Course Syllabus
Obiettivi
Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso fornisce una solida conoscenza teorica delle equazioni alle derivate parziali (EDP) lineari, con elementi introduttivi alle equazioni non lineari, e sviluppa la comprensione dei principali risultati analitici, metodi e tecniche dimostrative nell'ambito dell'analisi matematica avanzata.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Gli studenti saranno in grado di applicare i concetti teorici appresi alla risoluzione di esercizi, allo studio di modelli e alla formulazione rigorosa di problemi differenziali, anche in ambiti interdisciplinari.
Autonomia di giudizio
Il corso stimola lo sviluppo della capacità critica e dell’autonomia nella valutazione dei metodi analitici più appropriati per affrontare problemi di tipo modellistico e teorico, nonché nella validazione dei risultati ottenuti.
Abilità comunicative
Gli studenti acquisiranno la capacità di esporre con chiarezza e rigore argomenti e dimostrazioni relative all’analisi reale e alle EDP, utilizzando il linguaggio matematico formale sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendere
Il corso promuove l’acquisizione di un metodo di studio autonomo e avanzato, necessario per affrontare la letteratura specialistica e proseguire in attività di ricerca o in contesti applicativi ad alto contenuto scientifico.
Contenuti sintetici
Teoria spettrale per operatori autoaggiunti e compatti. Equazioni ellittiche: regolarità, principi del massimo, autovalori e autofunzioni del Laplaciano. Integrale di Bochner. Equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico: soluzioni deboli, metodo di Galerkin, stime dell'energia e principio del massimo. Introduzione alla teoria dei semigruppi di evoluzione in spazi di Banach.
Programma esteso
Equazioni ellittiche del secondo ordine: regolarità delle soluzioni deboli, principi del massimo debole e forte.
Teoria spettrale: operatori aggiunti, autoaggiunti, compatti, spettro. Spettro di un operatore compatto. Teorema dell'alternativa di Fredholm. Teorema di decomposizione spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano.
Integrale di Bochner: Definizione, principali caratteristiche e spazi di Sobolev definiti tramite l'integrale di Bochner.
Equazioni di tipo parabolico: Soluzioni deboli per equazioni paraboliche del secondo ordine. Metodo di Galerkin. Stime dell'energia, esistenza e unicità di soluzioni deboli. Principio del massimo. Rappresentazione delle soluzioni dell'equazione del calore tramite le autofunzioni del laplaciano.
Introduzione alla teoria dei semigruppi di evoluzione in spazi di Banach: Semigruppi uniformemente continui e fortemente continui, prime proprietà e loro generatori. Insieme risolvente e operatore risolvente. Semigruppi di contrazioni e proprietà dei loro generatori. Il teorema di Hille-Yosida.
Prerequisiti
Spazi di Banach e di Hilbert, spazi Lᵖ, loro duali e rispettive proprietà, spazi di Sobolev e teoremi di immersione.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa in presenza (8 cfu)
Corso erogato in lingua italiana con possibilità di erogazione in lingua inglese in caso di richiesta/presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Pagina del corso: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=62151
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta e in una sua discussione orale.
La prova scritta consiste in un breve saggio. Verrà richiesto di svolgere due temi su quattro proposti, uno riguardante la prima parte del corso e uno riguardante la seconda, con due ore di tempo a disposizione. L’esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema svolto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
La discussione orale si terrà qualche giorno dopo la prova scritta e consisterà in una breve discussione e correzione della prova scritta e verificherà la padronanza degli argomenti riportati nell’elaborato. Non verranno chiesti altri argomenti o dimostrazioni al di fuori dei due temi svolti.
Voto finale in trentesimi.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Knowledge and understanding
The course provides a solid theoretical background in linear partial differential equations (PDEs), with introductory elements on nonlinear equations, and develops understanding of the main analytical results, proof techniques, and methods in advanced mathematical analysis.
Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the theoretical concepts to solve exercises, analyze models, and rigorously formulate differential problems, also in interdisciplinary contexts.
Making judgements
The course fosters critical thinking and autonomy in selecting appropriate analytical tools for modeling and theoretical problems, as well as in validating the obtained results.
Communication skills
Students will develop the ability to clearly and rigorously present topics and proofs related to real analysis and PDEs, using formal mathematical language both in written and oral form.
Learning skills
The course promotes the development of an autonomous and advanced study method, essential for reading specialized literature and for continuing with research or high-level scientific applications.
Contents
Spectral theory for compact and selfadjoint operators. Elliptic equations: regularity, maximum principles, eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian. Transport equation and characteristics. Bochner's integral. Parabolic partial differential equations: weak solutions, Galerkin method, energy estimates and maximum principle. Introduction to the theory of evolution semigroups in Banach spaces.
Detailed program
Second order elliptic equations: regularity of weak solutions, weak and strong maximum principles.
Spectral theory: adjoint, selfadjoint, compact operators, spectrum. Spectrum of compact operators. Fredholm alternative. Spectral decomposition of selfadjoint compact operators. Eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian.
Transport equation: The method of characteristics.
Bochner integral: Definition, main properties and Sobolev spaces defined with the Bochner integral.
Parabolic equations: Weak solutions for second order parabolic equations. Galerkin's method. Energy estimates, existence and uniqueness of weak solutions. Maximum principle.
Introduction to the theory of evolution semigroups in Banach spaces: Uniformly continuous and strongly continuous semigroups, basic properties and their generators. Resolvent set and resolvent operator. Contraction semigroups and properties of their generators. The Hille–Yosida theorem.
Prerequisites
Banach and Hilbert spaces, Lᵖ spaces, their duals and properties, Sobolev spaces and immersion theorems.
Teaching form
56 hours of classroom lessons, delivered didactics (8 ECTS credits)
Course delivered in Italian with the possibility of being delivered in English if foreign students request it.
Textbook and teaching resource
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Course webpage: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=62151
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam consists of a written examination and an oral discussion.
The written examination consists in a short essay. The student is asked to develop two topics out of four proposed in two hours. The first chosen topic must be related to the first part of the course and the second topic to the second part. The exposition must be precise, detailed, exhaustive and consistent with the chosen topics and must contains some of the most significant proofs. The ability to present a selection of significant proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course, also by the illustration of examples and counter-examples are evaluated.
The oral discussion is held a few days after the written examination and consists in a short discussion and correction of the short essay. It verifies the mastery of the chosen topics. No other topics or proofs are asked outside of the two chosen topics.
Final grade out of thirty.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Graziano Guerra
