di Vinicio Villani (Pitagora 2006).
Semester
1S
Assessment method
There are no intermediate tests.
The final exam consists in an Integrated oral on the two modules, with discussion and evaluation of projects. The ability to decline the contents and methods of mathematics into a didactic function, the autonomy in posing relevant and critical questions for the communication and evaluation of the transmission of knowledge will be assessed.
In particular, the project is a micro-lesson, which is presented during the oral discussion, accompanied by a report. The exams are individual, and the projects and reports must be traceable to a single person. Students are encouraged to work in groups, and collaborate to achieve the stated goals.
The explicit description of the nature of the projects will be illustrated during the course. Guidelines will be published on the e-learning space, and may vary according to the number and nature of course participants. The specific topics, dates and concrete methods of assessment will be discussed and negotiated with students. More information will be given in class and in the e-learning area of the course.
The final grade (max 30) expresses an overall evaluation of everything that contributes to the achievement of the objectives described above.
Qualitative evaluation of learning outcomes, aligned with standard descriptors used in higher education (EHEA / ANVUR).
30 cum laude
- Comprehensive, rigorous, and well-structured knowledge, exceeding course expectations.
- Confident, autonomous, and creative application of methods to non-standard problems.
- Excellent critical thinking and independent reflection.
- Flawless exposition, precise and effective use of formal language.
29-30
- Complete and accurate knowledge of the course content.
- Appropriate and autonomous application of methods to complex problems.
- Good independent reasoning.
- Correct technical language, clear and coherent exposition.
27–28
- Solid and well-organized knowledge.
- Correct application to standard and articulated problems.
- Well-developed synthesis and reasoning skills.
- Clear exposition with appropriate disciplinary language.
24–26
- Generally secure knowledge, with minor inaccuracies.
- Correct application of familiar methods to standard problems.
- Some autonomy in reasoning.
- Generally clear exposition, with room for improvement in precision.
21–23
- Partial and sometimes inaccurate or incomplete knowledge.
- Mechanical or uncertain application of methods.
- Limited independent reasoning; difficulties with non-standard situations.
- Unclear exposition or improper use of technical language.
18–19
- Minimal and fragmented knowledge, barely sufficient.
- Elementary and often guided application.
- No conceptual autonomy.
- Weak exposition, frequently imprecise language.
Office hours
On appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Davide Luigi Ferrario
-
Samuele Mongodi
