Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo del corso è di affrontare alcuni argomenti classici nella topologia algebrica e computazionale dei complessi simpliciali, introducendo teorie di omologia, coomologia con alcune applicazioni recenti.
Obiettivi formativi (secondo i Descrittori di Dublino)
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza solida e teoricamente fondata degli strumenti fondamentali della topologia algebrica classica e computazionale, in particolare dell’omologia e della coomologia dei complessi simpliciali, nonché delle principali applicazioni a problemi recenti in matematica e in ambiti interdisciplinari. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di applicare in modo autonomo i metodi omologici e coomologici allo studio di spazi topologici discreti e a modelli computazionali, con attenzione sia agli aspetti teorici sia agli algoritmi effettivi, anche mediante l’uso di software matematici. -
Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente problemi topologici e strutture combinatorie, valutando l’efficacia delle tecniche computazionali e dei modelli teorici impiegati, e saprà confrontare approcci differenti alla risoluzione di problemi. -
Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di esporre in modo rigoroso e chiaro concetti e risultati della topologia algebrica e computazionale, sia in contesti formali sia in discussioni seminariali, con un uso corretto del linguaggio matematico astratto e computazionale. -
Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà le competenze necessarie per approfondire autonomamente ulteriori sviluppi teorici e applicativi della topologia algebrica e della topologia computazionale, anche in vista di attività di ricerca o applicazioni interdisciplinari.
Contenuti sintetici
Complessi simpliciali, omologia e coomologia dei poliedri, varietà triangolabili, applicazioni all’analisi di dati e ai sistemi dinamici.
Programma esteso
Richiami su spazi topologici, connessione e compattezza. Spazi topologici euclidei, e spazi di funzioni. Cenni sulle categorie e i diagrammi di push-out. Complessi simpliciali. Complessi di catene. Assiomi per l' omologia. Introduzione all'algebra omologica. Categoria dei poliedri. Omologia dei poliedri. Varietà triangolabili.
Prodotti di poliedri. Coomologia di poliedri. L'anello in coomologia, il prodotto cap. Superfici e classificazione. Dualità di Poincaré. Gruppo fondamentale di poliedri. Gruppo fondamentale e omologia. Applicazioni: omologia computazionale, omologia persistente, analisi di dati e sistemi dinamici.
Prerequisiti
Corsi di base di geometria e algebra della Laurea Triennale.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni (56 ore) sono in presenza e si svolgono in italiano e, ove necessario, in inglese.
Materiale didattico
Per la prima parte di topologia algebrica, il corso seguirà le dispense, caricate sulla pagina e-learning "Appunti di Topologia Algebrica".
Ulteriori testi di appoggio sono i seguenti:
Rotman J.J. "Advanced Modern Algebra", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010.
(per la primissima parte di requisiti algebrici)
Rotman J.J. "Algebraic Topology. An Introduction" Graduate Texts in
Mathematics, Springer-Verlag, 1998.
Munkres, J.R., "Elements of algebraic topology", Addison-Wesely Pub. 1984
(per la successiva parte di studio delle teorie omologiche simpliciali e singolari)
Per la seconda parte di topologia computazionale, il corso si appoggerà sul seguente testo:
Ferrario, Piccinini, "Simplicial structures in topology". CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale, di norma alla lavagna, su un argomento concordato prima con i docenti. L'argomento può essere un approfondimento o rielaborazione di un tema affrontato nel corso, sia teorico che applicativo, o una applicazione. Viene valutata la conoscenza dell'argomento, la capacità di sintesi e la chiarezza espositiva, la lucidità del percorso, la capacità di rispondere a domande di chiarimento o di fornire semplici esempi e controesempi, e di sostenere una breve discussione sul tema presentato.
In occasione di ogni appello d'esame, il calendario dettagliato degli esami individuali, comprensivi delle esposizioni teoriche, verrà anch'esso concordato anticipatamente col docente.
Sintetizzando: la data e il contenuto dell'esposizione vanno concordati prima con il docente.
Il voto è in trentesimi, ed esprime una valutazione complessiva di tutto cioè che concorre al raggiungimento degli obiettivi formativi sopra descritti. Cioè, è frutto di una valutazione complessiva delle varie caratteristiche della prova. Per esempio: chiarezza, rigore, autonomia di giudizio, capacità di scegliere esempi e di illustrare l'argomento in modo efficace.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to take some classical topics in algebraic and computational topology of simplicial complexes, introducing homology theory, cohomology theory, with some recent applications.
Learning Outcomes (according to the Dublin Descriptors)
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Knowledge and understanding
The student will acquire a solid and theoretically grounded understanding of classical and computational algebraic topology, focusing on homology and cohomology of simplicial complexes, together with insight into their recent applications in mathematics and interdisciplinary fields. -
Applying knowledge and understanding
The student will be able to autonomously apply homological and cohomological methods to the study of discrete topological spaces and computational models, addressing both theoretical aspects and effective algorithms, including the use of mathematical software tools. -
Making judgements
The student will develop the ability to critically analyse topological problems and combinatorial structures, evaluate the effectiveness of computational techniques and theoretical models used, and compare alternative approaches to problem solving. -
Communication skills
The student will be able to present concepts and results in algebraic and computational topology with clarity and rigour, in both formal academic contexts and seminar discussions, using appropriate abstract and computational mathematical language. -
Learning skills
The student will develop the ability to independently explore further theoretical and applied developments in algebraic and computational topology, in view of future research or interdisciplinary applications.
Contents
Simplicial complexes, homology and cohomology of polyhedra, triangulable manifolds, applications to data analysis and dynamical systems.
Detailed program
Fundamental concepts: topological spaces, connectedness, compactness, function spaces, general ideas on Categories, push-out diagrams. Simplicial complexes. Chain complexes. Homology. Axioms for homology. Introduction to homological algebra. Category of polyhedra. Homology of polyhedra. Triangulable manifolds.
Cohomology ring, cap product. Triangulable manifolds. Surfaces and classification. Poincaré Duality. Fundamental group of polyhedra. Fundamental group and homology. Applications to: computational homology, persistent homology, data analysis and dynamical systems.
Prerequisites
Basic topics covered in bachelor courses of geometry and algebra
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.
Lectures (56 hours) are conducted in person and are primarily in Italian, and when necessary, in English.
Textbook and teaching resource
For the first part of Algebraic Topology, the course will follow the lecture notes uploaded on the e-learning page "Appunti di Topologia Algebrica".
Additional reference texts include:
Rotman, J.J., Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010.
(for the very first part covering algebraic prerequisites)
Rotman, J.J., Algebraic Topology: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1998.
Munkres, J.R., Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley Pub., 1984.
(for the subsequent part on simplicial and singular homology theories)
For the second part, on Computational Topology, the course will rely on the following text:
Ferrario, D.L., Piccinini, R.A., Simplicial Structures in Topology, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi + 243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4.
Semester
2S
Assessment method
Oral examination on the topics covered in the course, with in-depth analyis and re-elaboration of them with a personal perspective. The date and the content of the seminar, which is part of the exam, have to be first discussed with the teacher.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Davide Luigi Ferrario
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Michele Rossi
