- Basic Calculus - 1
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso mira a fornire agli studenti una solida base matematica, indispensabile per affrontare con successo corsi avanzati in economia e finanza. La presentazione degli argomenti teorici sarà affiancata da esercitazioni in aula, con l’obiettivo di sviluppare la capacità di risolvere esercizi in modo autonomo.
Risultati di apprendimento attesi (Descrittori di Dublino):
1. Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del corso, gli studenti dovranno aver compreso il concetto di funzione reale di una e di due variabili reali, saperne analizzare le caratteristiche fondamentali e riuscire a rappresentarle graficamente.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La capacità di analisi ed interpretazione delle funzioni e delle loro proprietà, che lo studente avrà acquisito alla fine del corso, è fondamentale per comprendere modelli matematici ampiamente utilizzati in economia e finanza. Alcuni ambiti di applicazione sono ad esempio i modelli per prezzare gli strumenti derivati, le funzioni di utilità per descrivere le preferenze di un agente, le funzioni di costo e di produzione di un'impresa.
3. Autonomia di giudizio
Gli studenti svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per interpretare e valutare problemi economici e finanziari espressi in termini matematici.
4. Abilità comunicative
Gli studenti acquisiranno dimestichezza con il linguaggio matematico e impareranno ad esprimere in modo chiaro e rigoroso le conoscenze apprese nel corso.
5. Capacità di apprendere
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare con maggiore consapevolezza e successo studi in ambito quantitativo di livello avanzato.
Contenuti sintetici
Studio di funzione reale di variabile reale. Cenni alle successioni e alle funzioni a due variabili.
Programma esteso
Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Trasformazioni del grafico di funzioni. Funzione inversa. Funzione composta. Limiti: definizione, calcolo e teoremi relativi. Funzioni continue: definizione, teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità. Infiniti e infinitesimi. Forme di indecisione e loro risoluzione. Equivalenza asintotica, o-piccolo. Definizione di derivata, calcolo e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat. Teorema di de l’Hospital. Monotonia e derivata prima. Punti di massimo e minimo. Convessità e derivata seconda. Punti di flesso. Studio completo di funzione: dominio, simmetrie, segno e intersezione con gli assi, limiti e asintoti, monotonia, convessità, grafico qualitativo. Formula di Taylor. Cenni a successioni. Funzioni a due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Prerequisiti
Insiemi N,Z,Q,R. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed esponenziali.
Sistema di riferimento cartesiano: retta, circonferenza e parabola.
Metodi didattici
Il corso si svolgerà prevalentemente in presenza con lezioni ed esercitazioni frontali. Il docente si riserva la possibilità di svolgere una piccola percentuale delle ore di lezione/esercitazione (comunque al di sotto del 30% delle ore totali) da remoto. Le lezioni da remoto saranno comunicate con congruo preavviso da parte del docente e potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente. Circa il 90% del corso sarà in DE, il restante 10% in DI.
L'insegnamento prevede:
-40 ore di lezione;
-12 ore di esercitazione
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta suddivisa in domande aperte ed esercizi. Le domande aperte valutano la capacità dello studente di utilizzare un corretto linguaggio matematico, la sua comprensione dei teoremi e delle dimostrazioni viste a lezioni e dei passaggi logici utilizzati. Gli esercizi valutano la capacità dello studente di applicare i teoremi o le metodologie studiati nel corso.
Una volta superato l'esame scritto, è possibile sostenere una prova orale facoltativa.
Il corso non prevede il frazionamento dell'esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims at providing students with a solid mathematical basis, which is a foundamental prerequisite for advanced studies in economics and finance. The theoretical explanation will be complemented by classroom exercises, with the goal of supporting the development of an independent approach to
problem-solving.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
1. Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the main topics covered, which are mainly related to the analysis and representation of one and two variables functions.
2. Applying knowledge and understanding
Students will be able to understand and effectively apply mathematical methods to solve practical problems. Several applications in economics and finance require a solid mathematical basis. Some examples are the option pricing models, the utility functions used to describe agents' preferences and the frims' cost and production functions.
3. Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and evaluating mathematically formulated problems in economics and finance.
4. Communication skills
Students will be able to use clear and precise mathematical language, enabling them to accurately and coherently communicate the knowledge acquired.
5. Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to succeed in advanced quantitative studies.
Contents
Study of real functions of one real variable. Introduction to sequences and functions of two variables.
Detailed program
Definition of function, field of existence, definition of image and image set, graphical representation. Transformations of graphs. Inverse function. Composite function. Limits: definition, solution and theorems. Continuity: definition and theorems (Weierstrass, Darboux). Discontinuity points. Infinite and infinitesimal order. Techniques for solving some indeterminate forms. Asymptotic equivalence. Negligible function (little-o). Derivatives: definition, computation and geometric interpretation. Continuity-differentiability relation. De L'Hopital's rule; Rolle's theorem; Lagrange's theorem, Fermat's theorem. Monotonicity and first derivative. Critical points and local extrema. Convexity and second derivative. Inflection points. Complete function study. Taylor formula. Introduction to numerical sequences. Two variables functions: domain, level curves, gradient and stationary points.
Prerequisites
Sets N,Z,Q,R. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponential inequalities.
Cartesian coordinate system: straight line, circumference and parabola.
Teaching methods
The lessons will be held mainly in presence with traditional lectures and exercises. A small percentage (anyway, smaller than 30%) could be held remotely. Remote lessons will be communicated in advance.
The course consists of:
-40 hours of lectures;
-12 hours of exercises.
About 90% of the course will be lecture-based mode (DE), the remaining 10% in interactive teaching mode (DI).
Assessment methods
The written exam consists of open theoretical questions and exercises.
The open questions evaluate the student's ability to use correct mathematical language, understand the theorems and proofs explained in lectures, and apply the logical steps used in these proofs. The exercises assesse the student's ability to apply theorems and methodologies studied in the course.
After passing the written exam, it is possible an optional oral exam.
There are no intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Semester
First term, first year
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Key information
Staff
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Rosanna Grassi
-
Chiara Pederzoli