Syllabus del corso
Obiettivi
- Conoscenza e capacità di comprensione Gli studenti e le studentesse avranno acquisito una solida conoscenza dei fondamenti della geometria Complessa, in particolare superfici di Riemann, varietà compesse, metriche di Kähler. Sapranno comprendere il legame tra strutture complesse e propreità geometriche algebriche.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione Gli studenti e le studentesse saranno in grado di applicare le nozioni apprese a esempi concreti, verificando le proprietà geometriche delle varietà complesse. Sapranno studiare la geometria di superficie di Riemann, analizzare una metrica di Kaehler anche per esempi significativi, verificare se una varietà copmlessa è algebrica.
- Autonomia di giudizio L'insegnamento mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente e produrre giuizi autonomi sulla base degli strumenti appressi.
- Abilità comunicative Gli strummenti appresi daranno a sudenti e sdudentesse la capacità di formulare agomenti chiari e rigorosi per descivere, sia oralmente che per iscritto, proprietà di varietà complesse.
- Capacità di apprendere L'insegnamento fornirà gli strumenti teorici e metodologici per affrontare in autonomia lo studio di sviluppi avanzati della geometria Complessa e Algebrica.
Contenuti sintetici
Superfici di Riemann, varietà complesse, divisori , line budle, meritche di Kähler.
Programma esteso
- superfici di Riemann
- funzioni olomorfe e meromorfe
- rivestimenti ramificati
- teorema di Rimann-Hurwitz
- forme olomorfe e meromorfe
- teorema di Riemann-Roch
- funzioni olomorfe in più variabili
- varietà complesse
- divisori e line bundle
- scoppiamenti in punti
- metriche di Kähler
Prerequisiti
Nozioni di base algebra lineare e multilineare, topologia generale, calcolo differenziale in più variabili. Utili gli argomenti del corso di Analisi Complessa del III anno.
Modalità didattica
28 lezioni da 2 ore svolte in modalità erogativa, in presenza. Il corso sarà tenuto in lingua italiana, o inglese se necessario.
Materiale didattico
- P. Griffiths Introduction to Algebraic Curves (AMS)
- Jost, J. Compact Riemann Surfaces (Springer)
- Huybrechts, D. Complex Geometry: an introduction (Springer)
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale sul contenuto del corso, approfondimenti, rielaborazione ed esposizione personale.
Durante l'orale è possibile che venga chiesta la risoluzione di esercizi semplici, e rilevanti con il programma svolto, assieme alla discussione degli aspetti teorici. Il voto è complessivo, senza che ci siano voti disgiunti per la capacità di risolvere esercizi o di affrontare argomenti teorici.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
- Knowledge and Understanding Students will have acquired a solid foundation in the fundamentals of Complex Geometry, particularly Riemann surfaces, complex manifolds, and Kähler metrics. They will understand the connection between complex structures and algebraic-geometric properties.
- Ability to Apply Knowledge and Understanding Students will be able to apply the concepts they have learned to concrete examples, verifying the geometric properties of complex manifolds. They will be capable of studying the geometry of Riemann surfaces, analyzing a Kähler metric (including significant examples), and determining whether a complex manifold is algebraic.
- Independent Judgment The course aims to develop students' ability to critically analyze and form independent judgments based on the tools they have acquired.
- Communication Skills The tools learned will enable students to formulate clear and rigorous arguments—both orally and in writing—to describe the properties of complex manifolds.
- Learning Skills The course will provide the theoretical and methodological tools needed to independently pursue advanced studies in Complex and Algebraic Geometry.
Contents
Riemann surfaces, complex manifolds, divisors, line bundles, Kähler metrics.
Detailed program
- Riemann surfaces
- Holomorphic and meromorphic functions
- branched coverings
- Rimann-Hurwitz Thereom
- Holomorphic and meromorphic forms
- Riemann-Roch Theorem
- holomorphic functions in several variables
- complex manifolds
- divisors and line bundles
- blow-up in a point
- Kähler metrics
Prerequisites
Fundamentals of linear and multilinear algebra, general topology, and multivariable differential calculus. Topics from the third-year Complex Analysis course will be useful.
Teaching form
28 2-hour lectures, delivered in-person in a didactic format. In Italian, or english if needed.
Textbook and teaching resource
- P. Griffiths Introduction to Algebraic Curves (AMS)
- Jost, J. Compact Riemann Surfaces (Springer)
- Huybrechts, D. Complex Geometry: an introduction (Springer)
Semester
First semester
Assessment method
The exam will cover the course content, further insights, as well as highlights independent analysis and delivery.
During the oral exam, students may be asked to solve simple exercises relevant to the course program, alongside a discussion of theoretical aspects. The final overall grade, with no separate scores for problem-solving abilities or theoretical knowledge.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Alberto Della Vedova
