Syllabus del corso
Obiettivi formativi
**Conoscenza e comprensione **. Questo insegnamento è di servizio, cioè fornisce conoscenze propedeutiche per i corsi che trattano argomenti più specifici al corso di laurea in Statistica e Gestione delle informazioni. In particolare, il corso di Analisi Matematica II è la prosecuzione del corso di Analisi Matematica I, perciò ne condivide gli obbiettivi di base. La differenza sostanziale sta nel tipo di funzioni che verranno considerate e studiate, che dipenderanno da due o più variabili invece che di una.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. I dati spesso si presentano come vari numeri associati ad ogni osservazione di un esperimento. Lo studiarli com plessivamente invece che individualmente richiede oggetti matematici chiamati funzioni a più variabili. Essi costituiscono la base del corso di Analisi Matematica II, perciò la capacità di stabilire quando utilizzare tali strumenti ed il modo migliore per farlo, sono alla base per la comprensione degli argomenti trattati nei corsi caratterizzanti del Corso di Laurea.
Contenuti sintetici
- Calcolo differenziale multivariabile
- Studio di funzioni a due e più variabili
- Calcolo integrale in più variabili
- Qualche esempio di spazi vettoriali dotati di prodotto interno
- Rudimenti delle serie di Fourier e numeri complessi.
Programma esteso
Numeri Complessi. Definizione di numero complesso: forma al-
gebrica. Forma trigonometrica e esponenziale. Significato geometrico
delle operazioni algebriche (somma prodotto quoziente).
Serie di Fourier.
- Richiami a : spazi vettoriali dotati di prodotto scalare. Ortogonalità e Teorema di Pitagora generalizzato. Vettori ortonormali e procedura di ortonomalizzazione di Gram-Schmidt
- Polinomi trigonometrici in forma reale e complessa.
- Serie di Fourier associata ad una funzione periodica.
- Disuguaglianza di Bessel e formula di Parseval.
- Teorema di Riemann-Lebesgue sui coefficienti di Fourier.
Calcolo differenziale in più variabili.
- Preliminari
- Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Derivate direzionali.
- Massimi e minimi in insiemi aperti.
- Matrici definite/semidefinite positive/negative.
- Riconoscimento dei massimi e minimi relativi mediante la matrice Hes-
siana. - Massimi e minimi vincolati.
Calcolo integrale in più variabili.
- Definizione di integrale di Riemann di una funzione di due variabili reali a valori reali. Proprietà degli integrali.
- Domini x-semplici e y-semplici in R^2.
- Definizione di integrale per funzioni da R^n in R.
- Cambio di variabili negli integrali doppi: coordinate polari, matrice Jacobiana. Coordinate cilindriche e sferiche in R3. Calcolo del
volume della sfera. - Integrali impropri. Calcolo dell'integrale di Gaussiane.
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Prerequisiti
Corso di Analisi matematica I.
Corso di Algebra Lineare.
Metodi didattici
Il corso comprende 6 CFU di lezioni.Benché non siano previste ore di esercitazioni,
il docente dedicherà varie ore all'applicazione della parte teorica in esempi e svoglimento di esercizi.
Del totale delle ore, una parte verrà erogata in modalità da remoto asincrona ed il resto
in presenza in modalità sia erogativa che interattiva.
E' previsto una attività di tutoraggio esclusivamente in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto, con eventuale esame orale solo su richiesta del docente o dello studente. La prova orale puo' essere richiesta da uno studente solo se ha conseguito un voto di almeno 18/30 nella prova scritta. Non ci sono prove intermedie.
La prova scritta consiste di esercizi relativi al programma dell'insegnamento. Scopo della prova scritta è verificare la capacità di svolgere esercizi, evidenziando sia la capacità di calcolo sia la capacità di ragionamento e di utilizzo autonomo di strumenti acquisiti seguendo l'insegnamento.
Durante la prova orale, può venire richiesta la conoscenza e la comprensione delle dimostrazioni dei teoremi svolte durante le lezioni, la capacità di esporre e discutere le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. In relazione all'esito della prova scritta ed anche lo svolgimento di esercizi.
Testi di riferimento
Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa. Analisi matematica 2. Zanichelli.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
Knowledge and understanding.
This is a service course, meaning it provides the foundational knowledge required for subsequent, more specialized, courses in the Statistics and Information Management degree program. Specifically, Mathematical Analysis II is the direct continuation of Mathematical Analysis I, and therefore shares its core objectives. The substantial difference lies in the types of functions considered and studied, which depend on two or more variables rather than a single one.
Applying knowledge and understanding
Data often present themselves as a series of numbers associated with each observation of an experiment. Studying them collectively, rather than individually, requires mathematical objects called multivariate functions. Since these functions form the core of Mathematical Analysis II, the ability to determine when and how to best utilize these tools is fundamental to understanding the subjects covered in the core courses of the Degree Program.
Contents
- Multivariable Calculus
- Functions Study
- Multivariable Integral Calculus
- Few examples of vector spaced endowed by inner product
- Basics of Fourier Series and Complex Numbers
Detailed program
Complex Numbers.
Definition of complex numbers: algebraic form. Trigonometric and exponential forms. Geometric interpretation of algebraic operations (addition, product, quotient).
Fourier Series.
- Review: Vector spaces equipped with an inner product. Orthogonality and the generalized Pythagorean Theorem. Orthonormal vectors and the Gram-Schmidt orthonormalization process.
- Trigonometric polynomials in real and complex forms.
- Fourier series associated with a periodic function.
- Bessel's inequality and Parseval's identity.
- The Riemann-Lebesgue Theorem on Fourier coefficients.
Multivariate Differential Calculus
- Preliminaries.
- Partial derivatives. Differentiable functions. Directional derivatives.
- Maxima and minima in open sets.
- Positive/negative definite and semidefinite matrices.
- Classification of relative maxima and minima using the Hessian matrix.
- Constrained maxima and minima.
Multivariate Integral Calculus.
- Definition of the Riemann integral for real-valued functions of two real variables. Properties of integrals.
- x-simple and y-simple domains in R^2.
- Definition of the integral for functions from R^n to R.
- Change of variables in double integrals: polar coordinates, Jacobian matrix. Cylindrical and spherical coordinates in R^3.
- Caomputation of the volume of a sphere.
- Improper integrals. Evaluation of Gaussian integrals.
Prerequisites
Calculus I Course.
Linear Algebra Course.
Teaching methods
The coursework amounts to 6 CFU. A part of the classes will be devoted to the
applications of the theoretical results covered. Of the whole classes, some will be
given remotely and asynchronously, while the rest will be given in presence in classroom.
Tutoring sessions will be part of the course's offer, as well.
Assessment methods
Written exam, with an optional oral exam only upon request by either the instructor or the student. The oral exam can only be requested by a student if they have achieved a score of at least 18/30 on the written exam. There are no midterm exams.
The written exam consists of exercises related to the course program. The purpose of the written exam is to verify the student's ability to solve problems, highlighting both computational skills and the capacity for logical reasoning and the autonomous use of the tools acquired during the course.
During the oral exam, students may be assessed on their knowledge and understanding of the theorem proofs covered during the lectures, as well as their ability to present and discuss the definitions and computational techniques introduced in the course. Problem-solving may also be required, depending on the performance in the written exam.
Textbooks and Reading Materials
Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa. Analisi matematica 2. Zanichelli.
Semester
First semester.
Teaching language
Italian.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Simone Borghesi
