Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso tende a fornire gli elementi principali utili per la misurazione e la gestione del rischio, sia da un punto di vista teorico che numerico. A partire dalla normativa legata all’Accordo di Basilea, si introdurranno quindi le principali misure di rischio (Value at Risk, Conditional Value at Risk o Expected Shortfall, misure di rischio coerenti) e si svilupperanno diversi concetti ed applicazioni ad esse legate.
La parte teorica sarà affiancata da una parte numerica affinché gli approfondimenti teorici possano effettivamente portare ad una crescita delle abilità dello studente da un punto di vista applicativo.
Risultati di apprendimento attesi (Descrittori di Dublino):
Conoscenza e comprensione
Gli studenti avranno una solida conoscenza e comprensione dei principali argomenti trattati durante il corso, con particolare riferimento alle diverse metodologie di misurazione del rischio e alle loro applicazioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti sapranno applicare efficacemente le conoscenze e le metodologie numeriche acquisite durante il corso a problemi concreti di misurazione e di gestione del rischio. In particolare, sapranno utilizzare Matlab e VBA per lo sviluppo di funzioni di pricing degli strumenti finanziari e relative greche nell’ottica della misurazione del rischio ed i problemi relativi (backtesting, stress testing, …). Sapranno inoltre utilizzare il terminale Bloomberg per scaricare dati ed effettuare analisi di rischio.
Autonomia di giudizio
Gli studenti svilupperanno buona autonomia di giudizio e capacità di modellizzare e risolvere problemi complessi relativi agli argomenti del corso in oggetto.
Abilità comunicative
Gli studenti acquisiranno un linguaggio chiaro e rigoroso in ambito finanziario e sapranno comunicare efficacemente le conoscenze acquisite.
Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo che sarà loro utile nel mondo del lavoro o nel caso di percorsi di studio più avanzati.
Contenuti sintetici
- Nozione di misura di rischio e cenni sulla normativa Basilea.
- Value at Risk (VaR) e relative metodologie di calcolo.
- Definizione assiomatica di misura di rischio coerente.
- Conditional Value at Risk (CVaR) e relative metodologie di calcolo.
- Ottimizzazione di portafoglio con misure di rischio.
- Insieme di accettazione di una misura di rischio e legami con la teoria dell'utilità.
- Problema di Capital Allocation.
- Misure di rischio sistemico.
- Creazione di una libreria di pricing in VBA.
- Calcolo del rischio di un portafoglio complesso, composto da azioni, prodotti fx, bond e derivati.
Programma esteso
*Preliminari. *
Richiami su teoria della probabilità, quantili, dominanza stocastica del primo e secondo ordine e teoria del portafoglio.
*Misure di rischio e portafogli di derivati. *
Nozione di misura di rischio. Definizione di Value at Risk (VaR) e cenni sulla normativa Basilea. Esempi di calcolo del VaR per distribuzioni discrete e continue. Proprietà del VaR. Calcolo del VaR per portafogli di azioni utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti. Approssimazione Delta e Delta-Gamma per il calcolo del VaR di portafogli di titoli derivati (utilizzando l’ipotesi di normalità dei rendimenti dei sottostanti). Cenni sulla stima della matrice di varianza e covarianza. Simulazioni storiche e metodo Monte Carlo per il calcolo del VaR. Backtesting e Stress Testing. Critiche, limiti e applicazioni del VaR.
*Misure di rischio coerenti, CVaR e ottimizzazione. *
Definizione assiomatica di misura di rischio coerente. Conditional Value at Risk (CVaR): definizione, esempi e coerenza. Applicazione del CVaR ai problemi di ottimizzazione di portafogli. Insieme di accettazione di una misura di rischio e rappresentazione di misure di rischio a partire da insiemi di accettazione.
Misure di rischio coerenti (e convesse), shortfall, distorte e entropiche. Legami tra misure di rischio e teoria dell'utilità.
*Applicazioni. *
Principi di capital allocation e misure di rischio sistemico.
*Aspetti numerici. *
Creazione di una libreria di pricing in VBA. Calcolo del rischio di un portafoglio complesso, composto da azioni, prodotti fx, bond e derivati.
Prerequisiti
Conoscenze basilari di analisi matematica, della teoria della probabilità e di informatica (in particolare della programmazione).
Metodi didattici
L'insegnamento è suddiviso in:
- 6 cfu (42 ore) di lezione;
- 2 cfu (14 ore) di lezione in laboratorio.
Circa l'80% del corso sarà in modalità erogativa, il restante 20% in modalità interattiva.
Il corso avverrà prevalentemente in presenza con lezioni e laboratori frontali. I docenti si riservano la possibilità di svolgere una piccola percentuale delle ore di lezione (e comunque al di sotto del 30% delle ore totali) da remoto in formato sincrono (in streaming).
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è composto da una prova scritta (formata da domande aperte ed esercizi) per la parte relativa ai 6 cfu e da un colloquio orale per la parte relativa ai 2 cfu. Il voto finale è una media pesata delle prove di cui sopra.
L'esame può essere sostituito - su base volontaria dallo studente - dallo svolgimento e dalla presentazione di un assignment (suddiviso in 2 parti come per il corso) da consegnare e discutere necessariamente entro gennaio 2027. La comunicazione di voler sostenere l’assignment dovrà pervenire ai docenti entro il 30 novembre 2026.
Testi di riferimento
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Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
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Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
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Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
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Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
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Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
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Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
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McNeil, Frey, Embrechts (2015): “Quantitative risk management: concepts, techniques and tools-revised edition”, Princeton university press.
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Rosazza Gianin, Sgarra (2023): “Mathematical Finance: Theory Review and Exercises”. Springer
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Wilmott (2003): “Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
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Simon Benninga, Tal Mofkadi (2022): “Financial Modeling”, MIT Press Ltd.
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Staunton, M., and Jackson, M. (2001). “Advanced modelling in finance using Excel and VBA”, Wiley.
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Michael Alexander, Dick Kusleika, John Walkenbach (2016). “Excel 2016 Power Programming with VBA”, Wiley.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to give the main tools for the risk measurement and management, both from a theoretical and a numerical point of view.
Starting from the regulation associated with the Basel Accord, the main risk measures (Value at Risk, Conditional Value at Risk or Expected Shortfall, and coherent risk measures) will therefore be introduced, and some related concepts and applications will be developed.
Some numerical applications will be provided so that the theoretical insights can actually lead to an increase of the student’s practical ability.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
Knowledge and understanding
Students will have a solid knowledge and understanding of the main topics covered during the course, such as different risk measurement methodologies and their applications.
Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply the knowledge acquired during the course to concrete risk measurement and management problems. In particular, they will be able to use Matlab and VBA to develop pricing functions of financial instruments and relative Greeks in view of their risk measurement and of the corresponding problems (backtesting, stress testing, …). They will also be able to use the Bloomberg terminal for downloading data and carrying out risk analysis.
Making judgements
Students will develop good independent judgement and ability to model and solve complex problems related to the topics of this course.
Communication skills
Students will acquire clear and rigorous financial language and be able to effectively communicate their acquired knowledge.
Learning skills
Students will develop an independent study method that will be useful in their future work or in case of more advanced studies.
Contents
- Definition of risk measure and brief overview of the Basel Accord.
- Value at Risk (VaR) and its computation methods.
- Axiomatic definition of coherent risk measure.
- Conditional Value at Risk (CVaR) and its computation methods.
- Portfolio optimization with risk measures.
- Acceptance set of a risk measure and relation with utility theory.
- Capital Allocation Problem.
- Systemic risk measures.
- Creating a pricing library in VBA.
- Calculating the risk of a complex portfolio comprising shares, fx products, bonds and derivatives.
Detailed program
*Preliminaries. *
Review on probability theory, quantiles, first and second order stochastic dominance and portfolio theory.
*Risk measures and portfolios of derivatives. *
Definition of a risk measure. Definition of Value at Risk (VaR) and outline of the Basel Committee rules. Examples of computation of VaR for discrete and continuous distributions. Properties of VaR. Computation of VaR for portfolios of stocks under the assumption of normality of the yields of the stocks. Delta and Delta-Gamma approximations of the computation of the VaR of derivatives portfolios (under the assumption of normality of the yield of the underlyings). Outline of the estimation of the Variance-Covariance matrix. Historical simulations and Monte Carlo Method for the computation of VaR. Backtesting and Stress Testing. Drawbacks and applications of VaR.
*Coherent risk measures, CVaR and optimization. *
Axiomatic definition of a coherent risk measure. Conditional Value at Risk (CVaR): definition, examples and coherence. Application of CVaR to portfolio optimization. Acceptance set of a risk measure and representation of risk measures via acceptance sets.
Coherent (and convex) risk measures, shortfall, distorted and entropic risk measures. Relation between risk measures and utility theory.
*Applications. *
Capital allocation problems and systemic risk measures.
*Numerical aspects. *
Creating a pricing library in VBA. Calculating the risk of a complex portfolio comprising shares, fx products, bonds and derivatives.
Prerequisites
Basic notions of mathematical analysis, probability theory, and informatics.
Teaching methods
The course consists in:
- 6 cfu (42 hours) of lectures;
- 2 cfu (14 hours) of computer lab lectures.
Around 80% of the course will be done in erogative mode, the remaining 20% in interactive mode.
The lessons will be held mainly in presence with traditional lectures and exercises. A small percentage (anyway, smaller than 30%) could be taken online (in streaming) in case of necessity.
Assessment methods
The exam is composed of a written part (composed by open questions and exercises) for the 6-credit module and an oral examination for the 2-credit module. The final score is the weighted average of the above scores.
The exam can be replaced - if agreed by the student - by the development and discussion of an assignment (divided into two parts, as in the course), which must be submitted and discussed by January 2027. Students wishing to undertake the assignment must notify the lecturers by 30 November 2026.
Textbooks and Reading Materials
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Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999): “Coherent measures of risk”, Mathematical Finance.
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Danielsson, J. (2011). Financial risk forecasting: the theory and practice of forecasting market risk with implementation in R and Matlab. John Wiley & Sons.
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Duffie, Pan (1997): “An Overview of Value at Risk”.
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Follmer, Schied (2004): Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. De Gruyter. http://search.ebscohost.com.proxy.unimib.it/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=388088&site=ehost-live&scope=site
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Hull (2000):“Options, futures and other derivatives”; Prentice Hall.
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Jorion (2000): “Value at Risk”, Mc Graw Hill.
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McNeil, Frey, Embrechts (2015): “Quantitative risk management: concepts, techniques and tools-revised edition”, Princeton university press.
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Rosazza Gianin, Sgarra (2023): “Mathematical Finance: Theory Review and Exercises”. Springer
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Wilmott (2003): “Introduzione alla Finanza Quantitativa”, Egea.
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Simon Benninga, Tal Mofkadi (2022): “Financial Modeling”, MIT Press Ltd.
-
Staunton, M., and Jackson, M. (2001). “Advanced modelling in finance using Excel and VBA”, Wiley.
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Michael Alexander, Dick Kusleika, John Walkenbach (2016). “Excel 2016 Power Programming with VBA”, Wiley.
Semester
First semester.
Teaching language
Italian.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Emanuela Rosazza Gianin
