Course Syllabus
Obiettivi
1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Al termine del corso, lo studente avrà acquisito una conoscenza approfondita di tecniche moderne per l’analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare attenzione a quelle di tipo ellittico. Tali conoscenze si baseranno su contenuti avanzati, coerenti con lo sviluppo teorico della disciplina a livello universitario di secondo ciclo.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding)
Lo studente sarà in grado di applicare i risultati teorici esposti nel corso a problemi concreti di risoluzione di equazioni alle derivate parziali. Ciò sarà facilitato dall’analisi di esempi e dallo svolgimento di esercizi, che stimoleranno l’applicazione operativa delle conoscenze in contesti sia teorici sia pratici.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements)
Lo studente svilupperà la capacità di affrontare in modo autonomo e critico problemi di natura variazionale, di minimizzazione e topologica. Sarà in grado di selezionare e utilizzare con giudizio i metodi appresi, anche in presenza di informazioni parziali o ambigue, e di valutare l’adeguatezza degli strumenti matematici scelti per ciascun problema.
4. Abilità comunicative (Communication skills)
Attraverso l'acquisizione del linguaggio specialistico e del formalismo matematico relativo alle tematiche trattate, lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, rigoroso e coerente i concetti appresi, sia in ambito accademico che professionale, interagendo efficacemente con interlocutori specialisti e non specialisti.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills)
Lo studente maturerà la capacità di apprendere in modo autonomo e continuo, applicando le conoscenze acquisite anche a contesti differenti da quelli affrontati durante le lezioni. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio individuale di testi scientifici avanzati, sviluppando competenze utili per la prosecuzione degli studi o per attività di ricerca.
Contenuti sintetici
- Ripasso di alcune tematiche di analisi reale e funzionale
- Teoremi di punto fisso ed applicazioni.
- Metodi approssimati di Galerkin.
- Problemi di minimo: risultati generali, teoremi astratti, e ruolo della compattezza.
- Metodi variazionali per la ricerca di punti critici di tipo sella.
Programma esteso
- Ripasso di alcune tematiche di analisi reale e funzionale
- Teoremi di punto fisso ed applicazioni.
- Metodi approssimati di Galerkin.
- Problemi di minimo: risultati generali, teoremi astratti, e ruolo della compattezza.
- Metodi variazionali per la ricerca di punti critici di tipo sella.
Prerequisiti
Basi di analisi matematica e di analisi funzionale.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu)
Materiale didattico
Il testo di riferimento sarà
- H. Le Dret. Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations. Springer-Verlag.
Altri testi di consultazione:
- A. Ambrosetti, G. Prodi. A primer of nonlinear analysis. Cambridge University Press.
- M. Badiale, E. Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners. Springer-Verlag.
- L. C. Evans. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
- O. Kavian. Introduction à la théorie des points critiques. Springer, 1993.
- M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. Springer-Verlag.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Saggio breve in forma scritta. Voto in trentesimi. All'esame viene richiesto di svolgere due temi su tre proposti con due ore di tempo a disposizione. L'esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema richiesto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
1. Knowledge and understanding
At the end of the course, students will have acquired an in-depth understanding of modern techniques for the analysis of partial differential equations, with a particular focus on elliptic types. This knowledge will be grounded in advanced topics consistent with second-cycle university-level study in mathematics.
2. Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the theoretical results presented during the course to concrete problems involving partial differential equations. This ability will be developed through the analysis of various examples and practical exercises, encouraging both theoretical insight and problem-solving skills.
3. Making judgements
Students will develop the ability to independently and critically approach variational, minimization, and topological problems. They will be able to select and appropriately apply the most suitable mathematical methods learned during the course, even in cases where data may be incomplete or uncertain.
4. Communication skills
Through the acquisition of the appropriate mathematical language and formalism, students will be able to communicate the acquired knowledge with clarity, rigor, and coherence. They will be capable of discussing mathematical concepts effectively with both specialist and non-specialist audiences.
5. Learning skills
Students will acquire the ability to learn autonomously and continuously, applying the knowledge gained in contexts different from those presented in class. They will also be able to independently study advanced scientific texts, thereby developing skills useful for further academic study or research activities.
Contents
- Review of some tools from real and functional analysis
- Fixed point theorems and applications.
- Approximation methods à la Galerkin.
- Minimization of functionals: general results, abstract theorems and compactness.
- Variational methods for finding saddle-like critical points.
Detailed program
- Review of some tools from real and functional analysis
- Fixed point theorems and applications.
- Approximation methods à la Galerkin.
- Minimization of functionals: general results, abstract theorems and compactness.
- Variational methods for finding saddle-like critical points.
Prerequisites
Fundamentals of Mathematical Analysis and Functional Analysis.
Teaching form
56 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
Textbook and teaching resource
Reference textbook:
- H. Le Dret. Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations. Springer-Verlag.
Other usefule books:
- A. Ambrosetti, G. Prodi. A primer of nonlinear analysis. Cambridge University Press.
- M. Badiale, E. Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners. Springer-Verlag.
- L. C. Evans. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
- O. Kavian. Introduction à la théorie des points critiques. Springer, 1993.
- M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. Springer-Verlag.
Semester
Second semester.
Assessment method
Written examination. Mark out of thirty. The student is asked to develop two topics out of three proposed at the examination in two hours. The written discussion must be precise, detailed, comprehensive and consistent with the proposed topic. Moreover it must contain some of the most significant proofs. The ability to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course is evaluated, also by the illustration of examples and counterexamples.
Office hours
By appointment.
Staff
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Simone Secchi