Syllabus del corso
Obiettivi
Contenuto:
- Studio approfondito della relatività ristretta di Einstein e discussione di alcune applicazioni notevoli.
- Formulazione covariante delle leggi della dinamica relativistiche e dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell).
- Formalismo Lagrangiano e introduzione alla teoria classica dei campi, prerequisito fondamentale per la teoria quantistica dei campi.
Schematicamente gli obiettivi si possono suddividere in 5 categorie:
- Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente apprendera' le nozioni di base della relativita' speciale formulata in modo covariante (invariante "a vista") e sapra' connettere tale formulazione con quanto gia' appreso in corsi precedenti. Inoltre, acquisira' conoscenze di base della teoria dei campi classica.
- Conoscenza e capacità di comprensione applicate: lo studente dovrà essere in grado di utilizzare il formalismo tensoriale per affrontare semplici calcoli o manipolazioni nell'ambito della cinematica relativistica, dell'elettrodinamica classica e della teoria dei campi classica.
- Autonomia di giudizio: lo studente svilupperà capacità critiche e di giudizio nel saper scegliere tra gli strumenti forniti a lezione quello più appropriato per la soluzione di un determinato problema specifico.
- Abilità comunicative: lo studente dovrà acquisire un linguaggio scientifico corretto e appropriato alle tematiche svolte nel corso.
- Capacità di apprendere: lo studente sarà in grado di approfondire concetti specifici, non presentati durante il corso, e di proseguire in modo autonomo nello studio avanzato su testi scientifici specializzati.
Piu' specificamente, al termine del corso, lo studente
- sarà in grado di utilizzare l'apparato matematico alla base della formulazioni "covariante" della relativita' speciale (4-vettori, tensori), sia per la discussione teorica dei concetti fondamentali, sia per la risoluzione di problemi di cinematica e di elettromagnetismo
- sara' in grado di connettere la formulazione non covariante dell'elettrodinamica con quella covariante
- sapra' ricavare le equazioni del moto per una particella o per un campo (scalare o vettoriale) a partire dall'azione e discutere contenuto e leggi di conservazione del tensore energia-impulso
Contenuti sintetici
Relatività ristretta di Einstein. Formulazione covariante della dinamica relativistica e dell'elettrodinamica classica. Formalismo lagrangiano relativisticamente invariante. Teoria classica dei campi: campi scalari e vettoriali.
Programma esteso
Introduzione alle trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Formulazione covariante della relativita' (tetra-vettori e tensori). Gruppo di Lorentz.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Brevi richiami di Meccanica Classica ed Elettromagnetismo (EM) (principio di relativita', trasformazioni di Galilei, eq. di Maxwell, eq. delle onde). Non invarianza dell'EM per trasformazioni di Galilei. Brevi cenni storici a ipotesi dell'etere e ruolo dell'esperimento di Michelson-Morley.
- Basi della relatività ristretta: sistemi inerziali, sincronizzazione orologi, postulati, eventi e intervallo tra eventi. Invarianza della velocità della luce e Trasformazioni di Lorentz.
- Ripasso sulle conseguenze delle trasformazioni di Lorentz: dilatazione tempi, contrazione lunghezze, tempo proprio. Diagrammi di Minkowski. Simultaneita', causalita'. Composizione relativistica delle velocità. Boost in direzione generica.
- Breve discussione dei "paradossi" più famosi e di applicazioni fisiche rilevanti.
- Notazione compatta (in componenti) per spazio Euclideo: vettori, operatori differenziali e identita' varie. Equazioni di Maxwell (per campi e per potenziali) in componenti.
- Relativita' ristretta in notazione covariante: spazio-tempo di Minkowski, metrica, calcolo tensoriale (vettori covarianti e controvarianti, tensori, tensore metrico, quantita' scalari, operatori differenziali). Elementi di geometria differenziale (+).
- Covarianza (invarianza in forma) delle leggi fisiche e principio di relativita'.
- Gruppo di Lorentz: proprieta' generali, sottogruppi e classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee. Generatori e algebra del gruppo di Lorentz ristretto.
- Cinematica relativistica in notazione covariante: tetra-velocita' e tetra-accelerazione, quadrivettore energia-impulso e sue proprieta'. Relazione di Einstein tra energia e massa, conservazione dei tetra-momenti per arbitrari processi di urto.
- Cinematica relativistica: esercizi e applicazioni.
- Composizione di boost di Lorentz in direzioni non parallele e precessione di Thomas.
Dinamica relativistica di una particella; equazioni di Maxwell in forma covariante.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dinamica di una particella in moto relativistico: quadriforza relativistica e legge fondamentale della dinamica.
- Equazioni di Maxwell in forma covariante: quadri-corrente, equazione di continuita', quadripotenziali, trasformazioni di gauge, il tensore Fμν. Leggi di trasformazione dei campi elettrici e magnetici tra sistemi inerziali. Invarianti del campo elettromagnetico.
- Forza di Lorentz in forma covariante. Interazione di campi elettromagnetici con cariche: studio di moti di particelle cariche in campi elettrici e magnetici costanti e uniformi.
- Moto di una particella carica con spin in un campo elettromagnetico.
- Interazione "spin-orbit" di un elettrone in un campo centrale.
- Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi (+).
- Soluzione delle equazione delle onde in forma covariante (+).
- Radiazione da cariche in moto (+).
Formulazione Lagrangiana dell'elettrodinamica. Campi scalari e vettoriali classici. Tensore energia-impulso.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principio di minima azione e formulazione Lagrangiana delle equazioni del moto relativistiche per particella libera e per carica immersa in campo elettromagnetico.
- Teoria classica dei campi: introduzione e equazioni di Eulero Lagrange.
- Campi scalari ed equazione di Klein-Gordon.
- Tensore energia-impulso.
- Campi vettoriali: la Lagrangiana del campo elettromagnetico libero e in interazione.
- Il tensore energia-impulso per campi elettromagnetici liberi ed in interazione.
- Teorema di Noether (+).
(+) = argomenti avanzati (trattati solo se ci sara' tempo, ma l'obiettivo e' di discuterli tutti)
Prerequisiti
Meccanica classica, elettrodinamica classica, analisi matematica.
(ossia il contenuto dei corsi di Fisica 1, Fisica 2, Analisi 1 e 2, Meccanica Classica, Matematica per la Fisica)
A livello puramente matematico, e' fondamentale una solida conoscenza su:
- operazioni di base dell'algebra lineare (per es, determinante di un prodotto di matrici, inversa di un prodotto di matrici, prodotto vettoriale in componenti)
- espansioni di Taylor al primo ordine
- risoluzione di equazioni differenziali lineari, integrali elementari
- delta di Dirac e sue proprieta'
Modalità didattica
Didattica erogativa in presenza (lezioni frontali alla lavagna)
Materiale didattico
Testi principali:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Altri testi utili:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4.
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Parti rilevanti disponibili alla pagina web del docente.
- Note varie, materiale complementare e temi d'esame degli anni passati sono disponibili alla pagina web https://virgilio.mib.infn.it/~re
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova orale, con domande da parte del docente (non ci sara' la possibilita' di cominciare il colloquio con un argomento a scelta).
Tale prova sondera' non solo la conoscenza di tutti gli argomenti discussi durante il corso, ma anche la capacita' di utilizzare il formalismo appropriato e la effettiva comprensione degli argomenti stessi. Si suppone che gli studenti siano in grado di usare il formalismo anche in semplici esempi, analoghi ma non identici a quelli visti a lezione.
Nel corso dell'anno sono previsti cinque appelli d'esame, nei seguenti periodi: gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre.
In sesto appello viene organizzato, in un periodo opportuno, per agevolare il sostenimento degli esami del terzo anno da parte degli studenti.
Il metodo valutativo di cui sopra si applichera' di default per tutti gli studenti. Chi ha seguito il corso fino al 2024-2025 ha la facolta' di optare per prova scritta + orale, informando il docente con qualche giorno di preavviso rispetto a data esame e verra' informato a tempo debito dell'aula dove si svolgera' la prova scritta. In assenza di comunicazioni esplicite da parte di tali studenti verso il docente, sara' assunto che la modalita' d'esame sara' quella nuova (solo prova orale).
Per studenti erasmus: se necessario, e' possibile sostenere l'esame orale in lingua inglese.
Orario di ricevimento
Previo appuntamento via email col docente.
Sustainable Development Goals
Aims
Contents:
- Detailed study of Einstein's special relativity and of some of its main consequences.
- Covariant formulation of the laws of relativistic dynamics and of the electromagnetism (Maxwell equations).
- Lagrangian formalism and introduction to classical field theory, fundamental prerequisite for quantum-field-theory studies.
The objectives can be schematically divided into five categories:
- Knowledge and understanding: Students will learn the fundamental concepts of special relativity formulated in a covariant (manifestly invariant) way, and will be able to connect this formulation with what they have already learned in previous courses. They will also acquire basic knowledge of classical field theory.
- Applied knowledge and understanding: Students will be expected to use tensor formalism to carry out simple calculations or manipulations in the context of relativistic kinematics, classical electrodynamics, and classical field theory.
- Independent judgment: Students will develop critical thinking skills and the ability to choose the most appropriate tools, among those provided during the course, for solving specific problems.
- Communication skills: Students will be expected to acquire a correct and appropriate scientific language related to the topics covered in the course.
- Learning skills: Students will be able to deepen their understanding of specific concepts not explicitly covered during the course and to pursue advanced study independently using specialized scientific texts.
In detail, at the end of the course, the student
- will be able to use the mathematical apparatus underlying the "covariant" formulations of special relativity (4-vectors, tensors), both for the theoretical discussion of fundamental concepts and for the resolution of kinematics and electromagnetism problems
- will be able to connect the non-covariant formulation of electrodynamics with the covariant one
- will be able to derive the equations of motion for a particle or for a field (scalar or vector) starting from the action and discuss the content and conservation laws of the energy-momentum tensor
Contents
Einstein's special relativity. Covariant formulation of the relativistic dynamics and of the classical electrodynamics. Relativistically-invariant Lagrangian formalism. Classical field theory: scalar and vector fields.
Detailed program
Introduction to Lorentz transformations. Relativistic kinematics. Covariant formulation of Special Relativity (4-vectors, tensors). Lorentz group.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Quick recap of Classical Mechanics and Electromagnetism (EM) (principle of relativity, Galilean transformations, Maxwell's equations, wave equations). Non-invariance of EM under Galilean transformations. Quick discussion about ether hypothesis and role of the Michelson-Morley experiment.
- Bases of Special Relativity: intertial systems, synchronising clocks, postulates, events and intervals, invariance of the speed of light and Lorentz transformations.
- Recap on the main consequences of Lorentz transformations: time dilation, length contractions, proper time. Minkowski diagrams. Simultaneity, causality. Composition of velocities. Boosts in a generic direction.
- Brief discussion of the more famous "paradoxes" and of physical applications.
- Compact notation for Physics in Euclidean space: vectors, differential operators, various identities. Maxwell's equations (for fields and potentials) in compact notation.
- Special relativity in covariant notation: Minkowski space-time, metric, tensor calculus (covariant and controvariant vectors, tensors, the metric tensor, scalar quantities, differential operators). Basic concepts of differential geometry (+).
- Covariance ("invariance in form") of physical laws and the principle of relativity.
- Lorentz group: general properties, subgroups and classification of homogeneous Lorentz transformations. Generators and algebra of the restricted Lorentz group.
- Relativistic kinematics in covariant notation: 4-velocity, 4-acceleration, energy-momentum 4-vector and its properties. Einstein's relation between energy and mass, 4-momentum conservation.
- Relativistic kinematics: exercises and applications.
- Lorentz boosts in different directions and Thomas precession.
Relativistic dynamics of a particle; Maxwell's equations in covariant form.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dynamics of a relativistic particle: 4-force and force-acceleration equation.
- Maxwell's equation in covariant form: 4-current, continuity equation, 4-potential, gauge transformations, Fμν tensor. Transformation laws of electric and magnetic fields. Invariants of the electromagnetic field.
- Covariant form of the Lorentz force. Interaction of EM fields with charged particles: motion in constant and uniform E and B fields.
- Charged particle with spin in an electromagnetic field.
- "Spin-orbit" interaction of an electron in a central field.
- Bargmann-Michel-Telegdi equation (+).
- Solution of the wave equation in covariant form (+).
- Radiation by moving charges (+).
Lagrangian formulation of the electrodynamics. Scalar and vector fields. Stress-energy tensor.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principle of stationary action and lagrangian formulation of the relativistic equations of motion for a free particle and for a charge in an electromagnetic field.
- Classical field theory: introduction and Euler-Lagrange equations.
- Scalar fields and Klein-Gordon equation.
- Stress-energy tensor.
- Vector fields: the Lagrangian of the electromagnetic field (free or interacting).
- The stress-energy tensor for the free and the interacting electromagnetic field.
- Noether's theorem (+).
(+) = advanced topic (covered only time permitting, the plan, though, is to cover all of them)
Prerequisites
Classical mechanics, classical electrodynamics, calculus.
(i.e. the content of the following courses: Fisica 1, Fisica 2, Analisi 1 and 2, Meccanica Classica, Matematica per la Fisica)
From a purely mathematical perspective, a strong background in the following topics is essential:
- basic linear algebra operations (e.g. determinant and inverse of matrix products, component representation of the cross product);
- first-order Taylor expansions;
- solving linear differential equations and evaluating elementary integrals;
- the Dirac delta function and its main properties.
Teaching form
Frontal teaching (lessons at the blackboard)
Textbook and teaching resource
Main textbooks:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Other useful textbooks:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Relevant parts available at the teacher's webpage.
- Various notes, complementary material, and exam sheets from previous years are available at the webpage https://virgilio.mib.infn.it/~re
Semester
First term.
Assessment method
The exam will consist of an oral test, with questions asked by the lecturer (it will not be possible to begin the oral exam by choosing a topic of your preference).
The oral exam will assess not only knowledge of all topics covered during the course, but also the ability to use appropriate formalism and to demonstrate a true understanding of the material. Students are expected to be able to apply the formalism to simple examples that are analogous and very similar, though not identical, to those discussed in class.
During the academic year, 5 exam sessions will be scheduled, in January, February, June, July, September.
A sixth session is organised, at an appropriate time, to facilitate students taking the third year exams.
The assessment method described above will apply by default to all students. Students who attended the course up to and including the 2024–2025 academic year may choose instead to take a written examination followed by an oral examination. To do so, they must inform the lecturer a few days before the exam date. They will then be notified in due course of the room where the written examination will take place. In the absence of explicit communication from such students, it will be assumed that they intend to take the new examination format (oral examination only).
If needed, Erasmus students are allowed to take the oral exam in English.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Emanuele Re
